NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 6 त्रिभुज (Triangles) प्रश्नावली 6.3

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 6 त्रिभुज (Triangles) प्रश्नावली 6.3

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 6 त्रिभुज (Triangles) प्रश्नावली 6.3

? Chapter – 6?

✍त्रिभुज✍

? प्रश्नावली 6.3?

1. बताइए कि आकृति 6.34 में दिए त्रिभुजों के युग्मों में से कौन – कौन से युग्म समरूप हैं| उस समरूपता कसौटी को लिखिए जिसका प्रयोग आपने उत्तर देनें में किया है तथा साथ ही समरूप  त्रिभुजों को सांकेतिक रूप  में व्यक्त कीजिए|

हल: (i) दिया गया है, ABC और ΔPQR में,
ZA = P = 60°
ZB = ZQ = 80°
C = ∠R = 40°
इसलिए AAA समरूपता मानदंड से,
ABC ~ PQR

(ii) दिया गया है, ABC और ΔPQR में,
AB/QR = 2/4 = 1/2,
BC/RP = 2.5/5 = 1/2,
CA/PA = 3/6 = 1/2
SSS समानता मानदंड से,
ABC ~ ΔQRP

(iii) दिया गया है, LMP और DEF में,
LM = 2.7, MP = 2, LP = 3, EF = 5, DE = 4, DF = 6
MP/DE = 2/4 = 1/2
PL/DF = 3/ 6 = 1/2
LM/EF = 2.7/5 = 27/50
यहां MP/DE = PL/DF ≠ LM/EF
इसलिए, LMP और ΔDEF समान नहीं हैं।

(iv) MNL और QPR में, यह दिया गया है,
MN/QP = ML/QR = 1/2
∠M = ∠Q = 70°
इसलिए, SAS समानता मानदंड से
MNL ~ QPR

(v) ABC और ΔDEF में, दिया गया है कि,
AB = 2.5, BC = 3, A = 80°, EF = 6, DF = 5, F = 80°
यहाँ AB/DF = 2.5/5 = 1/ 2
और, BC/EF = 3/6 = 1/2
B ≠ F
इसलिए, ABC और DEF समरूप नहीं हैं।

(vi) DEF में, त्रिभुजों के कोणों के योग से, हम जानते हैं कि,
D + E + ∠F = 180°
70° + 80° + F = 180°
F = 180° – 70° – 80°
F = 30°
इसी प्रकार, PQR में,
P + Q + ∠R = 180 (Δ के कोणों का योग)
P + 80° + 30° = 180°
P = 180° – 80 ° -30°
P = 70°
अब, दोनों त्रिभुजों, ΔDEF और ΔPQR की तुलना करने पर, हमें
D = P = 70°
∠F = ∠Q = 80°
∠F = ∠R = 30°
प्राप्त होता है। एएए समानता मानदंड,
इसलिए, ΔDEF ~ ΔPQR

2. आकृति 6.35 में, Δ ODC ~ Δ OBA, ∠BOC = 125^o और ∠CDO = 70^o  है| ∠DOC, ∠DCO और ∠OAB ज्ञात कीजिए|

हल: जैसा कि हम चित्र से देख सकते हैं, जन्म तिथि एक सीधी रेखा है।
अत: DOC + COB = 180°
DOC = 180° – 125° (दिया गया है, BOC = 125°)
= 55°
DOC में, त्रिभुज के कोणों की मापों का योग 180º होता है
, इसलिए ∠DCO + CDO + ∠ DOC = 180°
DCO + 70º + 55º = 180° (दिया गया है, ∠ CDO = 70°)
DCO = 55°
यह दिया गया है कि, ODC OBA,
इसलिए, ODC ~ OBA।
अत: समरूप त्रिभुजों में संगत कोण बराबर होते हैं
∠OCD
∠ OAB = 55° OAB =
OCD
55°

3. समलंब A B C D, जिसमे AB || DC है, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं | दो त्रिभुजों की समरूपता कसौटी का प्रयोग करते हुए,, दर्शाइए कि AO / OC = OB/OD

हल:

DOC और BOA में,
AB || CD, इस प्रकार एकांतर आंतरिक कोण बराबर होंगे,
∴∠CDO = ABO
इसी प्रकार,
∠DCO = BAO
साथ ही, दो त्रिभुजों DOC और BOA के लिए, लंबवत विपरीत कोण बराबर होंगे;
DOC = ZBOA
इसलिए, AAA समरूपता मानदंड से,
ZDOC ~ ZBOA
इस प्रकार, संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
DO/BO = OC/OA OA
/OC = OB/OD
अत: सिद्ध हुआ।

4. आकृति 6 .36 में, QR/QS = QT/PR तथा ∠1=∠2 है दर्शाइए कि ΔPQS~ΔTQR है

हल: ΔPQR में, 
PQR = PRQ
∴ PQ = PR ……………………… (i)
दिया गया है,
QR/QS = QT/PRU समीकरण (i) का प्रयोग करते हुए, हमें
QR/QS = QT/QP… …………….(ii)
ΔPQS और ΔTQR में, समीकरण (ii) द्वारा,
QR/QS = QT/QP
∠Q = ∠Q
ΔPQS ~ TQR [SAS समानता मानदंड द्वारा]

5. Δ PQR की भुजाओं PR और QR पर क्रमश: बिंदु S और T इस प्रकार स्थित हैं कि ∠P = ∠RTS है| दर्शाइए कि Δ RPQ ~ Δ RTS  है |

हल: दिया गया है, PQR की भुजाओं PR और QR पर S और T बिंदु हैं
और P = RTS।

RPQ और RTS में,
RTS = QPS (दिया गया है)
∠R = R (उभय कोण)
RPQ ~ RTS (AA समरूपता मानदंड)

6. आकृति 6.37 में, यदि ΔABE ≅ ΔACD है, तो दर्शाइए कि ΔADE ~ ΔABC है|

हल : दिया गया है, ABE ΔACD।
AB = AC [CPCT द्वारा] ………………………। (i)
और, AD = AE [CPCT द्वारा] ………………………………… (ii)
ΔADE में और ABC, eq.(ii) को eq(i),
AD/AB = AE/AC
से भाग देने पर A = A [उभय कोण]
ADE ~ ABC [SAS समानता मानदंड]

7. आकृति 6.38 में, DABC के शीर्षलंब AD और CE परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं तो दर्शाइए कि :

(i) AEP ~ CDP
(ii) ΔABD ~ CBE
(iii) ΔAEP ~ ADB
(iv) ΔPDC ~ BEC

हल: दिया गया है, ABC के शीर्षलंब AD और CE एक दूसरे को बिंदु P पर काटते हैं।
(i) AEP और ΔCDP में,
AEP = CDP (प्रत्येक 90°)
APE = CPD (ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण)
अत: AA से समानता मानदंड,
AEP ~ CDP

(ii) ABD और CBE में,
ADB = CEB (प्रत्येक 90°)
ABD = CBE (उभय कोण)
इसलिए, AA समानता मानदंड से,
ABD ~ CBE

(iii) AEP और ADB में,
AEP = ADB (प्रत्येक 90°)
PAE = DAB (उभय कोण)
इसलिए, AA समानता मानदंड से,
AEP ~ ADB

(iv) PDC और BEC में,
PDC = BEC (प्रत्येक 90°)
PCD = BCE (उभय कोण)
इसलिए, AA समानता मानदंड से,
PDC ~ BEC

8. समान्तर चतुर्भुज ABCD की बढाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिंदु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है | दर्शाइए कि Δ ABE ~ Δ CFB है |

हल: दिया गया है, E एक समांतर चतुर्भुज ABCD से बनी भुजा AD पर एक बिंदु है और BE, CD को F पर प्रतिच्छेद करता है। नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें,

ABE और CFB में,
A = C (एक समांतर चतुर्भुज के विपरीत कोण)
AEB = CBF (AE || BC के रूप में वैकल्पिक आंतरिक कोण)
ABE ~ CFB (AA समानता मानदंड)

9. आकृति 6.39 में, ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज है, जिसके कोण B और M समकोण हैं| सिद्ध कीजिए कि :

(i) ABC ~ AMP
(ii) CA/PA = BC/MP

हल: दिया गया है, ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज हैं, जिनका कोण क्रमशः B और M है।
(i) ABC और AMP में,
CAB = MAP (उभय कोण)
∠ABC = AMP = 90° (प्रत्येक 90°)
ABC ~ AMP (AA समरूपता मानदंड)

(ii) चूंकि, ΔABC ~ AMP (AA समरूपता मानदंड)
यदि दो त्रिभुज समरूप हों तो संगत भुजाएँ हमेशा समान होती हैं,
इसलिए, CA/PA = BC/MP

10. CD और GH क्रमश: ∠ ACB  और ∠ EGF के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिंदु D और H क्रमश: Δ ABC और ΔFEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं | यदि Δ ABC ~ ΔFEG है, तो दर्शाइए कि : 

(i) CD/GH = AC/FG
(ii) ΔDCB ~ HGE
(iii) ΔDCA ~ HGF

हल: दिया गया है, CD और GH क्रमशः ACB और EGF के समद्विभाजक हैं जैसे कि D और H क्रमशः ABC और EFG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं।

(i) दी गई शर्त से,
ABC ~ FEG।
A = F, ∠B = E, और ∠ACB = FGE
चूंकि, ACB = ∠FGE
∴ ∠ACD = ∠FGH (कोण समद्विभाजक)
और, DCB = HGE (कोण समद्विभाजक)
ΔACD में और FGH,
A = ∠F
∠ACD = ∠FGH
ACD ~ FGH (AA समानता मानदंड)
CD/GH = AC/FG

(ii) DCB और ΔHGE में,
DCB = ∠HGE (पहले ही सिद्ध हो चुका है)
B = E (पहले ही सिद्ध हो चुका है)
DCB ~ HGE (AA समरूपता मानदंड)

(iii) DCA और ΔHGF में,
ACD = FGH (पहले ही सिद्ध हो चुका है)
A = F (पहले से सिद्ध)
DCA ~ HGF (AA ​​समरूपता मानदंड)

11. आकृति 6.40 में, AB = AC वाले, एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिन्दु है| यदि AD ⊥ BC और EF ⊥ AC है तो सिद्ध कीजिए कि ΔABD ~ ΔECF है|

हल: दिया गया है, ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
AB = AC
ABD = ECF
ABD और ΔECF में,
ADB = EFC (प्रत्येक 90°)
∠BAD = CEF (पहले ही सिद्ध हो
ABD ~ ECF (AA ​​समरूपता मानदंड का प्रयोग करके)

12. एक त्रिभुज ABC कि भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमशः भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं (देखिए आकृति 6.41)| दर्शाइए कि ΔABC ~ ΔPQR है|

हल:
दिया गया है, ABC और PQR, AB, BC और ABC की माध्यिका AD PQR की भुजाओं PQ, QR और माध्यिका PM के समानुपाती है
अर्थात AB/PQ = BC/QR = AD/PM
हमें सिद्ध करना है: ABC ~ PQR
जैसा कि हम यहां जानिए,
AB/PQ = BC/QR = AD/PM

AB/PQ = BC/QR = AD/PM (D, BC का मध्यबिंदु है। M, QR का मध्यबिंदु है
)
बराबर]
ABC = PQR
ABC और ΔPQR में
AB/PQ = BC/QR ………………………..(i)
ABC = ∠PQR …………………………( ii)
समीकरण (i) और (ii) से, हम प्राप्त करते हैं,
ABC ~ PQR [SAS समानता मानदंड]

13. एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि ∠ADC = ∠BAC है| दर्शाइए कि CA² = CB.CD है|

हल: दिया गया है, एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार है कि ADC = BAC है।

ADC और BAC में,
ADC = BAC (पहले से ही दिया गया है)
ACD = BCA (उभय कोण)
ADC ~ BAC (AA समरूपता मानदंड)
हम जानते हैं कि समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
∴ CA/CB = CD/CA
⇒ CA2 = CB.CD।
इसलिए सिद्ध किया।

14. एक त्रिभुज ABC की  भुजाएँ AB और AC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM के क्रमशः समानुपाती हैं | दर्शाइए कि ΔABC ~ ΔPQR है |

हल: दिया है: दो त्रिभुज ΔABC और PQR जिनमें AD और PM माध्यिकाएँ इस प्रकार हैं कि;
AB/PQ = AC/PR = AD/PM
हमें सिद्ध करना है, ABC ~ PQR
आइए पहले रचना करते हैं: AD को E में बढ़ाइए ताकि AD = DE हो। CE को मिलाइए, इसी प्रकार PM को N से इस प्रकार बढ़ाइए कि PM = MN, RN को भी मिलाइए।

ABD और CDE में, हमारे पास
AD = DE [निर्माण द्वारा।]
BD = DC [चूंकि, AP माध्यिका है]
और, ADB = CDE [ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण]
ABD CDE [सर्वांगसमता की SAS कसौटी]
AB = CE [CPCT द्वारा] ………………………….. (i)
इसके अलावा, ΔPQM और ΔMNR में,
PM = MN [निर्माण द्वारा।]
QM = MR [चूंकि, PM माध्यिका है]
और, PMQ = ∠NMR [ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण]
PQM = ΔMNR [सर्वांगसमता का SAS मानदंड]
PQ = RN [CPCT] ……………………………… (ii)
अब, AB/PQ = AC/PR = AD/PM
समीकरण (i) और (ii) से,
CE/RN = AC/PR = AD/PM
⇒ CE/RN = AC/PR = 2AD/2PM
⇒ CE/RN = AC/PR = AE/PN [चूंकि 2AD = AE और 2PM = PN]
ACE ~ PRN [SSS समानता मानदंड]
इसलिए, ∠2 = ∠4
इसी प्रकार, 1 = ∠3
∴ 1 + ∠2 = 3 + ∠4
⇒ A = P ……………………………………। (iii)
अब, ABC और PQR में, हमारे पास
AB/PQ = AC/PR (पहले से दिया गया)
समीकरण (iii) से, ∠A = P
∴ ΔABC ~ PQR [ SAS समानता मानदंड]

15. लंबाई 6 m वाले एक उध्वार्धर स्तम्भ की भूमि पर छाया की लंबाई 4 m है, जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लंबाई 28 m है| मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए|

हल: दिया गया है, ऊर्ध्वाधर खम्भे की लंबाई = 6m खम्भे
की छाया = 4 m
माना मीनार की ऊँचाई = h m मीनार
की छाया की लंबाई = 28 m

ABC और DEF में,
C = E (योग का कोणीय उन्नयन)
∠B = F = 90°
ABC ~ DEF (AA ​​समरूपता मानदंड)
AB/DF = BC/EF (यदि दो त्रिभुज समरूप हैं तो संगत भुजाएँ हैं आनुपातिक)
6/H =
4/28 ⇒h = (6×28)/4
⇒ H = 6 × 7
⇒ H = 42 m
इसलिए, टावर की ऊंचाई 42 m है।

16. AD और PM त्रिभुजों ABC और PQR कि क्रमशः मध्यिकाएँ है जबकि ΔABC~ΔPQR है सिद्ध कीजिए कि AB/PQ=AD/PM है

हल: दिया गया है, ABC ~ PQR

हम जानते हैं कि समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
AB/PQ = AC/PR = BC/QR……………………………(i)
साथ ही, A = P, B = Q, C = R …………. …..(ii)
चूँकि AD और PM माध्यिकाएँ हैं, वे अपनी विपरीत भुजाओं को विभाजित करेंगे।
BD = BC/2 और QM = QR/2 ………………………..(iii)
समीकरणों (i) और (iii) से, हमें
AB/PQ = BD/QM ……… …………….(iv)
ABD और ΔPQM में,
समीकरण (ii) से, हमारे पास
B = Q
समीकरण (iv) से, हमारे पास
AB/PQ = BD/QM
ABD ~ PQM (SAS समानता) मानदंड)
AB/PQ = BD/QM = AD/PM