NCERT Solutions Class 10th Math Chapter – 8 त्रिकोणमिति का परिचय (Introduction to Trigonometry) प्रश्नावली 8.1

June 9, 2022

NCERT Solutions Class 10th Math Chapter – 8 त्रिकोणमिति का परिचय (Introduction to Trigonometry) प्रश्नावली 8.1

Textbook	NCERT
Class	Class 10th
Subject	(गणित) Mathematics
Chapter	Chapter – 9
Chapter Name	त्रिकोणमिति का परिचय (Introduction to Trigonometry)
Mathematics	Class 10th गणित Question & Answer
Medium	Hindi
Source	Last Doubt

NCERT Solutions Class 10th Math Chapter – 8 त्रिकोणमिति का परिचय (Introduction to Trigonometry) प्रश्नावली 8.1

? Chapter – 8?

✍त्रिकोणमिति का परिचय✍

? प्रश्नावली 8.1?

ΔABC में, जिसका कोण B समकोण है, AB = 24 cm और BC = 7 cm है । निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए :
(i) sinA,cosA
(ii) sinC,cosC

हल: दिए गए त्रिभुज ABC में, B पर समकोण = B = 90°
दिया गया है: AB = 24 सेमी और BC = 7 सेमी
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,
एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण भुजा के वर्ग बराबर होते हैं। अन्य दो पक्षों के वर्गों के योग के लिए।
पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं
AC²=AB²+BC²
AC²=AB²+BC²
AC² = (576+49)
AC² = 625cm²
AC = √625 = 25
इसलिए, AC = 25 सेमी

(i) sin (A), Cos (A)
ज्ञात करने के लिए हम जानते हैं कि sine (या) sin फलन विपरीत भुजा की लंबाई और कर्ण भुजा के अनुपात के बराबर है। तो यह
sin हो जाता है (A) = विपरीत पक्ष / कर्ण = BC / AC = 7/25
कोसाइन या कॉस फ़ंक्शन आसन्न पक्ष की लंबाई के अनुपात के बराबर होता है और यह बन जाता है,
कॉस (ए) = आसन्न भुजा/कर्ण = AB/AC = 24/25

(ii) sin C, Cos (C)
sin (C) = AB/AC = 24/25
कोस (C) = BC/AC= 7/25

2. आकृति 8 . 13 में, tan P – cot R का मान ज्ञात कीजिए ।

हल: दिए गए त्रिभुज PQR में, दिया गया त्रिभुज Q पर समकोण है और दिए गए माप हैं:
PR = 13cm,
PQ = 12cm
चूँकि दिया गया त्रिभुज समकोण त्रिभुज है, भुजा QR ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय
कापाइथागोरस प्रमेय,
एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण भुजा के वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होते हैं।
PR² = QR² + PQ²
PR और PQ के मानों को प्रतिस्थापित करें
13²= QR²+12²
169 = QR²+144
इसलिए, QR²= 169−144
QR²= 25
QR = √25 = 5
इसलिए, भुजा QR = 5 सेमी
टैन P – कोट R खोजने के लिए:
त्रिकोणमितीय अनुपात के अनुसार, स्पर्शरेखा फ़ंक्शन विपरीत पक्ष की लंबाई के अनुपात के बराबर होता है, टैन (P) का मान टैन हो जाता है
(P) = विपरीत पक्ष / आसन्न पक्ष = QR/PQ = 5/12
चूँकि खाट फलन तन फलन का व्युत्क्रम है, इसलिए खाट फलन का अनुपात बन जाता है,
खाट (R) = आसन्न भुजा/विपरीत भुजा = QR/PQ = 5/12
इसलिए,
tan (P) – ot (R) = 5/12 – 5/12 = 0
इसलिए, tan(P) – cot(R) = 0

3. यदि $\sin A = \frac{3}{4}$ , तो cos A और tan A का मान परिकलित कीजिए ।

हल: मान लीजिए कि एक समकोण त्रिभुज ABC, B पर समकोण है,
दिया गया है: sin A = 3/4
हम जानते हैं कि sin फलन विपरीत भुजा की लंबाई और कर्ण भुजा के अनुपात के बराबर है।
इसलिए, sin A = विपरीत पक्ष / कर्ण = 3/4 माना
BC 3k है और AC 4k होगा
जहां k एक सकारात्मक वास्तविक संख्या है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, कर्ण भुजा के वर्ग समकोण त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होते हैं और हमें प्राप्त होता है,
AC²=AB²+ BC²
AC और BC के मान को प्रतिस्थापित करें
( 4k)²=AB² + (3k)²
16k²−9k² =AB ²
AB ² =7k ²
इसलिए, AB = 7k अब, हमें
cos A और tan A का मान ज्ञात करना है। अंश और हर दोनों में अचर k को रद्द करने पर हमें AB/AC = √7k/4k = 7/4 प्राप्त होता है। BC और AB और अंश और हर दोनों में अचर k को रद्द करने पर, हमें प्राप्त होता है, BC/AB = 3k/√7k = 3/√7 इसलिए, tan A = 3/√7

4. दिया गया 15 cot A = 8, sin A और sec A ज्ञात कीजिए।

हल: मान लीजिए कि एक समकोण त्रिभुज ABC है, जिसका कोण B है,
दिया गया है: 15 cot A = 8
तो, Cot A = 8/15
हम जानते हैं कि, cot फलन आसन्न भुजा की लंबाई के अनुपात के बराबर है। विपरीत दिशा।
इसलिए, खाट A = आसन्न भुजा/विपरीत भुजा = AB/BC = 8/15
माना AB 8k है और BC 15k होगा
, जहां k एक धनात्मक वास्तविक संख्या है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, कर्ण भुजा के वर्ग समकोण त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होते हैं और हमें प्राप्त होता है,
AC²=AB²+ BC²AB
और BC के मान को प्रतिस्थापित करें।²= (8k)² + (15k)²

AC ² = 64k ² + 225k ²
AC ² = 289k ²
इसलिए, AC = 17k अब, हमें
sin A और sec A का मान ज्ञात करना है। और AC और अचर k को अंश और हर दोनों में रद्द करते हैं, तो हमें sin A = BC/AC = 15k/17k = 15/17 प्राप्त होता है। कर्ण भुजा की लंबाई और आसन्न भुजा के अनुपात के बराबर है। सेक (A) = कर्ण/आसन्न पक्ष BC और AB के मान को प्रतिस्थापित करें और अंश और हर दोनों में स्थिरांक k को रद्द करें, हम प्राप्त करते हैं,

AC /AB = 17k/8k = 17/8
इसलिए सेकंड (A) = 17/8

5. यदि secθ = 13/12, हो तो अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपात परिकलित कीजिए ।

हल: हम जानते हैं कि sec फलन, cos फलन का व्युत्क्रम है जो कर्ण भुजा की लंबाई और आसन्न भुजा के अनुपात के बराबर है।
आइए मान लें कि एक समकोण त्रिभुज ABC है, जो B पर समकोण है।
सेकंड θ =13/12 = कर्ण/आसन्न भुजा = AC/AB
मान लीजिए AC 13k है और AB 12k होगा
जहां k एक धनात्मक वास्तविक संख्या है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, कर्ण भुजा के वर्ग समकोण त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होते हैं और हमें प्राप्त होता है,
AC²=AB²+ BC²
AB और AC के मान को प्रतिस्थापित करें
( 13k)²= (12k)² + BC²
169k²= 144k ² + BC ²
169k ² = 144k ² + BC ²
BC ^{2 =} 169k ² – 144k 2 ^BC
2 ⁼ 25k ² इसलिए
, BC = 5k
अब, अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों में संगत मानों को प्रतिस्थापित करें। /कर्ण = BC/AC = 5/13 Cos = आसन्न भुजा/कर्ण = AB/AC = 12/13 tan θ = सम्मुख भुजा/आसन्न भुजा = BC/AB = 5/12 Cosec θ = कर्ण/विपरीत भुजा = AC /BC = 13/5 खाट = आसन्न भुजा/विपरीत भुजा = AB/BC = 12/5

6. यदि $∠ A$ और $∠ B$ न्यून कोण हो, जहाँ $\cos A = \cos B$ , तो दिखाइए कि $∠ A = ∠ B$

हल: मान लीजिए कि त्रिभुज ABC जिसमें CD⊥AB
है, कोण A और B न्यून कोण हैं, जैसे कि
Cos (A) = cos (B)
लिए गए कोणों के अनुसार, cos अनुपात
AD/AC= BD/BC
अब, पदों को आपस में बदलें, हमें
AD/BD = AC/BC
है मान लीजिए
AD/BD = AC/BC = k
अब समीकरण को
AD = k BD…(1)
AC = k BC…(2)
CAD और △CBD में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने से हमें प्राप्त होता है,
CD² = BC² – BD²… (3)
CD²=AC²-AD² ….(4)
समीकरणों से (3) तथा ( 4) हमें मिलता है,
AC ² -AD² = BC ² -BD²
अब समीकरण (1) और (2) को (3) और (4)
के ² (BC² -BD² )=(BC² -BD² ) के ² = में प्रतिस्थापित करें। 1
इस मान को समीकरण में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं
AC = BC
∠A=∠B (समान भुजा के सम्मुख कोण समान समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं)

7. यदि $\cot θ = \frac{7}{8}$ , तो (i) $\frac{(1 + \sin θ) (1 - \sin θ)}{(1 + \cos θ) (1 - \cos θ)}, (i i) \cot^{2} θ$ का मान निकालिए ?
हल: आइए मान लें a ABC जिसमें ∠B = 90° और ∠C = 0
दिया गया है:
cot θ = BC/AB = 7/8
माना BC = 7k और AB = 8k, जहां k एक धनात्मक वास्तविक संख्या
है। ABC में पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार हम पाते हैं।
AC² = AB² + BC²
AC² = (8k) ² + (7k) ²
AC² = 64k ² +49k ²
AC² = 113k ²
AC= √113 k
साइन और कॉस फंक्शन अनुपात के अनुसार, यह लिखा जाता है जैसा
sin θ = AB/AC = विपरीत भुजा/कर्ण = 8k/√113 k = 8/√113 और
cos = आसन्न भुजा/कर्ण = BC/AC = 7k/√113 k = 7/√113
अब मान लागू करें पाप फ़ंक्शन और कॉस फ़ंक्शन का:

8. यदि 3 cot A = 4 , तो जाँच कीजिए कि 1−tan²A/1+tan² A = cos² A−sin² A है या नहीं ।

हल: मान लीजिए ABC जिसमें ∠B=90°
हम जानते हैं कि, cot फलन tan फलन का व्युत्क्रम है और इसे
cot(A) = AB/BC = 4/3
मान लीजिए AB = 4k और BC =3k, जहाँ k एक धनात्मक वास्तविक संख्या है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,
AC²=AB²+BC²
AC²=(4k)²+(3k)²
AC²=16k²+9k²
AC²=25k²
AC=5k
अब, इसके संगत मानों को लागू करें अनुपात
tan(A) = BC/AB = 3/4
sin (A) = BC/AC = 3/5
cos (A) = AB/AC = 4/5
अब लेफ्ट हैंड साइड (LHS) की राइट हैंड साइड (RHS) से तुलना करें

चूँकि, LHS और RHS दोनों =
7/25 R.HS =LHS
इसलिए, (1-tan2 A)/(1+tan2 A) = cos2 A – sin 2 A सिद्ध होता है।

9. त्रिभुज ABC में, जिसका कोण B समकोण है, यदि tan A = 1/√3 है, तो इसका मान ज्ञात कीजिए:

(i) sin A cos C + cos A sin C
(ii) cos A cos C – sin A sin C

हल:
माना ABC, जिसमें B=90° tan A = BC/AB = 1/√3 माना
BC = 1k और AB = 3 k,
जहाँ k समस्या की धनात्मक वास्तविक संख्या है
ABC में पाइथागोरस प्रमेय से हम पाते हैं :
AC²=AB²+BC²
AC²=(√3 k)²+(k)²
AC²=3k²+k²
AC²=4k²
AC = 2k
अब cos A, sin A sin का मान ज्ञात
कीजिएA = BC/AC = 1/2
Cos A = AB/AC = √3/2
फिर cos C और sin C का मान
पाप C = AB/AC = √3/2
Cos C = BC/AC = 1/ 2
अब, दी गई समस्या में मानों को प्रतिस्थापित करें

(i) sin A cos C + cos A sin C = (1/2) ×(1/2 )+ √3/2 ×√3/2 = 1/4 + 3/4 = 1
(ii) cos A cos सी – पाप एक पाप सी = (√3/2 )(1/2) – (1/2) (√3/2 ) = 0

10. Δ PQR में, Q पर समकोण, PR + QR = 25 सेमी और PQ = 5 सेमी। sin P, cos P और tan P के मान ज्ञात कीजिए

हल: दिए गए त्रिभुज PQR में, Q पर समकोण, निम्नलिखित माप हैं
PQ = 5 सेमी
PR + QR = 25 सेमी
अब मान लें, QR = x
PR = 25-QR
PR = 25- x
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार
PR² = PQ² + QR²
PR के मान को x
(25- x)²= 5²+ x²
25² + x² – 50x = 25 + x²
625 + x²-50x -25 – x²= 0
-50x = -600
x= -600/-50
x = 12 = QR
अब, PR का मान
PR = 25- QR
QR का मान रखें PR
= 25-12
PR = 13
अब, दी गई समस्या के मान को प्रतिस्थापित करें
(1) sin p = विपरीत भुजा/कर्ण = QR/PR = 12/13
(2) Cos p = आसन्न भुजा/कर्ण = PQ/PR= 5/13
(3) तन पी = विपरीत पक्ष/आसन्न पक्ष = QR/PQ= 12/5

11. बताइए कि निम्नलिखित सत्य हैं या असत्य। आपने जवाब का औचित्य साबित करें।

(i) tan A का मान हमेशा 1 से कम होता है।
(ii) sec A = 12/5 कोण A के कुछ मान के लिए।
(iii)cos A कोण A के कोसेकेंट के लिए प्रयुक्त संक्षिप्त नाम है।
(iv) खाट A खाट का गुणनफल है और A.
(v) sin = 4/3 किसी कोण θ के लिए।

हल: (i) tan A का मान हमेशा 1 से कम होता है।
उत्तर: असत्य
प्रमाण: ΔMNC में जिसमें ∠N = 90∘,
MN = 3, NC = 4 और MC = 5
tan M का मान = 4/3 जो इससे बड़ा है।
त्रिभुज को 3, 4 और कर्ण = 5 के बराबर भुजाओं के साथ बनाया जा सकता है क्योंकि यह पाइथागोरस प्रमेय का पालन करेगा।
MC²= MN²+NC²
5²=3²+4²
25=9+16
25 = 25

(ii) कोण A के कुछ मान के लिए सेकंड A = 12/5
उत्तर: सही
औचित्य: मान लीजिए कि एक ΔMNC जिसमें ∠N = 90º,
MC=12k और MB=5k है, जहां k एक धनात्मक वास्तविक संख्या है।
पाइथागोरस प्रमेय से हमें प्राप्त होता है,
MC ² =MN ² +NC ²
(12k) ² =(5k) ² +NC ²
NC ² +25k ² =144k ²
NC ² =119k ²
ऐसा त्रिभुज संभव है क्योंकि यह पाइथागोरस का अनुसरण करेगा प्रमेय

(iii) cos A कोण A के कोसेकेंट के लिए इस्तेमाल किया जाने वाला संक्षिप्त नाम है।
उत्तर: गलत
औचित्य: कोण M के कोसेकेंट के लिए प्रयुक्त संक्षिप्त नाम cosec M है। क्योंकि M कोण M के कोसाइन के लिए उपयोग किया जाने वाला संक्षिप्त नाम है।

(iv) खाट ए खाट और ए का उत्पाद है।
उत्तर: झूठा
औचित्य: खाट एम खाट और एम का उत्पाद नहीं है। यह ∠M का कोटैंजेंट है।

(v) sin = 4/3 किसी कोण θ के लिए।
उत्तर: झूठा
औचित्य: पाप = विपरीत/कर्ण
हम जानते हैं कि एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण सबसे लंबी भुजा होती है।
sin θ हमेशा 1 से कम होगा और के किसी भी मान के लिए यह कभी भी 4/3 नहीं हो सकता है।