NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Areas and Volumes) Exercise – 12.2 in Hindi

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Areas and Volumes)

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Areas and Volumes) Exercise – 12.2 in Hindi

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Areas and Volumes)

Chapter – 12

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

Exercise – 12.2

1. एक ठोस की अर्द्धगोले पर स्थित एक शंकु के आकार का है| जिसकी त्रिज्याए 1 cm है तथा शकु की ऊचाई उसकी त्रिज्या के बारबर है| इस ठोस के आयतन π के पदों में ज्ञात करे|

हल: ठोस का आयतन = शंकु का आयतन + अर्द्धगोले का आयतन 
= 1/3πr²h + 2/3πR³
= 1/3πr² × r + 2/3πr³ [∵ h = r और R = r]
= π/3 r³ (1 + 2) = π/3 r³ × 3
= πr³ = π(1)³ = π × 1 = πcm³ [∵ r = 1 cm]

2. एक इंजीनियरिंग के विद्यार्थी रचेल से एक पतली एल्यूमीनियम की शीट का प्रयोग करते हुए एक मॉडल बनाने को कहा गया जो एक ऐसे बेलन के आकार का हो जिसके दोनों सिरों पर दो शंकु जुड़े हुए हों। इस मॉडल का व्यास 3 cm है और इसकी लंबाई 12 cm हैं यदि प्रत्येक शंकु की ऊंचाई 2 cm हो तो रचेल द्वारा बनाए गए मॉडल में अंतर्विष्ट हवा का आयतन ज्ञात कीजिए। (यह मान लीजिए कि मॉडल की आंतरिक और बाहरी विमाएं लगभग बराबर है।)

हल:
दिया गया है,
बेलन की ऊँचाई = 12–4 = 8 cm
त्रिज्या = 1.5 cm
शंकु की ऊँचाई = 2 cm
अब, हवा का कुल आयतन होगा = बेलन का आयतन+2×(शंकु का आयतन)
∴ कुल आयतन = πr ² h+[2×(⅓ πr²h )]
= 18 π+2(1.5 π)
= 66 cm³ 

3. एक गुलाबजामुन में उसके आयतन की लगभग 30 प्रतिशत चीनी की चाशनी होती है। 45 गुलाबजामुनों में लगभग कितनी चाशनी होगी यदि प्रत्येक गुलाबजामुन एक बेलन के आकार का है जिसके दोनों सिरे अर्धगोलकार है तथा इसकी लंबाई 5 cmऔर व्यास 2.8 cm है।

हल:
यह ज्ञात है कि गुलाब जामुन दो अर्धगोलाकार सिरों वाले एक बेलन के समान होते हैं।
अत: गुलाब जामुन की कुल ऊँचाई = 5 cm
व्यास = 2.8 cm
तो, त्रिज्या = 1.4 cm
∴ बेलनाकार भाग की ऊंचाई = 5 cm – (1.4+1.4) cm
= 2.2 cm

अब, एक गुलाब जामुन का कुल आयतन = सिलेंडर का आयतन + दो गोलार्द्धों का आयतन
= r²h + (4/3)πr³
= 4.312π+(10.976/3) π
= 25.05 cm³

हम जानते हैं कि चाशनी का आयतन = कुल मात्रा का 30%
तो, 45 गुलाब जामुन में चाशनी की मात्रा = 45×30 %(25.05 cm³)
= 45×7.515 = 338.184 cm³

4. एक कलमदान घनाभ के आकर की एक लकड़ी से बना है जिसमें कलम रखने के लिए चार शंक्वाकार गड्ढे बने हुए हैं। घनाभ की विमाएं 15 cm × 10 cm × 3.5 cm है। प्रत्येक गड्ढे की त्रिज्या 0.5 cm है और गहराई 1.4 cm हैं पूरे कलमदान में लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए।

हल: घनाभ का आयतन = लंबाई x चौड़ाई x ऊँचाई
हम जानते हैं कि घनाभ की विमाएँ 15 cm x 10 cm x 3.5 cm हैंआयतन
= 15 x 10 x 3.5 = 525 cm³
यहाँ, अवनमन शंकु के समान हैं और हम जानते हैं,
शंकु = (⅓)πr²h

दिया गया है, त्रिज्या (r) = 0.5 cm और गहराई (h) = 1.4 cm
4 शंकु का आयतन = 4x(⅓)πr²h
= 1.46 cm²
अब, लकड़ी का आयतन = घनाभ का आयतन – शंकु का 4 x आयतन
= 525-1.46 = 523.54 cm²

5. एक बर्तन एक उल्टे शंकु के आकार का है। इसकी ऊंचाई 8 cm है और इसके ऊपरी सिरे (जो खुला हुआ है।) की त्रिज्या 5 सेकी है। यह ऊपर तक पानी से भरा हुआ है। जब इस बर्तन में सीसे की कुछ गोलियां जिनमें प्रत्येक 0.5 cm त्रिज्या वाला एक गोला है डाली जाती है तो इसमें से भरे हुए पानी का एक चौथाई भाग बाहर निकल जाता है। बर्तन में डाली गई सीसे की गोलियों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल: शंक्वाकार वर्तन की ऊँचाई, h = 8 cm
इसकी त्रिज्या, = 5 cm
= शंकु में जल का आयतन
= 1/3πr²h
= 1/3 x 22/7 x 5 x 5 x 8cm³
= 4400/21 cm³

बाहर निकलने वाले जल का आयतन
= शीशे की गोलियों का आयतन
= शंकु में जल के आयतन का 1/4
= 1/4 x 4400/21 cm³ = 1100/21 cm³
सीसे की गोलियों की त्रिज्या = 0.5 cm

एक गोलाकार सीसे की गोली का आयतन
= 4/2πr³ = 4/3 x 22/7 x 5/10 x 5/10 x 5/10 cm³ = 11/21 cm³
∴ बर्तन में डाली गई सीसे की गोलियों की संख्या = बाहर निकलने वाले जल का आयतन / एक सीसे की गोली का आयतन
=1100/21 ÷ 11/21 = 1100/21 x 21/11 = 100

6. ऊंचाई 220 cm और आधार व्यास 24 cm वाले एक बेलन, जिस पर ऊंचाई 60 cm और त्रिज्या 8 cm वाला एक अन्य बेलन आरोपित है से लोहे का एक स्तंभ बना है। इस स्तंभ का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए जबकि दिया है 1cm³ लोहे का द्रव्यमान लगभग 8g होता है। (π =3.14 लीजिए)

हल: दिया गया है, बड़े बेलन की ऊँचाई (H) = 220 cm
आधार की त्रिज्या (R) = 24/2 = 12 cm
अतः, बड़े बेलन का आयतन = πR²H
= (12)2 × 220 cm³
= 99565.8 cm³

अब, छोटे बेलन की ऊँचाई (h) = 60 cm
आधार की त्रिज्या (r) = 8 cm
अतः, छोटे बेलन का आयतन = πr²h
= π(8)² ×60 cm³
= 12068.5 cm ³

∴ लोहे का आयतन = बड़े बेलन का आयतन + छोटे बेलन का आयतन
= 99565.8 + 12068.5
= 111634.5 cm³
हम जानते हैं,
द्रव्यमान = घनत्व x आयतन
तो, खम्भे का द्रव्यमान = 8×111634.5
= 893 किग्रा (लगभग)

7. एक ठोस में ऊंचाई 120 cm और त्रिज्या 60 cm वाला एक शंकु सम्‍मिलित है जो 60 cm त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर आरोपित है। इस ठोस को पानी से भरे हुए एक लंब वृत्तीय बेलन में इस प्रकार सीधा डाल दिया जाता है कि यह बेलन की तली को स्पर्श करें। यदि बेलन की त्रिज्या 60 cm है और ऊंचाई 180 cm है तो बेलन में शेष बचे पानी का आयतन ज्ञात कीजिए।

हल:
दिए गए ठोस का आयतन,
शंकु की त्रिज्या = 60 cm
शंकु की ऊँचाई = 120 cm
बेलन की त्रिज्या = 60 cm
बेलन की ऊँचाई = 180 cm
अर्धगोले की त्रिज्या = 60 cm

अब,
ठोस का कुल आयतन = शंकु का आयतन + अर्धगोले का आयतन शंकु का आयतन
= 1/3πr² h = 1/3 ×60² ×120cm³ = 144×10³π cm³
अर्धगोले का आयतन = (⅔) ×π×60 ³ cm³ = 144×10³ π cm³

अतः, ठोस का कुल आयतन = 144×10³ π cm³ + 144×10³π cm³ = 288 × 10³π cm³
बेलन का आयतन = π×60² × 180 = 648000 = 648×10 ³ cm³
अब, बचे हुए पानी का आयतन होगा = बेलन का आयतन – ठोस का आयतन
= (648-288) × 10³ × π = 1.131 m³

8. एक गोलाकर कांच के बर्तन की एक बेलन के आकार की गर्दन है जिसकी लंबाई 8 cm है और व्यास 2 cm है जबकि गोलाकार भाग का व्यास 8.5 cm है। इसमें भरे जा सकने वाली पानी की मात्रा कर एक बच्चे ने यह ज्ञात किया कि इस बर्तन का आयतन 345cm³ है। जांच कीजिए कि उस बच्चे का उत्तर सही है या नहीं यह मानते हुए कि उपरोक्त मापन आंतरिक मापन है और π =3.14

हल:
दिया गया है,
बेलन के भाग के लिए, ऊँचाई (h) = 8 cm और त्रिज्या (R) = (2/2) cm = 1 cm
गोलाकार भाग के लिए, त्रिज्या (r) = (8.5/2) = 4.25 cm
अब, इस बर्तन का आयतन = बेलन का आयतन + गोले का आयतन
= π×(1)² ×8+(4/3)π(4.25)³
= 346.51 cm³

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• अध्याय – 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
• अध्याय – 10 वृत्त
• अध्याय – 11 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
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• अध्याय – 13 सांख्यिकी
• अध्याय – 14 प्रायिकता

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