NCERT Solutions Class 10th Math Chapter – 8 त्रिकोणमिति का परिचय (Introduction to Trigonometry) प्रश्नावली 8.2

NCERT Solutions Class 10th Math Chapter – 8 त्रिकोणमिति का परिचय (Introduction to Trigonometry) प्रश्नावली 8.2

NCERT Solutions Class 10th Math Chapter – 8 त्रिकोणमिति का परिचय (Introduction to Trigonometry) प्रश्नावली 8.2

? Chapter – 8?

✍त्रिकोणमिति का परिचय✍

? प्रश्नावली 8.2?

1. निम्नलिखित के मान निकालिए:

(i) sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°

(ii) 2 tan ²  45° + cos ²  30° – sin ²  60

हल: (i) sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°

सबसे पहले, दिए गए त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान ज्ञात कीजिए

sin 30° = 1/2

cos 30° = √3/2

sin 60° = 3/2

क्योंकि 60°= 1/2

अब, दी गई समस्या में मानों को प्रतिस्थापित करें

sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60° = √3/2 ×√3/2 + (1/2) ×(1/2 ) = 3/4+1/4 = 4/4 =1

(ii) 2 tan ²  45° + cos ²  30° – sin ²  60

हम जानते हैं कि, त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान हैं:

sin 60° = √3/2

cos 30° = √3/2

tan 45° = 1

दी गई समस्या में मानों को प्रतिस्थापित कीजिए

2 tan ²  45° + cos ²  30° – sin ²  60 = 2(1) ²  + (√3/2) ² -(√3/2) ²

2 tan ²  45° + cos ²  30° – sin ²  60 = 2 + 0

2 tan ²  45° + cos ²  30° – sin ²  60 = 2

(iii) cos 45°/(sec 30° + cosec 30°)

हम जानते हैं कि,

cos 45° = 1/√2

sec 30° = 2/√3

cosec 30° = 2

मूल्यों को प्रतिस्थापित करें, हमें मिलता है

अब, अंश और हर दोनों को √2 से गुणा करें, हमें मिलता है

इसलिए, cos 45°/(sec 30°+cosec 30°) = (3√2 – √6)/8

sin 30° = 1/2

tan 45° = 1

cosec 60° = 2/√3

sec 30° = 2/√3

cos 60° = 1/2

cot 45° = 1

दी गई समस्या में मानों को प्रतिस्थापित कीजिए, हमें प्राप्त होता है

हम जानते हैं कि,

cos 60° = 1/2

सेकंड 30° = 2/√3

tan 45° = 1

sin 30° = 1/2

cos 30° = √3/2

अब, दी गई समस्या में मानों को प्रतिस्थापित करें, हमें प्राप्त होता है

(5cos ² 60° + 4sec ² 30° – tan ² 45°)/(sin ²  30° + cos ²  30°)

= 5(1/2) ² +4(2/√3) ² -1 ² /(1/2) ² +(√3/2) ²

 = (5/4+16/3-1)/(1/4+3/4)

= (15+64-12)/12/(4/4)

= 67/12

2. सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प का औचित्य दीजिए :
(i) 2tan 30°/1+tan ² 30° =
(A) sin 60° (B) cos 60° (C) tan 60° (D) sin 30°
( ii) 1-tan ² 45°/1+tan ² 45° =
(A) tan 90° (B) 1 (C) sin 45° (D) 0
(iii) sin 2A = 2 sin A सत्य है जब A =
(ए) 0 डिग्री (बी) 30 डिग्री (सी) 45 डिग्री (डी) 60 डिग्री

(iv) 2tan30°/1-tan ² 30° =
(A) cos 60° (B) sin 60° (C) tan 60° (D) sin 30°

हल: (i) (ए) सही है।
दिए गए समीकरण में
tan 30° = 1/
√3 2tan30°/1+tan²30° = 2(1/√3)/1+(1/√3)2
= (2/√3 )/(1+1/3) = (2/√3)/(4/3)
= 6/4√3 = √3/2 = sin 60°
प्राप्त समाधान त्रिकोणमितीय अनुपात sin 60° के बराबर है

(ii) (d) सही है।
दिए गए समीकरण में tan 45° के स्थान पर
tan 45° = 1
1-tan²45°/1+tan²45° = (1-12)/(1+12)
= 0/2 = 0
उपरोक्त समीकरण का हल 0 है। .

(iii) (a) सही है।
A का मान ज्ञात करने के लिए, विकल्पों में दी गई घात को एक-एक करके प्रतिस्थापित करें
sin 2A = 2 sin A सत्य है जब A = 0°
क्योंकि sin 2A = sin 0° = 0
2 sin A = 2 sin 0° = 2 × 0 = 0
या,
sin 2A सूत्र लागू करें, डिग्री मान
sin 2A = 2sin A cos A
⇒2sin A cos A = 2 sin A
⇒ 2cos A = 2 ⇒ cos A = 1
अब, हमें जांचना है, 1 के रूप में समाधान प्राप्त करें, किस डिग्री मान को लागू करना है।
जब 0 डिग्री cos मान पर लागू होती है, अर्थात cos 0 =1
इसलिए, A = 0°

(iv) (c) सही है।
दिए गए समीकरण में tan 30° को प्रतिस्थापित करें
tan 30° = 1/
√3 2tan30°/1-tan ² 30° = 2(1/√3)/1-(1/√3) ²
= (2/√ 3)/(1-1/3) = (2/√3)/(2/3) = √3 = tan 60°
दिए गए समीकरण का मान tan 60° के बराबर है।

3. यदि tan(A+B)=3–√ और tan(A−B)=1/3–√,0∘<A+B≤90∘,A>B तो A और B का मान ज्ञात कीजिए ।

हल:
tan (A + B) = √3
चूँकि 3 = tan 60°
अब घात मान
tan (A + B) = tan 60°
(A + B) = 60° … (i)
उपरोक्त समीकरण कोसमीकरण के रूप में माना जाता है (i)
tan (A – B) = 1/√3
क्योंकि 1/√3 = tan 30°
अब डिग्री मान
tan (A – B) = tan 30°
(A – B) = 30° रखें। … समीकरण (ii)
अब समीकरण (i) और (ii) को जोड़ें, हमेंB=60
° + 30°है। A समीकरण में (i) B का मान ज्ञात करने के लिए45° + B = 60°B = 60° – 45°B = 15°इसलिए A = 45° और B = 15°

4. बताइये कि निम्नलिखित में कौन – कौन सत्य हैं या असत्य हैं । कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए ।

(i) sin(A+B) = sinA+sinB.

(ii) θ में वृद्धि होने के साथ sin θ के मान में भी वृद्धि होती है ।

(iii) θ में वृद्धि होने के साथ cos θ के मान में भी वृद्धि होती है ।

(iv) θ के सभी मानों पर sin θ = cosθ

(v) A = 0∘ पर cot A परिभाषित नहीं है ।

हल : (i) असत्य।
औचित्य:
आइए हम A = 30° और B = 60° लें, फिर
sin (A + B) सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करें, हमें
sin (A + B) = sin (30° + 60°) = sin 90°= 1 और,
sin A + sin B = sin 30° + sin 60°
= 1/2 + √3/2 = 1+√3/2
चूँकि प्राप्त मान समान नहीं हैं, हल गलत है।

(ii) सच।
औचित्य:
यूनिट सर्कल के अनुसार प्राप्त मूल्यों के अनुसार, पाप के मान हैं:
sin 0 डिग्री = 0
sin 30 डिग्री = 1/2
sin 45 डिग्री = 1/√2
sin 60 डिग्री = √3/2
sin 90 डिग्री = 1
इस प्रकार बढ़ने पर sin का मान बढ़ता है। अत: कथन सत्य है

(iii) झूठा।
इकाई वृत्त के अनुसार प्राप्त मानों के अनुसार, cos के मान हैं:
cos 0° = 1
cos 30° = √3/2
cos 45° = 1/√2
cos 60° = 1/2
cos 90° = 0
इस प्रकार, जैसे-जैसे बढ़ता है, cos का मान घटता जाता है। अत: ऊपर दिया गया कथन असत्य है।

(iv) असत्य
sin = cos , जब एक समकोण त्रिभुज में (π/4) के 2 कोण होते हैं। अतः उपरोक्त कथन असत्य है।

(v) सच।
चूँकि cot फलन tan फलन का व्युत्क्रम है, इसे इस प्रकार भी लिखा जाता है:
cot A = cos A/sin A
अब स्थानापन्न A = 0°
cot 0° = cos 0°/sin 0° = 1/0 = अपरिभाषित।
इसलिए, यह सच है