NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 7 निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry) प्रश्नावली 7.4

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 7 निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry) प्रश्नावली 7.4

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 7 निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry) प्रश्नावली 7.4

? Chapter – 7?

✍ निर्देशांक✍

? प्रश्नावली 7.4?

1. बिंदुंओ A (2,−2) और B (3,7) को जोड़ने वाले रेखाखंड को रेखा 2x + y−4 = 0 जिस अनुपात में विभाजित करती है उसे ज्ञात कीजिए |

हल: रेखा 2x + y – 4 = 0 पर विचार करें, रेखा AB को दो बिंदुओं A(2, -2) और B(3, 7) से k: 1 के अनुपात में विभाजित करती है।
विभाजन के बिंदु के निर्देशांक निम्नानुसार दिए जा सकते हैं:
x = (2 + 3k)/(k + 1) और y = (-2 + 7k)/(k + 1)
दिए गए समीकरण में x और y के मानों को प्रतिस्थापित करना, अर्थात 2x + y – 4 = 0, हमारे पास
2{(2 + 3k)/(k + 1)} + {(-2 + 7k)/(k + 1)} – 4 = 0
(4 + 6k)/( k + 1) + (-2 + 7k)/(k + 1) = 4
4 + 6k – 2 + 7k = 4(k+1)
-2 + 9k = 0
या k = 2/9
इसलिए, अनुपात है 2: 9.

2.x और y में एक संबंध ज्ञात कीजिए, यदि बिंदु (x,y),(1,2) और (7,0) संरेखी हैं |

हल: यदि दिए गए बिंदु संरेख हैं तो उनके द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए।
माना (x, y), (1, 2) और (7, 0) एक त्रिभुज के शीर्ष हैं, त्रिभुज का
क्षेत्रफल = 1/2 × [x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)] = 0
[x(2 – 0) + 1 (0 – y) + 7 (y – 2)] = 0
2x – y + 7y – 14 = 0
2x + 6y – 14 = 0
x + 3y – 7 = 0.
जो अपेक्षित परिणाम है।

3. बिंदुंओ (6,−6),(3,−7) और (3,3) से होकर जाने वाले वृत्त का केंद्र ज्ञात कीजिए |

हल: मान लीजिए कि A = (6, -6), B = (3, -7), C = (3, 3) एक वृत्त पर स्थित बिंदु हैं।
यदि O केंद्र है, तो OA = OB = OC (त्रिज्या बराबर हैं)
यदि O = (x, y) तो
OA = [(x – 6)² + (y + 6)²]
OB = √[(x – 3)2 + (y + 7)²]
OC = [(x – 3)2 + (y – 3)²]
चुनें: OA = OB,
ऊपर सरलीकरण करने के बाद, हमें -6x = 2y – 14 मिलता है ….(1)
इसी प्रकार: OB = OC
(x – 3)²+ (y + 7)²= (x – 3)²+ (y – 3)²
(y + 7)²2 = (y – 3)²
y²+ 14y + 49 = y²– 6y + 9
20y =-40
या y = -2
समीकरण (1) में y का मान रखने पर, हम प्राप्त करते हैं;
-6x = 2y – 14
-6x = -4 – 14 = -18
x = 3
इसलिए, बिंदु (3, -2) पर स्थित वृत्त का केंद्र।

4. किसी वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष (−1,2) और (3,2) हैं | वर्ग के अन्य दोनों शीर्ष ज्ञात कीजिए |

हल:  माना ABCD एक वर्ग है, जहाँ A(-1,2) और B(3,2) हैं। और बिंदु O AC और BD का प्रतिच्छेदन बिंदु है
खोजने के लिए: बिंदु B और D का निर्देशांक।

चरण 1: A और C के बीच की दूरी और बिंदु O के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हम जानते हैं कि एक वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
AC = √[(3 + 1) ²  + (2 – 2) ² ] = 4
O के निर्देशांक निम्नानुसार परिकलित किए जा सकते हैं:
x = (3 – 1)/2 = 1 और y = (2 + 2)/2 = 2 अतः ,
O(1,2)
चरण 2: पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए वर्ग
की भुजा ज्ञात कीजिए । = 2√2 चरण 3: बिंदु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए AD और CD की लंबाई माप समान कीजिए मान लीजिए , यदि D के निर्देशांक हैं (x ₁ , y ₁ ) AD = √[(x ₁

 + 1) ²  + (y ₁  – 2) ² ]
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
AD ² = (x1 + 1) ² + (y1 – 2) ²
इसी प्रकार, CD ²  = (x ₁  – 3) ²  + (y ₁  – 2) ²
चूँकि एक वर्ग की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, जिसका अर्थ है AD = CD
(x ₁  + 1) ²  + (y ₁  – 2) ²  = (x ₁  – 3) ²  + (y ₁  – 2) ²
x ₁ ²  + 1 + 2x ₁  = x ₁²  + 9 – 6x ₁
8x ₁  = 8
x ₁  = 1
y1 का मान x के मान का उपयोग करके निम्नानुसार परिकलित किया जा सकता है।
चरण 2 से: वर्ग की प्रत्येक भुजा = 2√2
CD ²  = (x ₁  – 3) ²  + (y ₁  – 2) ²
8 = (1 – 3) ²  + (y ₁  – 2) ²
8 = 4 + (y ₁  – 2) ²
y ₁  – 2 = 2
y ₁ = 4
इसलिए, D = (1, 4)
चरण 4:
रेखाखंड, BOD से बिंदु B के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
B के निर्देशांकों की गणना O के निर्देशांकों का उपयोग करके की जा सकती है; इस प्रकार:
पहले, हमने BD के लिए O = (1, 2)
मान लीजिए B = (x ₂ , y ₂ ) की गणना की थी; 1 = (x ₂  + 1)/2 x ₂  = 1 और 2 = (y ₂  + 4)/2 => y ₂  = 0 इसलिए, आवश्यक बिंदुओं के निर्देशांक B = (1,0) और D = ( 1,4)

5. कृष्णानगर के एक सेकेंडरी स्कूल के कक्षा X के विद्यार्थियों को उनके बागवानी क्रियाकलाप के लिए एक आयताकार भूखंड दिया गया है। गुलमोहर की पौधे (sapling ) को परस्पर 1 m की दुरी पर इस भूखंड की परिसीमा (boundary) पर लगाया जाता है। इस भूखंड के अंदर एक त्रिभुजाकार घास लगा हुआ लॉन (lawn ) है, जैसाकि आकृति में दर्शाइए गया है। विद्यार्थियों को भूखंड के शेष भाग में फूलों के पौधे के बीज बोने हैं।

(i) A को मूल मानते हुए, त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

(ii) यदि C मूल बिंदु है तो त्रिभुज PQR के शीर्षों के निर्देशांक क्या होंगे?

इन स्थितियों में त्रिभुजों का क्षेत्रफल भी परिकलित कीजिए। आप क्या देखते हैं?

हल:

(i) A को मूल मानते हुए, शीर्षों P, Q और R के निर्देशांक हैं,
आकृति से: P = (4, 6), Q = (3, 2), R (6, 5)
यहाँ AD है x- अक्ष और AB y-अक्ष है।

(ii) C को मूल मानते हुए,
शीर्षों P, Q और R के निर्देशांक क्रमशः (12, 2), (13, 6) और (10, 3) हैं।
यहाँ CB x-अक्ष है और CD, y-अक्ष है।
त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात
कीजिए: मूल A के मामले में त्रिभुज PQR का
क्षेत्रफल: सूत्र का उपयोग करना: त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × [x ₁ (y ₂  – y ₃ ) + x ₂ (y ₃  – y ₁ ) + x ₃ (y ₁  – y ₂ )]
= ½ [4(2 – 5) + 3 (5 – 6) + 6 (6 – 2)]
= ½ (- 12 – 3 + 24 )
= 9/2 वर्ग इकाई

(ii) मूल बिंदु C के मामले में त्रिभुज PQR का
क्षेत्रफल: त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × [x ₁ (y ₂  – y ₃ ) + x ₂ (y ₃  – y ₁ ) + x ₃ (y ₁  – y ) ₂ )]
= ½ [ 12(6 – 3) + 13 (3 – 2) + 10( 2 – 6)]
= ½ ( 36 + 13 – 40)
= 9/2 वर्ग इकाई
इसका तात्पर्य है, त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल मूल बिंदु A = त्रिभुज PQR का मूल बिंदु C
का क्षेत्रफल दोनों ही स्थितियों में समान है क्योंकि त्रिभुज वही रहता है चाहे किसी भी बिंदु को मूल बिंदु माना जाए।

6. एक त्रिभुज ABC के शीर्ष  A (4, 6), B (1, 5) और C (7, 2) हैं। भुजाओं AB व AC को क्रमशः D व E पर प्रतिच्छेद करते हुए एक रेखा इस प्रकार खींची गयी है की AD/AB = AE/AC = 1/4  ΔADE  का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये तथा इसकी तुलना ΔABC का क्षेत्रफल से कीजिये|

हल: दिया है: ABC के शीर्ष A (4, 6), B (1, 5) और C (7, 2) हैं।

AD/AB = AE/AC = 1/4
AD/(AD + BD) = AE/(AE + EC) = 1/4
बिंदु D और बिंदु E, AB और AC को क्रमशः 1:3 के अनुपात में विभाजित करते हैं।
D के निर्देशांक कर सकते हैं इस प्रकार गणना की जाए:
x = (m ₁ x ₂  + m ₂ x ₁ )/(m ₁  + m ₂ ) और y = (m ₁ y ₂  + m ₂ y ₁ )/(m ₁  + m ₂ )
यहां m1 = 1 और m2 = 3
रेखाखंड AB पर विचार करें जो बिंदु D से 1:3 के अनुपात में विभाजित है।
x = [3(4) + 1(1)]/4 = 13/4
y= [3(6) + 1(5)]/4 = 23/4
इसी तरह, ई के निर्देशांक की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:
x = [1(7) + 3(4)]/4 = 19/4
y = [1(2) + 3(6)]/4 = 20/4 = 5
त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें:
सूत्र का उपयोग करना: त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × [x ₁ (y ₂  – y ₃ ) + x ₂ (y ₃  – y ₁ ) + x ₃ (y ₁  – y ₂ )]
क्षेत्रफल त्रिभुज ∆ ABC की गणना इस प्रकार की जा सकती है:
= ½ [4(5 – 2) + 1(2 – 6) + 7(6 – 5)]
= ½ (12 – 4 + 7) = 15/2 वर्ग इकाई
क्षेत्रफल ADE की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:
= ½ [4(23/4 – 5) + 13/4 (5 – 6) + 19/4 (6 – 23/4)]
= ½ (3 – 13/4 + 19/16)
= ½ ( 15/16 ) = 15/32 वर्ग इकाई
इसलिए, त्रिभुज ADE के क्षेत्रफल का त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल से अनुपात = 1: 16।

7. मान लीजिये  A (4, 2), B (6, 5) और C (1, 4) एक त्रिभुज ABC के शीर्ष है।

(i) A से माध्यिका BC से D पर मिलती है। बिंदु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

(ii) AD पर बिंदु P के निर्देशांक इस प्रकार ज्ञात कीजिए कि AP : PD = 2 : 1 हो।

(iii) माध्यिका BE और CF पर क्रमशः बिंदु Q और R के निर्देशांक इस प्रकार ज्ञात कीजिए कि BQ: QE = 2:1 और CR: RF = 2: 1 हो।

(iv) आप क्या देखते हैं?

[नोट: वह बिंदु जो तीनों माध्यिकाओं में उभयनिष्ठ होता है, केन्द्रक कहलाता है

और यह बिंदु प्रत्येक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।]

(v) यदि A (x ₁ , y ₁ ), B (x ₂ , y ₂ ) और C (x ₃ , y ₃ ) त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं, तो त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल:

(i) D के निर्देशांक की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:
D के निर्देशांक = ( (6+1)/2, (5+4)/2 ) = (7/2, 9/2)
तो, D है (7/2, 9/2)

(ii) P के निर्देशांकों की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:
P के निर्देशांक = ( [2(7/2) + 1(4)]/(2 + 1), [2(9/2) + 1(2)]/(2 + 1)) = (11/3) , 11/3)
तो, P है (11/3, 11/3)

(iii) E के निर्देशांक की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:
E के निर्देशांक = ( (4+1)/2, (2+4)/2 ) = (5/2, 6/2) = (5/2 , 3)
तो, ई है (5/2 , 3)
बिंदु Q और P संपाती होंगे क्योंकि त्रिभुज की माध्यिकाएं एक दूसरे को एक उभयनिष्ठ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं जिसे केन्द्रक कहते हैं। Q का निर्देशांक निम्नानुसार दिया जा सकता है:
क्यू के निर्देशांक  =( [2(5/2) + 1(6)]/(2 + 1), [2(3) + 1(5)]/(2 + 1)) = (11/3, 11) / 3)
F भुजा AB का मध्य-बिंदु है
F के निर्देशांक = ( (4+6)/2, (2+5)/2 ) = (5, 7/2)
बिंदु R, भुजा CF को 2:1 . के अनुपात में विभाजित करता है
आर के निर्देशांक  = ( [2(5) + 1(1)]/(2 + 1), [2(7/2) + 1(4)]/(2 + 1)) = (11/3, 11) / 3)

(iv) P, Q और R के निर्देशांक समान हैं जो दर्शाता है कि माध्यिकाएं एक दूसरे को एक उभयनिष्ठ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, अर्थात त्रिभुज का केन्द्रक।

(v) यदि A (x 1 , y 1 ), B (x 2 , y 2 ) और C (x 3 , y 3 ) त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं, तो केन्द्रक के निर्देशांक निम्नानुसार दिए जा सकते हैं:
x = (x 1  + x 2  + x 3 )/3 और y = (y 1  + y 2  + y 3 )/3

8. बिंदुओं A (−1,−1),B(−1,4),C (5,4) और D (5,−1) से एक आयत ABCD बनता है | P,Q,R और S क्रमश : भुजाओं AB,BC,CD और DA के मध्य बिंदु हैं | क्या चतुर्भुज PQRS एक वर्ग है ? क्या यह एक आयत है ? क्या यह एक समचतुर्भुज है ? सकारण उतर दीजिए |

हल:

P, भुजा AB का मध्य-बिंदु है,
P का निर्देशांक = ((-1 – 1)/2, (-1 + 4)/2) = (-1, 3/2)
इसी प्रकार, Q, R और S हैं (चूंकि Q, BC का मध्य-बिंदु है, R, CD का मध्य-बिंदु है और S, AD का मध्य-बिंदु है)
Q का निर्देशांक = (2, 4)
R का निर्देशांक = (5, 3/2)
S का निर्देशांक = (2, – 1)
अब,
PQ की लंबाई = √[(-1 – 2) ²  + (3/2 – 4) ² ] = √(61/4) = √61/2
SP की लंबाई = √[(2 + 1) ²  + (-1 – 3/2) ² ] = √(61/4) = √61/2
QR की लंबाई = √[(2 – 5) ²  + (4 – 3/2) ² ] = √(61 ) /4) = √61/2
रुपये की लंबाई = √[(5 – 2) ²  + (3/2 + 1) ² ] = √(61/4) = 61/2
PR (विकर्ण) की लंबाई = √[(-1 – 5) ²  + (3/2 – 3/2) ² ] = 6
QS (विकर्ण) की लंबाई = [(2 – 2) ²  + (4 + 1 ) ² ] = 5
उपरोक्त मान दर्शाते हैं कि, PQ = SP = QR = RS = 61/2, अर्थात सभी भुजाएँ समान हैं।
लेकिन PR QS यानी विकर्ण बराबर माप के नहीं होते हैं।
अत: दी गई आकृति एक समचतुर्भुज है।