NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus Chapter – 2 बहुपद (Polynomial) Examples in Hindi

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus Chapter – 2 बहुपद (Polynomial)

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus Chapter – 2 बहुपद (Polynomial) Examples in Hindi आज हम बहुपद के सभी Examples को समझेंगे। दो या अधिक चरों के ऐसे बहुपद को, जिसके प्रत्येक पद में चरों के घातों का योगफल समान हो| बहुपद किसे कहते हैं यह कितने प्रकार के होते हैं?,बहुपद क्या है उदाहरण सहित?,बहुपद की पहचान कैसे करते हैं?,बहुपद का घात कितना होता है?,बहुपद वर्ग 10 क्या है?

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus Chapter – 2 बहुपद (Polynomial)

Chapter – 2

बहुपद 

Examples

उदाहरण 1. नीचे दी गई आकृति 2.9 में, ग्राफों को देखिए। प्रत्येक आकृति y = p(x), जहाँ p(x) एक बहुपद है, का ग्राफ है। ग्राफों से प्रत्येक के लिए, p(x) के शून्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल – (i) शून्यकों की संख्या 1 है, क्योंकि ग्राफ x-अक्ष को केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है।

(ii) शून्यकों की संख्या 2 है, क्योंकि ग्राफ x – अक्ष को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।

(iii) शून्यकों की संख्या 3 है। क्योंकि ग्राफ x-अक्ष को तीन बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।

(iv) शून्यकों की संख्या 1 है। क्योंकि ग्राफ x-अक्ष को एक बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।

(v) शून्यकों की संख्या 1 है। क्योंकि ग्राफ x-अक्ष को एक बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।

(vi) शून्यकों की संख्या 4 है। क्योंकि ग्राफ x-अक्ष को चार बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।

उदाहरण 2 : द्विघात बहुपद x² + 7x + 10 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए ।

हल : हम पाते हैं:

x² + 7x + 10 = (x + 2) (x + 5)

इसलिए x² + 7x + 10 का मान शून्य है, जब x + 2 = 0 है या x + 5 = 0 है, अर्थात् जब x = – 2 या x = -5 हो। इसलिए, x²+ 7x + 10 के शून्यक -2 और -5 हैं।

शून्यकों का योग = -2 + (−5) = – (7) = – (x का गुणांक)/x² का गुणांक

शून्यकों का गुणनफल = (-2) × (-5) = 10 = 10/1 = अचर पद /x² का गुणांक

उदाहरण 3. बहुपद x² – 3 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।

हल – सर्वसमिका a²– b² = (a – b) (a + b) का स्मरण कीजिए। इसे प्रयोग कर, हम लिख सकते हैं:

x² – 3 = (x – √3) (x + √3)

इसलिए, x² – 3 का मान शून्य होगा, जब x = √3 हो या x = -√3 हो।

अत:, x² – 3 के शून्यक √3 और -√3 हैं। अब,

शून्यकों का योग = √3 – √3 = 0 = -(x का गुणांक)/x² का गुणांक

शून्यकों का गुणनफल = (√3)(-√3) = -3 = -3/1 = अचर पद -/x² का गुणांक

उदाहरण 4. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमश: -3 और 2 हैं।

हल – माना द्विघात बहुपद ax² + bx + c है और इसके शून्यक a और β हैं।

हम पाते हैं: a + β = -3 = -b/a

और aβ = 2 = a/c

यदि a = 1 है, तो b = 3 और c = 2 होगा।

अतः, एक द्विघात बहुपद, जिसमें दी गई शर्तें संतुष्ट होती हैं,  x² + 3x + 2 है।

आप जाँच कर सकते हैं कि अन्य कोई द्विघात बहुपद, जो इन शर्तों को संतुष्ट करता हो, k( x² + 3x + 2) की तरह का होगा, जहाँ एक वास्तविक संख्या है।

आइए अब हम त्रिघात बहुपद की ओर दृष्टिपात करें। क्या आप सोचते हैं कि त्रिघात बहुपद के शून्यकों और उसके गुणांकों के बीच इसी प्रकार का संबंध होता है?

आइए p(x) = 2x³ – 5x² – 14x + 8 पर विचार करें।

आप इसकी जाँच कर सकते हैं कि x = 4, -2 और 1/2 के लिए p(x) = 0 है। क्योंकि p(x) के अधिक से अधिक तीन शून्यक हो सकते हैं, इसलिए शून्यक हैं। अब,

शून्यकों का योग = 4 + (-2) + 1/2 = 5/2 = –(−5)/2 = – (x²का गुणांक)/x³का गुणांक

शून्यकों का गुणनफल = 4 × (−2) × 1/2 = -4 = -8/2= – अचर पद/x³ का गुणांक

परंतु, यहाँ एक और संबंध भी है। दो शून्यकों को एक साथ लेकर उनके गुणनफलों के योग पर विचार करें। हम पाते हैं :

{4 × (-2)} + [(-2) × 1/2] + [1/2 × 4]

= – 8 – 1 + 2 = – 7 = -14/2 = x का गुणांक/x³ का गुणांक

व्यापक रूप में, यह सिद्ध किया जा सकता है की यदि a, β, γ त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d  शून्यक हों, तो

a + β + γ = -b/a

aβ + βγ + γa = c/a

तथा a β γ = -d/a

उदाहरण 5. जाँच कीजिए कि त्रिघात बहुपद p(x) = 3x³ – 5x² – 11x-3 के शून्यक 3, 1
और –1 हैं। इसके पश्चात् शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए ।

हल – दिए हुए बहुपद की ax³ + bx² + cx+ d से तुलना करने पर, हम पाते हैं:

a=3, b=-5, c=-11, d=-3

p(3) = 3 × 3³-(5 × 3²) – (11 × 3) – 3=81-45-33-3=0

p(-1) = 3 × (-1)³-5 × (-1)² – 11 × (-1)-3=-3-5+11-3=0

p(-1)/3=3x(-1)/3-5x(-1)/32-11x(-1)/3-3       

=-1-5/9-+11/9-3/3=-2+2/3=0

अतः, 3x³ – 5x² – 11x – 3 के शून्यक 3, 1 और 3 हैं।

• Exercise 2.1
• Exercise 2.2

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus (2023-2024) All Chapter in Hindi Medium

• अध्याय – 1 वास्तविक संख्याएँ
• अध्याय – 2 बहुपद
• अध्याय – 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
• अध्याय – 4 द्विघात समीकरण
• अध्याय – 5 समांतर श्रेढ़ियाँ
• अध्याय – 6 त्रिभुज
• अध्याय – 7 निर्देशांक ज्यामिति
• अध्याय – 8 त्रिकोणमिति का परिचय
• अध्याय – 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
• अध्याय – 10 वृत्त
• अध्याय – 11 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
• अध्याय – 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
• अध्याय – 13 सांख्यिकी
• अध्याय – 14 प्रायिकता

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