NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 5 समान्तर श्रेढ़ी (Arithmetic Progressions) प्रश्नावली 5.4

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 5 समान्तर श्रेढ़ी (Arithmetic Progressions) प्रश्नावली 5.4

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 5 समान्तर श्रेढ़ी (Arithmetic Progressions) प्रश्नावली 5.1

? Chapter – 5?

✍समान्तर श्रेढ़ी✍

? प्रश्नावली 5.4?

1. A.P.: 121, 117, 113,…, का कौन-सा पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा?

हल: दिया गया AP श्रंखला 121, 117, 113, है। . इस प्रकार ,
पहला पद, a = 121
सामान्य अंतर, d = 117-121= -4
nवें पद के सूत्र से,
a_n = a+(n −1)d
इसलिए,
a_n = 121+(n−1)( -4)
= 121-4n+4
=125-4n
श्रृंखला का पहला ऋणात्मक पद ज्ञात करने के लिए, a_n < 0
इसलिए,
125-4n <0
125 < 4n
n>125/4
n>31.25
इसलिए, पहला ऋणात्मक श्रृंखला का पद 32^वां पद है।

2. किसी A.P के तीसरे और सातवें पदों का योग 6 है और उनका गुणनफल 8 है। इस A.P. के प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए ।

हल: दिए गए कथनों से हम लिख सकते हैं,
a₃+ a₇ = 6 ……………………………. (i)
और
a₃ × a₇ = 8 ……………………… ……..(ii)
nवें पद के सूत्र से,
a_n = a+(n−1)d
तीसरा पद, a₃ = a+(3 -1)d
a₃ = a + 2d……………… ……………(iii)
और सातवां पद, a₇= a+(7-1)d
a₇ = a + 6d ……………………………….. (iv)
समीकरण (iii) से और (iv) समीकरण (i) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है,
a+2d +a+6d = 6
2a+8d = 6
a+4d=3
या
a = 3–4d ………………………… ……(v)
फिर से eq.(iii) और (iv) को eq में रखकर। (ii), हम प्राप्त करते हैं,
(a+2d)×(a+6d) = 8
समीकरण (v) से a का मान रखने पर, हम प्राप्त करते हैं,
(3–4d +2d)×(3–4d+6d) = 8
(3 –2d)×(3+2d) = 8
3 ²  – 2d ²  = 8
9 – 4d ²  = 8
4d ²  = 1
d = 1/2 या -1/2
अब, d के दोनों मान डालकर , हम पाते हैं,
a = 3 – 4d = 3 – 4(1/2) = 3 – 2 = 1, जब d = 1/2
a = 3 – 4d = 3 – 4(-1/2) = 3+2 = 5, जब d = -1/2
हम जानते हैं, AP के nवें पद का योग है;
S _n  = n/2 [2a +(n – 1)d]
तो, जब a = 1 और d=1/2
तब, पहले 16 पदों का योग है;
S ₁₆ = 16/2 [2 +(16-1)1/2] = 8(2+15/2) = 76
और जब a = 5 और d = -1/2 तब, पहले 16 पदों का योग है;
S ₁₆  = 16/2 [2(5)+(16-1)(-1/2)] = 8(5/2)=20

3. 3. एक सीढ़ी के क्रमागत डंडे परस्पर 25 cm की दूरी पर हैं (देखिए आकृति 5.7 ) । डंडों की लंबाई एक समान रूप से घटती जाती हैं तथा सबसे निचले डंडे की लंबाई 45 cm है और सबसे ऊपर वाले डंडे की लंबाई 25 cm है । यदि ऊपरी और निचले डंडे के बीच की दूरी 2½m है, तो डंडों को बनाने के लिए लकड़ी की कितनी लंबाई की आवश्यकता होगी?

[ संकेत : डंडों की संख्या = 250/25+1 है।] 

हल: दिया गया है,
सीढ़ी के पायदानों के बीच की दूरी 25cm है।
सीढ़ी के शीर्ष पायदान और निचले पायदान के बीच की दूरी =

= 5/2 × 100 cm
= 250 cm
इसलिए, कुल पायदानों की संख्या = 250/25 + 1 = 11
जैसा कि हम चित्र से देख सकते हैं, सीढ़ी ऊपर से नीचे तक घटते क्रम में है। इस प्रकार, अब हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि AP के क्रम में पायदान घट रहे हैं।
और डंडों के लिए आवश्यक लकड़ी की लंबाई AP श्रेणी के पदों के योग के बराबर होगी।
तो,
पहला पद, a = 45
अंतिम पद, l = 25
पदों की संख्या, n = 11
अब, जैसा कि हम जानते हैं, n ^वें पदों का योग बराबर है,
S _n = n/2(a+ l)
S _n = 11 /2(45+25) = 11/2(70) = 385 cm
इसलिए, सीढ़ियों के लिए आवश्यक लकड़ी की लंबाई 385 cm है।

4. एक पंक्ति के मकानों को क्रमागत रूप से संख्या 1 से 49 तक अंकित किया गया है । दर्शाइए की x का एक ऐसा मान की x से अंकित मकान से पहले के मकानों की संख्याओं का योग उसके बाद वाले मकानों के संख्याओं के योग के बराबर है।x का मान ज्ञात कीजिए।

हल: दिया गया है,
पंक्ति के घर 1,2,3,4,5…….49 से संख्याएँ हैं।
इस प्रकार हम देख सकते हैं कि एक पंक्ति में क्रमांकित मकान AP के रूप में हैं।
तो,
पहला पद, a = 1
सामान्य अंतर, d=1
मान लें कि xवें घरों की संख्या को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है;
AP के nवें पद का योग = n/2[2a+(n-1)d]
x घर से परे घरों की संख्या का योग = S_x-1
= (x-1)/2[2(1)+(x-1) -1)1]
= (x-1)/2 [2+x-2]
= x(x-1)/2 ……………………………………………(i)
दिए गए द्वारा शर्त, हम लिख सकते हैं,
S₄₉ – S_x = {49/2[2(1)+(49-1)1]}-{x/2[2(1)+(x-1)1]}
= 25(49) – x(x + 1)/2 ………………………….(ii)
दी गई शर्त के अनुसार, eq.(i) और eq(ii) एक दूसरे के बराबर हैं;
इसलिए,
x(x-1)/2 = 25(49) – x(x+1)/2
x = ± 35
जैसा कि हम जानते हैं, घरों की संख्या ऋणात्मक संख्या नहीं हो सकती। अत: x का मान 35 है।

5. एक फुटबॉल के मैदान में एक छोटा चबूतरा है जिसमे 15 सीढ़ियाँ बनी हुई है इन सीढ़ियों में से प्रत्येक की लम्बाई 50 m है और ठोस कंक्रीट (concrete) की बनी है प्रत्येक सीधी में 1/4m की चढ़ाई है और 1/2m का फैलाव (चौड़ाई ) है
(देखिए आकृति में ) । इस चबूतरे को बनाने में लगी कंक्रीट का कुल आयतन परिकलित कीजिए ।

हल: जैसा कि हम दी गई आकृति से देख सकते हैं, पहला चरण 1/2 m चौड़ा है, दूसरा  चरण 1 मीटर चौड़ा है और तीसरा चरण 3/2  m चौड़ा है। इस प्रकार हम समझ सकते हैं कि सीढ़ी की चौड़ाई हर बार ½ m होती है जब ऊंचाई m होती है। और साथ ही, दी गई सीढ़ियों की लंबाई हर समय 50 m है। तो, चरणों की चौड़ाई एक श्रृंखला AP इस प्रकार बनाती है कि;
½, 1, 3/2, 2, ……..
चरणों का आयतन = घनाभ का आयतन
= लंबाई × चौड़ाई ऊँचाई
अब,
पहला चरण बनाने के लिए आवश्यक कंक्रीट का आयतन = ¼ ×1/2 ×50 = 25/4
आयतन दूसरे चरण के निर्माण के लिए आवश्यक कंक्रीट की मात्रा =¼ ×1×50 = 25/2
दूसरे चरण के निर्माण के लिए आवश्यक कंक्रीट की मात्रा = ×3/2 ×50 = 75/4
अब, हम देख सकते हैं कि चरणों के निर्माण के लिए आवश्यक कंक्रीट की मात्रा AP श्रृंखला में हैं;
25/4 , 25/2 , 75/4 …..
इस प्रकार, AP श्रृंखला अवधारणा को लागू करते हुए,
पहला पद, a = 25/4
सामान्य अंतर, d = 25/2 – 25/4 = 25/4
जैसा कि हम जानते हैं, n पदों का योग है;
S _n  = n/2[2a+(n-1)d] = 15/2(2×(25/4 )+(15/2 -1)25/4)
हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं,
S _n = 15/ 2 (100)
S _n =750
इसलिए, छत बनाने के लिए आवश्यक कंक्रीट की कुल मात्रा 750 m ³ है ।