NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 6 त्रिभुज (Triangles) प्रश्नावली 6.2

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 6 त्रिभुज (Triangles) प्रश्नावली 6.2

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 6 त्रिभुज (Triangles) प्रश्नावली 6.2

? Chapter – 6?

✍त्रिभुज✍

? प्रश्नावली 6.2?

1. आकृति 6.17 (i) और (ii),में DE || BC (i) में EC और (ii) में AD ज्ञात कीजिए।

हल:
(i) दिया गया है, ABC में, DE∥BC
∴ AD/DB = AE/EC [मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करते हुए]
⇒1.5/3 = 1/EC EC
= 3/1.5
EC = 3×10/15 =2 cm
इसलिए, EC = 2 cm।

(ii) दिया गया है, ABC में, DE∥BC
AD/DB = AE/EC [मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करते हुए]
AD/7.2 = 1.8 / 5.4
AD = 1.8 ×7.2/5.4 = (18/10)×( 72/10)×(10/54) = 24/10
AD = 2.4
इसलिए, AD = 2.4 cm।

2. किसी त्रिभुज PQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिन्दु E और F स्थित हैं |  निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिए, बताइए कि क्या EF|| QR है|

(i)   PE = 3.9 cm, EQ= 3cm, PF = 3.6 और FR= 2.4 cm
(ii)     PE = 4 cm, QE = 4.5 cm, PF = 8 cm और RF = 9 cm
(iii)     PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm, 0.18 cm और PF = 0.36 cm

हल: दिया गया है, PQR में, E और F क्रमशः PQ और PR पर दो बिंदु हैं। नीचे दिए गए चित्र को देखें;

(i) दिया गया है, PE = 3.9 cm, EQ = 3 cm, PF = 3.6 cm और FR = 2,4 cm
इसलिए, मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं,
PE/EQ = 3.9/3 = 39/30 = 13 /10 = 1.3
और PF / FR = 3.6/2.4 = 36/24 = 3/2 = 1.5
तो, हम प्राप्त करते हैं, PE/EQ PF/FR
इसलिए, EF QR के समानांतर नहीं है।

(ii) दिया गया है, PE = 4 cm, QE = 4.5 cm, PF = 8cm और RF = 9cm
इसलिए, मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं,
PE/QE = 4/4.5 = 40/45 = 8/9
और, PF/RF = 8/9
तो, हम यहां प्राप्त करते हैं,
PE/QE = PF/RF
इसलिए, EF QR के समानांतर है।

(iii) दिया गया है, PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm, PE = 0.18 cm और PF = 0.36 cm
आकृति से,
EQ = PQ – PE = 1.28 – 0.18 = 1.10 cm
और, FR = PR – PF = 2.56 – 0.36 = 2.20 cm
तो, PE/EQ = 0.18/1.10 = 18/110 = 9/55…………. (i) और , PE /
FR = 0.36/2.20 = 36/220 = 9/55 ……………

3. आकृति 6.18 में यदि LM||CB और LN|| CD हो तो सिद्ध कीजिए कि AM / AB=AN / AD है

हल:  दी गई आकृति में, हम देख सकते हैं, LM || CB,
मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं,
AM/AB = AL/AC …………… .. (i)
इसी तरह, दिया गया, LN || CD और बुनियादी आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करते हुए,
AN/AD = AL/AC………………………………(ii)
समीकरण (i) और (ii) से, हम प्राप्त करते हैं,
AM/AB = AN/AD
इसलिए , साबित हुआ।

4. आकृति 6.19 में, DE||AC और DF||AE है।  सिद्ध कीजिए कि BF/FE = BE/EC है।

हल:  ABC में, DE || . के रूप में दिया गया है AC
इस प्रकार, मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं,
BD/DA = BE/EC …………………………………………… (i)
BAE में, DF || के रूप में दिया गया है। AE
इस प्रकार, मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं,
BD/DA = BF/FE ……………………………………………………..(ii)
समीकरण (i) और (ii) से , हम प्राप्त करते हैं
BE/EC = BF/FE
इसलिए, सिद्ध।

5. आकृति 6 .20 में DE||OQ और DF||OR है दर्शाइए कि EF||QR है

हल: दिया गया है,
PQO में, DE || OQ
तो मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके,
PD/DO = PE/EQ……………… ..(i)
ΔPOR में, DF || या,
तो मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके,
PD/DO = PF/FR ………………… (ii)
समीकरण (i) और (ii) से, हम प्राप्त करते हैं,
PE/EQ = PF/FR
इसलिए, विलोम से मूल आनुपातिकता प्रमेय का,
EF || QR, PQR में।

6. आकृति 6 .21 में क्रमशः OP,OQ और OR पर स्थित बिंदु A,B और C इस प्रकार है कि AB||PQ और AC||PR है दर्शाइए कि BC||QR है

हल: यहाँ दिया गया है,
ΔOPQ में, AB || PQ
मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके,
OA/AP = OB/BQ……………….(i)
भी दिया गया है
, AC || PR
मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके
OA/AP = OC/CR……………(ii)
समीकरण (i) और (ii) से, हम प्राप्त करते हैं,
OB/BQ = OC/CR
इसलिए, मूल आनुपातिकता प्रमेय के विलोम से ,
ΔOQR में, BC || क्यूआर.

7.प्रमेय 6.1 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज कि एक भुजा के मध्य -बिंदु से होकर दूसरी भुजा के समान्तर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है (याद कीजिए कि आप इसे कक्षा IX में सिद्ध कर चुके है )

हल: दिया गया है, ABC में, D, AB का मध्यबिंदु इस प्रकार है कि AD=DB है।
BC के समांतर एक रेखा AC को E पर प्रतिच्छेद करती है जैसा कि ऊपर चित्र में दिखाया गया है कि DE || ई.पू.
हमें सिद्ध करना है कि E, AC का मध्य बिन्दु है।
चूँकि D, AB का मध्य-बिंदु है।
AD=DB
⇒AD/DB = 1 …………………………. (i)
ABC में, DE || BC,
मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके,
इसलिए, AD/DB = AE/EC
समीकरण (i) से, हम लिख सकते हैं,
1 = AE/EC
∴ AE = EC
इसलिए, साबित हुआ, E AC का मध्य बिंदु है।

8. प्रमेय 6.2 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज कि किन्ही दो भुजाओ के मध्य -बिन्दुओ को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समान्तर होती है (याद कीजिए कि आप कक्षा IX में ऐसा कर चुके है)

हल: दिया गया है, ABC में, D और E क्रमशः AB और AC के मध्य बिंदु हैं, जैसे कि
AD=BD और AE=EC।

हमें यह साबित करना होगा: DE || ई.पू.
चूँकि, D, AB का मध्यबिंदु है
AD=DB
⇒AD/BD = 1……………………………….. (i)
यह भी दिया गया है, E, AC का मध्य-बिंदु है।
AE=EC
AE/EC = 1
समीकरण (i) और (ii) से, हम पाते हैं,
AD/BD = AE/EC
मूल आनुपातिकता प्रमेय के विलोम से,
DE || ईसा पूर्व
इसलिए, साबित हुआ।

9. ABCD एक समलंब है जिसमे AB||DC है तथा इसके विकर्ण परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते है , दर्शाइए कि AO / BO=CO / DO है।

हल: दिया गया है, ABCD एक समलम्ब है जहाँ AB || DC और विकर्ण AC और BD एक दूसरे को O पर काटते हैं।

हमें सिद्ध करना है, AO/BO = CO/DO
बिंदु 0 से, एक रेखा EO खींचिए जो AD को E पर स्पर्श करे, इस प्रकार कि
EO || DC || AB
ADC में, हमारे पास OE || . है DC
इसलिए, मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके
AE/ED = AO/CO ……………..(i)
अब, ΔABD में, OE || AB
इसलिए, मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके
DE/EA = DO/BO……………….(ii)
समीकरण (i) और (ii) से, हम प्राप्त करते हैं,
AO/CO = BO/DO
AO/BO = CO /DO
इसलिए, साबित हुआ।

10.एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते है कि AO / BO = CO / DO है। दर्शाइए कि ABCD एक समलंब है।

हल: दिया गया है, चतुर्भुज ABCD जहाँ AC और BD एक दूसरे को O पर इस प्रकार काटते हैं कि,
AO/BO = CO/DO।

हमें यहाँ सिद्ध करना है, ABCD एक समलंब है
, बिंदु O से, EO को E पर स्पर्श करते हुए एक रेखा इस प्रकार खींचिए कि,
EO || DC || AB
DAB में, EO || AB
इसलिए, मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके
DE/EA = DO/OB …………………………… (i)
इसके अलावा,
AO/BO = CO/DO
AO/CO = BO/DO
⇒ CO/AO = DO/BO DO
/OB = CO/AO ………………………….. (ii)
समीकरण (i) और (ii) से, हम
DE/EA = CO/AO प्राप्त करते हैं
इसलिए, विलोम का उपयोग करके मूल आनुपातिकता प्रमेय का,
EO || DC भी EO || AB
AB || DC.
अत: चतुर्भुज ABCD एक समलम्ब है जिसमें AB || CD