NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus Chapter – 5 समांतर श्रेढ़ियाँ (Arithmetic Progressions) Exercise – 5.1 in Hindi

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus Chapter – 5 समांतर श्रेढ़ियाँ (Arithmetic Progressions)

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus Chapter – 5 समांतर श्रेढ़ियाँ (Arithmetic Progressions) Exercise – 5.1 in Hindi समांतर श्रेणी की परिभाषा क्या है?, समांतर श्रेणी का योग सूत्र क्या है?, समान्तर श्रेणी कितने प्रकार के होते हैं? अदि के बारे में विश्तर में पढ़ेंगे

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus Chapter – 5 समांतर श्रेढ़ियाँ (Arithmetic Progressions)

 Chapter – 5

समांतर श्रेढ़ियाँ

Exercise – 5.1

प्रश्न 1. निम्नलिखित स्थितियों में से किन स्थितियों में संबद्ध संख्याओं की सूची A. P. है और क्यों ?

(i) प्रत्येक किलो मीटर के बाद का टेक्सी का किराया, जबकि प्रथम किलो मीटर के लिए किराया ₹ 15 है और प्रत्येक अतिरिक्त किलो मीटर के लिए किराया ₹ 8 है।

(ii) किसी बेलन (cylinder) में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु निकालने वाला पंच प्रत्येक बार बेलन की शेष हवा का 14 भाग भहर निकल देता है।

(iii) प्रत्येक मीटर की खुदाई के बाद, एक कुँआ खोदने में आई लागत, जबकि प्रथम मीटर खुदाई की लागत ₹ 150 है और बाद में प्रत्येक मीटर खुदाई की लागत ₹50 बढ़ती जाती है।

(iv) खाते में प्रत्येक वर्ष का मिश्रधन, जबकि ₹ 10000 की राशि 8% वार्षिक की दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा की जाती है।

हल : (i) कथन के अनुसार टैक्सी का किराया 1 km, 2 km, 3 km, … बाद क्रमशः 15 रु ., (15 + 8)रु., (15 + 2 × 8) रु ., (15+3×8)
⇒ 15, 23, 31, 39, …
क्योंकि यहाँ पर लगता एक ही संख्या 8 की वृद्धि हो रही है।

(ii) माना बेलन में उपस्थित वायु की मात्रा x इकाई है।
∴ कथन के अनुसार, बेलन में उपस्थित वायु की सूची दर्शाती है:
x, x-x/4 =3x/4, 3x – 1/4 × 3x /4
=12x-3x/16=9x /16,…
यहाँ, 3x -x =-x/4 और 9x /16-3x = 9x-12x/16 =-3x/16
⇒ 3x/4 -x≠ 9x/16-3x/4

(iii) प्रश्न के अनुसार, पहले मीटर की कुएँ की खुदाई तथा इसके बाद प्रत्येक मीटर की खुदाई रुपयों में 150, 200, 250, 300,… है।
क्योंकि यहाँ पर लगातार समान संख्या 50 द्वारा बढ़ रहे हैं। अतः सूची समांतर श्रेढ़ी बनाती है।

(iv) प्रश्नानुसार खाते में प्रथम वर्ष रुपये और उसके बाद के वर्षों में खाते में रुपये निम्न द्वारा दर्शाते हैं :
10000, 10000 (1+8/100) , 10000 (1+8/100)2
अर्थात् 10000 × 108/100 ,10000 × 108/100 × 108/100 , …
अर्थात् 10000, 10800, 11664,…
चूँकि, 10800 – 10000 ≠11664-10800
अतः सूची समांतर श्रेढ़ी नहीं बनाती है।

प्रश्न 2. दी गई A.P. के प्रथम चार पद लिखिए जबकि प्रथम
पद a और सार्व अंतर d निम्नलिखित हैं :

(i) a = 10, d = 10
(ii) a = -2, d=0
(iii) a = 4, d = – 3
(iv) a = -1, d = 1/2
(v) a = – 1.25, d = 0.25

हल : हम जानते हैं कि यदि प्रथम पद और सार्व अंतर d हो तो a और d के विभिन्न मानों के लिएa, a +d, a +2d, a + 3d, … A.P. दर्शाती है।(i) a = 10, d= 10को a, a+d, a +2d, a + 3d,…, में रखने पर हम वांछित A. P. प्राप्त करते हैं। 10, 10 + 20, 10 + 20, 10 + 30, …
अर्थात 10, 20, 30, 40, …

(ii) a=-2, d=0को a, a +d, a + 2d, a + 3d,.., में रखने पर हम वांछित A.P. प्राप्त करते हैं। -2, -2 + 0, -2 + 3 × 0,…अर्थात् – 2, – 2, – 2, – 2,…

(iii) a = 4, d = 3 को a, a + d, a + 2d, a + 3d,…, में रखने पर हम वांछित A.P. प्राप्त करते हैं। 4, 4 – 3, 4 – 6, 4 – 9, …अर्थात् 4, 1,- 2, 5,

(iv) a = – 1, d = 1/2 को a, a + d, a + 2d, a + 3d,…, मेंरखने पर हम वांछित A. P. प्राप्त करते हैं। -1,1 + 1/2 , -1 +3 /2 , … अर्थात् – 1, -1/2 , 0 , 1/2 , …

(v) a = – 1.25, d = 0.25 को a, a+d, a + 2d, a + 3d,……में रखने पर हम वांछित A.P. प्राप्त करते हैं। -1.25, 1.25, 0.25, 1.25, 0.50,-1.25, 0.50

अर्थात् -1.25,- 1.50, -1.75, -2.00, …

प्रश्न 3. निम्नलिखित में से प्रत्येक A.P के लिए प्रथम पद तथा सार्व अंतर लिखिए:

(i) 3, 1, -1, – 3,…
(ii) -5, -1, 3, 7,…
(iii) 1/3 , 5/3 , 9/3 , 13/3, …
(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3, 9…

हल : (i) दी गई A.P. है 3, 1, – 1, 3, …
स्पष्टतः a = 3 और d = 1-3-2

(ii) दी गई A.P. है – 5 – 1, 3, 7, …
स्पष्टतः a = 5 और d=1 – (-5) = -1 + 5 = 4

(iii) दी गई A.P. है 1/3 , 5/3 , 9/3 , 13/3 , …
स्पष्टतः a = 1/3 और d = 5/3 – 1/3 = 4/3

(iv) दी गई A.P. है 0.6, 1.7, 2.8, 3.9, ….
स्पष्टतः a = 0.6 और d = 1.7 – 0.6 = 1.1

प्रश्न 4. निम्नलिखित में से कौन – कौन A.P. है ? यदि कोई A.P. है , तो इसका सार्व अंतर ज्ञात
कीजिए और इनके तीन और पद लिखिए :

(i) 2, 4, 8, 16, …
(ii) 2, 5/2 , 3 , 7/2 , …
(iii) -1.2,-3.2,-5.2, -7.2,…
(iv) -10,-6,-2, 2,…
(v) 3,3+ √2,3+2√2, 3+3√2, …
(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, …
(vii) 0,-4,-8, -12, …
(viii) 1/2 , 1/2 , 1/2 , 1/2 , …
(ix) 1, 3, 9, 27, …
(x) a, 2a, 3a, 4a, …
(xi) a, a², a³, a¹, …
(xii) √2, √8, √18, √32, …
(xiii) √3, √6, √9, √12, …
(xiv) 12, 32, 52, 72, …
(xv) 12, 52, 72, 73, …

हल: (i) यहाँ, a²-a⁴-2=2
और a³-a⁸-4-4
⇒ a²-a¹ ≠ a³-a²
अत:, 2, 4, 8, 16, .A.P. नहीं बनाती है।

(ii) यहाँ, a² – a¹ = 5/2 – 2 = 5 – 4/2 = 1/2
a³ – a² = 3 – 5/2 = 6 – 5 /2 =1/2
और, a⁴ – a³ = 7/2 – 3 = 7-6/2 = 1/2
अत: दी गई सूची A.P. बनाती है।
अत: d = 1/2
दी गई अंतिम पद के बाद अगले तीन पद होंगे
7/2 +1/2 =7+1/2 =8/2 = 4
4 + 1/2 = 4 1/2 = 9/2
और  9/2 + 1/2 = 9+1/1 = 10/2 = 5

(iii) यहाँ, a² – a¹ = 3.2 – (- 1.2)
= – 3.2 + 1.2 = -2
a³ – a² = -5.2 – (- 3.2)
= – 5.2 + 3.2 = – 2,
और  a⁴ – a³ = -7.2 – (- 5.2)
= – 7.2 + 5.2 = – 2
अर्थात् an + 1 – an हर बार सामान है|
अत: d = – 2  
अंतिम पद के बाद दिए गए अलगे  तीन पद होंगे
– 7.2 – 2 = – 9.2,
– 9.2 – 2 = – 11.2,
और – 11.2 – 2 = – 13.2.

(iv) यहाँ a² – a¹ = -6 -n (-10) = -6 + 10 = 4
a³ – a² = – 6 – (- 6) = – 2 + 6 = 4
और  a⁴ – a³ = 2 – (-2) = 2 + 2 = 4
अर्थात् an + 1 – an हर बार सामान है| अत: दी गई सूची। .A.P. बनती है|
अत:, d = 4 
दिए गए अंतिम पद के बाद अगले तीन पद होंगे
2+4= 6
6+4= 10,
और 10+4 = 14

(v) यहाँ, a2 – a1 = (3 + √2) – 3 = √2
और  a3 – a2 = (3 + 2√2) – (3 + √2)= √2
अर्थात् an+1 – an हर बार समान है। अतः दी गई सची A.P. बनाती है।
अतः,  d = √2
दिए गए अंतिम पद के बाद अगले तीन पद होंगे
(3+2√2) + √2 = 3+3√2,
(3+3√2) + √2 = 3+4√2,
और (3+4√2) + √2 = 3+5√2.

(vi) यहाँ, a² – a¹ = 0.22 – 0.2
= 0.22 – 0.20 = 0.02
और  a³ – a² = 0.222 – 0.22
= 0.222 – 0.220 = 0.002
∴ a² – a¹ ≠ a³ – a²
अतः दी गई सूची A.P. बनाती नहीं है।

(vii) यहाँ, a² – a¹ = – 4 – 0 = – 4,
a³ – a² = – 8 – (-4) = – 8 + 4 = – 4,
और,  a⁴ – a³ = – 12 – (-8)
=-12+8=-4.
अर्थात् an +1 – an हर बार समान है। अतः दी गई सूची A.P. बनाती है।
अतः d = – 4
दिए गए अंतिम पद के बाद अगले तीन पद होंगे
-12+(-4) = -12 – 4 = – 16,
-16+(-4)=-16-4 = -20,
और -20+(-4)=-20-4=-24

(viii) यहाँ a² – a¹ = 1/2 – (1/2) = – 1/2 + 1/2 = 0
a³ – a² = 1/2 – (1/2) = – 1/2 + 1/2 = 0
और a⁴ – a³ = 1/2 – (1/2) = – 1/2 + 1/2 = 0
अर्थात् an+1-an हर बार समान है। अतः दी गई सूची A.P. बनाती है।
अतः, d = 0
दिए गए अंतिम पद के बाद अगले तीन पद होंगे – 1/2, – 1/2 और – 1/2

(ix) यहाँ, a² – a¹ = 3-1= 2
और a³ – a² = 9 – 3 = 6
⇒ a² – a¹ ≠ a³ – a²
अतः दी गई सूची A. P. नहीं बनाती है।

(x) यहाँ, a² – a¹ = 2a – a = a,
a³ – a² = 3a – 2a = a,
और a⁴ – a³ = 4a – 3a= a
अर्थात् an +1 – an, हर बार समान है। अतः दी गई सूची A.P. बनाती है।
अतः, d = a
दिए गए अंतिम पद के बाद अगले तीन पद होंगे
4a + a = 5a,
5a + a = 6a
और 6a+ α =7a

(xi) यहाँ, a² – a¹ = a² – a = a (a-1)
और a³ – a² = a³ – a² = a2(a-10)
⇒ a² – a¹ ≠ a³ – a²
अतः दी गई सूची A.P. नहीं बनाती है।

(xii) यहाँ, a² – a¹ = √8-√2 = √4×2-√2
=2√2-√2 = √2,
और, a3 – a2 = √18-√8 = √9×2-√4×2

(xiii) यहाँ, a² – a¹ √6-√3
=√3×2-√3 = √3(√2-1)
और a³ – d² = √9 – √6
= 3 – √3 x 2 = √3(√3 – √2)
⇒ a²-a¹≠ a³-02
अतः दी गई संख्याओं की सूची A.P. नहीं बनाती है।

(xiv) यहाँ, a² – a¹ = 32 – 12 = 9 – = 8,
और a³ – a² = 52 – 32 = 25 – 9 = 16
⇒ a² – a¹ ≠ a³ – 2
अतः दी गई संख्याओं की सूची A. P. नहीं बनाती है।

(xv) यहाँ, a² – a¹ = 52 – 12 = 25 – 1 = 24,
और a³ – a² = 72 – 52 = 49-25 = 24,
a⁴ – d³ = 73 – 72 = 73 – 49 = 24
अर्थात् an + 1 – an हर बार समान है। अतः दी गई संख्याओं की
सूची A.P. बनाती है।
अतः, d = 24
दिए गए अंतिम पद के बाद अगले तीन पद होंगे
73+24= 97,
97 +24 = 121,
और 121+24 = 145

• Examples
• Exercise – 5.2
• Exercise – 5.3
• Exercise – 5.4

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus (2023-2024) All Chapter in Hindi Medium

• अध्याय – 1 वास्तविक संख्याएँ
• अध्याय – 2 बहुपद
• अध्याय – 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
• अध्याय – 4 द्विघात समीकरण
• अध्याय – 5 समांतर श्रेढ़ियाँ
• अध्याय – 6 त्रिभुज
• अध्याय – 7 निर्देशांक ज्यामिति
• अध्याय – 8 त्रिकोणमिति का परिचय
• अध्याय – 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
• अध्याय – 10 वृत्त
• अध्याय – 11 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
• अध्याय – 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
• अध्याय – 13 सांख्यिकी
• अध्याय – 14 प्रायिकता

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