NCERT Solutions Class 10th Math Chapter – 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग (Some Applications of Trigonometry) प्रश्नावली 9.1

June 9, 2022

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग (Some Applications of Trigonometry) प्रश्नावली 9.1

Textbook	NCERT
Class	Class 10th
Subject	(गणित) Mathematics
Chapter	Chapter – 9
Chapter Name	त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग (Some Applications of Trigonometry)
Mathematics	Class 10th गणित Question & Answer
Medium	Hindi
Source	Last Doubt

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग (Some Applications of Trigonometry) प्रश्नावली 9.1

? Chapter – 9?

✍ त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग ✍

? प्रश्नावली 9.1?

1. सर्कस का एक कलाकार एक 20 m लंबी डोर पर चढ़ रहा है जो अच्छी तरह से तनी हुई है भूमि पर सीधे लगे खंभे के शिखर से बंधा हुआ है l यदि भूमि स्तर से साथ डोर द्वारा बनाया गया कोण 30^∘का हो तो खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए ( देखिए आक्रति 9.11 ) l

हल: रस्सी की लंबाई 20 m है और रस्सी द्वारा जमीनी स्तर से बनाया गया कोण 30° है।
दिया है: AC = 20 m और कोण C = 30°
ज्ञात करने के लिए: खम्भे की ऊँचाई
मान लीजिए AB एक उर्ध्वाधर खंभा है
दाएँ ABC में, साइन सूत्र
sin 30° = AB/AC
का प्रयोग करते हुए sin 30° का मान ½ है, हमें प्राप्त है
1/2 = AB/20
AB = 20/2
AB = 10
इसलिए, खम्भे की ऊंचाई 10 m है।

2. आँधी आने से एक पेड़ टूट जाता है और टुटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर जमीन को छूने लगता है और इसके साथ 30^∘ का कोण बनता है पेड़ के पाद – बिंदु की दुरी , जहाँ पेड़ का शिखर जमीन को छूता है l पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए l

हल : दिए गए निर्देशों का प्रयोग करते हुए एक आकृति बनाइए। मान लीजिए AC पेड़ का टूटा हुआ हिस्सा है। कोण C = 30°
BC = 8 m
ज्ञात करना: पेड़ की ऊँचाई, जो AB . है

आकृति से: पेड़ की कुल ऊंचाई AB और AC का योग है अर्थात AB+AC
समकोण ABC में,
कोसाइन और स्पर्शरेखा कोणों का उपयोग करते हुए,
cos 30° = BC/AC
हम जानते हैं कि, cos 30° = √3/2
3 /2 = 8/AC
AC = 16/√3 …(1)
साथ ही,
tan 30° = AB/BC
1/√3 = AB/8
AB = 8/√3….(2)
इसलिए, कुल ऊंचाई पेड़ = AB + AC = 16/√3 + 8/√3 = 24/√3 = 8√3 m।

3. एक ठेकेदार बच्चों को खेलने के लिए एक पार्क में दो फिसलनपट्टी लगाना चाहती है l 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए वह एक ऐसी फिसलनपट्टी लगाना चाहती है जिसका शिखर 1.5 m की ऊँचाई पर हो और भूमि के साथ 30^∘ के कोण पर झुका हुआ हो, जबकि इससे अधिक उम्र के बच्चों ले लिए वह 3 m की ऊँचाई पर एक अधिक ढाल की फिसलनपट्टी लगाना चाहती है , जो भूमि के साथ 60^∘ का कोण बनाती हो l प्रत्येक स्थिति में फिसलनपट्टी की लंबाई क्या होनी चाहिए ?

समाधान: ठेकेदार की योजना के अनुसार,

मान लीजिए, ABC लंबाई AC के साथ 30° पर झुकी हुई स्लाइड है और PQR
लंबाई PR के साथ 60° पर झुकी हुई स्लाइड है।
खोजने के लिए: AC और PR
दाएं ΔABC में,
sin 30° = AB/AC
1/2 = 1.5/AC
AC = 3
साथ ही,
दायीं ओर ΔPQR में,
sin 60° = PQ/PR ⇒
√3/2 = 3/PR
PR = 2√3
इसलिए, 5 से नीचे की स्लाइड की लंबाई = 3 m और
बड़े बच्चों के लिए स्लाइड की लंबाई = 2√3 m

4. भूमि के एक बिंदु से , जो मीनार के पाद – बिंदु से 30 m की दुरी पर है , मीनार के शिखर का उनंयन कोण 30^∘है l मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए l

हल : मान लीजिए AB मीनार की ऊँचाई है और C बिंदु ऊँचाई है जो मीनार के पाद से 30 m दूर है।

खोजने के लिए: AB (टॉवर की ऊंचाई)
दाएं ABC में
tan 30° = AB/BC
1/√3 = AB/30
AB = 10√3
इस प्रकार, टावर की ऊंचाई 10√3 m है।

5. भूमि से 60 m की ऊँचाई पर एक पतंग उड़ रही है पतंग डोरी को अस्थायी रूप से भूमि के एक बिंदु से बांध दिया गया है l भूमि के साथ डोरी का झुकाव 60^∘ है l यह मानकर कि डोरी में कोई ढील नहीं है , डोरी कि लंबाई ज्ञात कीजिए l

हल : दिए गए निर्देश के आधार पर एक आकृति बनाइए।

माना BC = पतंग की जमीन से ऊँचाई, BC = 60 m
AC = जमीन से डोरी की झुकी हुई लंबाई और
A वह बिंदु है जहाँ पतंग की डोरी बाँधी जाती है।
खोजने के लिए: जमीन से स्ट्रिंग की लंबाई यानी AC का मान
उपरोक्त आकृति से,
पाप 60 डिग्री = BC/AC 3/2
= 60/AC
AC = 40√3 m
इस प्रकार, स्ट्रिंग की लंबाई जमीन से 40√3 m है।

6. 1.5m लंबा एक लड़का 30 m ऊँचे एक भवन से कुछ दुरी पर खड़ा है l जब वह ऊँचे भवन की और जाता है तब उसकी आँख से भवन के शिखर का उनंयन कोण 30^∘ से 60^∘ हो जाता है बताइए कि वह भवन कि ओर कितनी दुरी तक चलकर गया हैl

हल: मान लीजिए कि लड़का शुरू में 30° झुकाव के साथ बिंदु Y पर खड़ा है और फिर वह 60° झुकाव के साथ भवन के बिंदु X पर पहुंचता है।

खोजने के लिए: दूरी लड़का इमारत की ओर चला गया अर्थात XY
आकृति से,
XY = CD।
भवन की ऊँचाई = AZ = 30 m.
AB = AZ – BZ = 30 – 1.5 = 28.5
AB का माप 28.5 m है
दाएं ΔABD में,
tan 30° = AB/BD
1/√3 = 28.5/BD
BD = 28.5√3 m
फिर से,
दाएं ΔABC में,
tan 60 ° = AB/BC
√3 = 28.5/BC
BC = 28.5/√3 = 28.5√3/3
इसलिए, BC की लंबाई 28.5√3/3 m है।
XY = CD = BD – BC = (28.5√3-28.5√3/3) = 28.5√3(1-1/3) = 28.5√3 × 2/3 = 57/√3 = 19√3 m।
इस प्रकार, लड़के द्वारा इमारत की ओर चलने की दूरी 19√3 m है।

7. भूमि के एक बिंदु से एक 20 m ऊँचे भवन के शिखर पर लगी एक संचार मीनार के तल और शिखर के उनंयन कोण क्रमश :45^∘और 60^∘ है l मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए l

हल : मान लीजिए BC 20 मीटर ऊँचा भवन है।
D जमीन पर वह बिंदु है जहां से ऊंचाई ली जाती है।
ट्रांसमिशन टावर की ऊंचाई = AB = AC – BC

खोजने के लिए: AB, मीनार की ऊँचाई
आकृति से, दाएँ BCD में,
tan 45° = BC/CD
1 = 20/CD
CD = 20
फिर से,
दाएँ ΔACD में,
tan 60° = AC/CD
√3 = AC/20
AC = 20√3
अब, AB = AC – BC = (20√3-20) = 20 (√3-1)
ट्रांसमिशन टावर की ऊंचाई = 20 (√3 – 1) m।

8. एक पैंडस्टल के शिखर पर एक 1.46 m ऊँची मूर्ति लगी है। भूमि के एक बिंदु से मूर्ति के शिखर का उन्नयन कोण 60^∘ है और बिंदु से पेडस्टल के शिखर का उन्नयन कोण 45^∘ है । पेडस्टल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : मान लीजिए AB मूर्ति की ऊँचाई है।
D जमीन पर वह बिंदु है जहां से ऊंचाई ली जाती है।
ढूँढना: कुरसी की ऊँचाई = BC = AC-AB

आकृति से,
समकोण त्रिभुज BCD में,
tan 45° = BC/CD
1 = BC/CD
BC = CD….. (1)
फिर से,
दाएँ ACD में,
tan 60° = AC/CD
√3 = ( AB+BC) /CD
√3CD = 1.6 + BC
√3BC = 1.6 + BC (समीकरण का प्रयोग करके (1)
√3BC – BC = 1.6
BC(√3-1) = 1.6
BC = [(1.6)(√3+1)]/[ (√3-1)(√3+1)]
BC = [1.6(√3+1)]/(2) m
BC = 0.8(√3+1)
इस प्रकार, कुरसी की ऊंचाई 0.8(√3) है +1) m।

9. एक मीनार के पाद – बिंदु से एक भवन के शिखर का उनंयन कोण 30^∘ है और भवन के पाद – बिंदु से मीनार के शिखर का उनंयन कोण 60^∘ है l यदि मीनार 50 m ऊँची हो , तो भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिएl

हल मान लीजिए कि मीनार की ऊँचाई CD है। AB भवन की ऊँचाई हो। ई.पू. भवन के पाद और मीनार के बीच की दूरी हो। मीनार और भवन से क्रमशः ऊँचाई 30⁰ डिग्री और 60⁰ है।

दायीं BCD में,
tan 60° = CD/BC
√3 = 50/BC
BC = 50/√3 … (1)
फिर से,
दायीं ABC में,
tan 30° = AB/BC
⇒ 1/√3 = AB/BC
प्रयोग समीकरण (1)
AB = 50/3 में प्राप्त परिणाम
इस प्रकार, भवन की ऊंचाई 50/3 m है।

10. एक 80 m चौड़ी सड़क के दोनों और आमने – सामने लंबाई वाले दो खंभे लगे हुए है l इन दोनों खंभो के बीच सड़क के एक बिंदु से खंभों के शिखर के उनंयन कोण क्रमश : 60^∘ और 30^∘ है l खंभों की ऊँचाई और खंभों से बिंदु की दुरी ज्ञात कीजिए l

हल: मान लीजिए कि AB और CD समान ऊँचाई के ध्रुव हैं। O उनके बीच का वह बिंदु है जहाँ से ऊँचाई की ऊँचाई ली गई है। BD ध्रुवों के बीच की दूरी है।

उपरोक्त आकृति के अनुसार, AB = CD,
OB + OD = 80 m
अब,
दाएँ CDO में,
tan 30° = CD/OD
1/√3 = CD/OD
CD = OD/√3 … (1)
फिर से,
दाएँ में ABO,
tan 60° = AB/OB
√3 = AB/(80-OD)
AB = √3(80-OD)
AB = CD (दिया गया)
√3(80-OD) = OD/√3 (समीकरण का प्रयोग करते हुए) 1))
3(80-OD) = OD
240 – 3 OD = OD
4 OD = 240
OD = 60 OD
का मान समीकरण में रखना (1)
CD = OD/√3
CD = 60/
√3 CD = 20√
साथ ही,
OB + OD = 80 m ⇒
OB = (80-60) m = 20 m
इस प्रकार, खंभों की ऊँचाई 20√3 m और ऊँचाई के बिंदु से दूरी
क्रमशः 20 m और 60 m है।

11. एक नहर के एक तट पर एक टीवी टॉवर ऊर्ध्वाधरत : खड़ा है l टॉवर के शिखर का उनंयन कोण 60^∘ है इसी तट पर इस बिंदु से 20 m दूर और इस बिंदु को मीनार के पाद से मिलाने वाली रेखा पर स्थिति एक अन्य बिंदु से टॉवर के शिखर का उनंयन कोण 30^∘ है l ( देखिए आकृति 9.12 ) l टॉवर की ऊँचाई और नहर की चौड़ाई ज्ञात कीजिएl

हल : दिया गया है, AB मीनार की ऊँचाई है।
DC = 20 m (दिया गया)
दिए गए आरेख के अनुसार, दाएं ΔABD में,
tan 30° = AB/BD
1/√3 = AB/(20+BC)
AB = (20+BC)/√3 … (i)
पुन,
दायीं ABC में,
tan 60° = AB/BC
√3 = AB/BC
AB = 3 BC … (ii)
समीकरण (i) और (ii)
3 BC = (20+BC)/√3
3 BC= 20 + BC
2 BC = 20
BC = 10 BC
का मान समीकरण में रखने पर (ii)
AB = 10√3
इसका तात्पर्य यह है कि मीनार की ऊँचाई 10√3 m और नहर की चौड़ाई 10 m है।

12. 7m ऊँचे भवन के शिखर से एक केवल टॉवर के शिखर का उनंयन कोण 60^∘ है और इसके पाद का अवनमन कोण 45^∘ है l टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए l

हल : मान लीजिए AB 7 m की ऊँचाई वाला भवन है और EC मीनार की ऊँचाई है।
A वह बिंदु है जहाँ से मीनार की ऊँचाई 60° है और इसके पाद का अवनमन कोण 45° है।
EC = DE + CD
साथ ही, CD = AB = 7 m। और BC = AD
ज्ञात करने के लिए: EC = मीनार की ऊँचाई
दिए गए निर्देशों के आधार पर एक आकृति बनाइए:

दाएं ΔABC में,
tan 45° = AB/BC
1= 7/BC
BC = 7
क्योंकि BC = AD
इसलिए AD = 7
फिर से, समकोण त्रिभुज ADE से,
tan 60° = DE/AD
√3 = DE/7
DE = 7√3 m
अब: EC = DE + CD
= (7√3 + 7) = 7(√3+1)
इसलिए, टावर की ऊंचाई 7(√3+1) m है।

13. समुद्र – तल से 75 m ऊँची लाइट हाउस के शिखर से देखने पर समुद्र जहाजों के अवनमन कोण 30^∘ और 45^∘ है l यदि लाइट हाउस के एक ही ओर एक जहाज के ठीक पीछे हो तो दो जहाजों के बीच की दुरी ज्ञात कीजिए l

हल : मान लीजिए AB 75 m ऊँचाई का प्रकाश स्तंभ है। माना C और D जहाजों की स्थिति है।
30° और 45° प्रकाशस्तंभ से अवनमन कोण हैं।
दिए गए निर्देशों के आधार पर एक आकृति बनाएं:

खोजने के लिए: CD = दो जहाजों के बीच की दूरी
चरण 1: समकोण त्रिभुज ABC से,
tan 45° = AB/BC
1= 75/BC
BC = 75 m
चरण 2: समकोण त्रिभुज ABD बनाएं,
tan 30° = AB/BD
1/ 3 = 75/BD
BD = 75√3
चरण 3: CD का माप ज्ञात करने के लिए, चरण 1 और चरण 2 में प्राप्त परिणामों का उपयोग करें।
CD = BD – BC = (75√3 – 75) = 75 (√3-1) )
दोनों जहाजों के बीच की दूरी 75(√3-1) m है।

14. 1.2 m लंबी एक लड़की भूमि से 88.2 m की ऊँचाई पर एक क्षैतिज रेखा में हवा में उड़ रहे गुब्बारे को देखती है l किसी भी क्षण लड़की की आँख से गुब्बारे का उनंयन कोण 60^∘ है l कुछ समय बाद उनंयन कोण घटकर 30^∘ हो जाता है ( देखिए आक्रति 9.13) l इस अंतराल के दौरान गुब्बारे द्वारा तय की गई दुरी ज्ञात कीजिए l

हल: मान लीजिए कि गुब्बारे की प्रारंभिक स्थिति A है और अंतिम स्थिति B है।
गुब्बारे की लड़की की ऊँचाई से ऊँचाई = 88.2 m – 1.2 m = 87 m।
खोजने के लिए: गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी = DE = CE – CD
आइए दी गई आकृति को अपनी सुविधा के अनुसार फिर से डिज़ाइन करें

चरण 1: दाएं ΔBEC में,
tan 30° = BE/CE
1/√3= 87/CE
CE = 87√3
चरण 2:
दाएं ADC में,
tan 60° = AD/CD
√3= 87/CD
CD = 87 /√3 = 29√3
चरण 3:
DE = CE – CD = (87√3 – 29√3) = 29√3 (3 – 1) = 58√3
गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी = 58√3 m।

15. एक सीधा राजमार्ग एक मीनार के पाद तक जाता है l मीनार के शिखर पर खड़ा एक आदमी एक कार को 30^∘ के अवनमन कोण पर देखता है जो की ओर एक सामान चाल से जाता है छ : सेकंड बाद कार का अवनमन कोण 60^∘ हो गया l इस बिंदु से मीनार के पाद तक पहुंचने में कार द्वारा लिया गया समय ज्ञात कीजिए l

हल : मान लीजिए AB मीनार है।
D प्रारंभिक है और सी क्रमशः कार की अंतिम स्थिति है।
चूँकि मनुष्य मीनार के शीर्ष पर खड़ा है, इसलिए अवनमन कोणों को A से मापा जाता है।
BC मीनार के पाद से कार तक की दूरी है।

चरण 1: दाएं ABC में,
tan 60° = AB/BC
√3 = AB/BC
BC = AB/√3
AB = √3 BC
चरण 2:
दायीं ओर ABD में,
tan 30° = AB/BD
1/√3 = AB/BD
AB = BD/√3
चरण 3: फॉर्म चरण 1 और चरण 2, हमारे पास
√3 BC = BD/√3 है (चूंकि LHS समान हैं, इसलिए RHS भी समान हैं)
3 BC = BD
3 BC = BC + CD 2 BC =
CD
या BC = CD/2
यहां, BC की दूरी CD की आधी है। इस प्रकार लिया गया समय भी आधा है।
CD की दूरी तय करने में कार द्वारा लिया गया समय = 6 सेकंड। कार द्वारा BC की यात्रा करने में लिया गया समय = 6/2 = 3 सेकंड।

16. मीनार के आधार से ओर एक सरल रेखा में 4 m ओर 9 m की दुरी पर स्थित दो बिंदुओं से मीनार के शिखर के उनंयन कोण पूरक कोण है l सिध्द कीजिए कि मीनार की ऊँचाई 6 m है l

हल : मान लीजिए AB मीनार है। C और D दो बिंदु हैं जिनकी दूरी क्रमशः आधार से 4m और 9 m है। प्रश्न के अनुसार,

दायीं ओर ΔABC में,
tan x = AB/BC
tan x = AB/4
AB = 4 tan x… (i)
पुनः ABD से,
tan (90°-x) = AB/BD
cot x = AB/9
AB = 9 cot x … (ii)
समीकरण (i) और (ii)
AB ² = 9 cot x × 4 tan x
AB ² = 36 (क्योंकि खाट x = 1/tan x
⇒ AB = ± 6 गुणा
करना क्योंकि ऊँचाई ऋणात्मक नहीं हो सकती है। अत: मीनार की ऊँचाई 6 m है,
अतः सिद्ध है।