NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 5 समान्तर श्रेढ़ी (Arithmetic Progressions) प्रश्नावली 5.1

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 5 समान्तर श्रेढ़ी (Arithmetic Progressions) प्रश्नावली 5.1

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 5 समान्तर श्रेढ़ी (Arithmetic Progressions) प्रश्नावली 5.1

? Chapter – 5?

✍समान्तर श्रेढ़ी✍

? प्रश्नावली 5.1?

1.निम्नलिखित स्थितियों में से किन स्थितियों में संबद्ध संख्याओं की सूची A.P है और क्यों?
(i) प्रत्येक किलो मीटर के बाद का टेक्सी का किराया, जबकि प्रथम किलो मीटर के लिए किराया ₹ 15 है और प्रत्येक अतिरिक्त किलो मीटर के लिए किराया ₹ 8 है ।
(ii) किसी बेलन (cylinder) में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु निकालने वाला पंच प्रत्येक बार बेलन की शेष हवा का 14 भाग भहर निकल देता है ।
(iii) प्रत्येक मीटर की खुदाई के बाद, एक कुँआ खोदने में आई लागत, जबकि प्रथम मीटर खुदाई की लागत ₹ 150है और बाद में प्रत्येक मीटर खुदाई की लागत ₹50 बढ़ती जाती है ।
(iv) खाते में प्रत्येक वर्ष का मिश्रधन, जबकि ₹ 10000 की राशि 8% वार्षिक की दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा की जाती है ।

हल: हम दी गई शर्त को इस प्रकार लिख सकते हैं;
1 किमी के लिए टैक्सी का किराया = 15
पहले 2 किमी के लिए टैक्सी का किराया = 15+8 = 23
पहले 3 किमी के लिए टैक्सी का किराया = 23+8 = 31
पहले 4 किमी के लिए टैक्सी का किराया = 31+8 = 39
और इसी तरह ……
इस प्रकार, 15, 23, 31, 39 … एक AP बनाता है क्योंकि प्रत्येक अगला पद पिछले पद से 8 अधिक है।

(ii) एक सिलेंडर में मौजूद हवा की मात्रा जब एक वैक्यूम पंप एक बार में सिलेंडर में शेष हवा का 1/4 भाग निकाल देता है।

हल: मान लीजिए कि एक बेलन में वायु का आयतन प्रारंभ में V लीटर है।
प्रत्येक स्ट्रोक में, वैक्यूम पंप एक बार में सिलेंडर में शेष हवा का 1/4 भाग निकाल देता है। या हम कह सकते हैं, हर झटके के बाद हवा का 1-1/4 = 3/4 भाग रह जाएगा।
इसलिए, आयतन V, 3V/4 , (3V/4)² , (3V/4)³… और इसी तरह आगे भी
, हम यहां देख सकते हैं, इस श्रृंखला के आसन्न पदों में उनके बीच सामान्य अंतर नहीं है। अत: यह श्रंखला एक AP नहीं है

(iii) प्रत्येक मीटर खुदाई के बाद एक कुआँ खोदने की लागत, जब पहले मीटर के लिए 150 रुपये की लागत आती है और बाद में प्रत्येक मीटर के लिए 50 रुपये बढ़ जाती है।

हल: हम दी गई शर्त को इस प्रकार लिख सकते हैं;
पहले m के लिए कुआँ
खोदने की लागत = 150 रुपये पहले 2 मीटर के लिए कुआँ खोदने की लागत = 150+50 रुपये = 200 रुपये
पहले 3 m के लिए कुआँ खोदने की लागत = 200+50 रुपये = 250 रुपये
पहले 4 m के लिए एक कुआँ खोदने की लागत = 250+50 = रु 300
और इसी तरह ..
स्पष्ट रूप से, 150, 200, 250, 300 …
प्रत्येक पद के बीच 50 के सामान्य अंतर के साथ एक एपी बनाता है।

(iv) खाते में प्रति वर्ष वह राशि, जब 8% वार्षिक की दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर 10000 रुपये जमा किए जाते हैं।

हल: हम जानते हैं कि यदि रु. P को n वर्षों के लिए r% चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा किया जाता है, धन की राशि होगी:
P(1+r/100)ⁿ
इसलिए, प्रत्येक वर्ष के बाद, राशि होगी;
10000(1+8/100), 10000(1+8/100)², 10000(1+8/100)³……
स्पष्ट रूप से, इस श्रृंखला की शर्तों में उनके बीच सामान्य अंतर नहीं है। इसलिए, यह एक AP . नहीं है

2. दी हुई A.P. के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद a और सार्व अंतर d निम्नलिखित है:

(i) a = 10, d = 10
(ii) a = -2, d = 0
(iii) a = 4, d = – 3
(iv) a = -1 d = 1/3
(v) a = – 1.25, D = – 0.25

हल:

(i) a = 10, d = 10
मान लें कि अंकगणितीय प्रगति श्रृंखला   a ₁ , a ₂ , a ₃ , a ₄ , a ₅ …
a ₁ = a = 10
a ₂  = a ₁ +d = 10+ हो। 10 = 20
a ₃  = a ₂ +d = 20+10 = 30
a ₄  = a ₃ +d = 30+10 = 40
a ₅  = a ₄ +d = 40+10 = 50
और इसी तरह…
इसलिए, AP श्रंखला 10, 20, 30, 40, 50…
और इस एपी के पहले चार पद 10, 20, 30, और 40 होंगे।

(ii) a = – 2, d = 0
मान लें कि अंकगणितीय प्रक्रमण श्रेणी a ₁ , a ₂ , a ₃ , a ₄ , a ₅ …
a ₁ = a = -2
a ₂  = a ₁ +d = है। – 2+0 = – 2
a ₃  = a ₂ +d = – 2+0 = – 2
a ₄  = a ₃ +d = – 2+0 = – 2
इसलिए, AP श्रृंखला होगी – 2, – 2, – 2, – 2 …
और, इस AP के पहले चार पद होंगे – 2, – 2, – 2 और – 2।

(iii) a = 4, d = – 3
मान लीजिए, अंकगणितीय क्रमागत श्रृखंला a ₁ , a ₂ , a ₃ , a ₄ , a ₅ …
a ₁ = a = 4
a ₂  = a ₁ +d = 4 है। -3 = 1
a ₃  = a ₂ +d = 1-3 = – 2
a ₄  = a ₃ +d = -2-3 = – 5
इसलिए, AP श्रृंखला 4, 1, – 2 – 5 … होगी
और , इस AP के पहले चार पद 4, 1, – 2 और – 5 होंगे।

(iv) a = – 1, d = 1/2
मान लें कि अंकगणितीय क्रम एक ₁ , a ₂ , a ₃ , a ₄ , a ₅ …
a ₂  = a ₁ +d = -1+1/ है। 2 = -1/2
a ₃  = a ₂ +d = -1/2+1/2 = 0
a ₄  = a ₃ +d = 0+1/2 = 1/2
इस प्रकार, AP श्रृंखला होगी -1 , -1/2, 0, 1/2
और इस AP के पहले चार पद -1, -1/2, 0 और 1/2 होंगे।

(v) a = – 1.25, d = – 0.25
मान लें कि अंकगणितीय प्रगती श्रृंखला a ₁ , a ₂ , a ₃ , a ₄ , a ₅ …
a ₁ = a = – 1.25
a ₂  = a ₁ +d है। = – 1.25-0.25 = – 1.50
a ₃  = a ₂ +d = – 1.50-0.25 = – 1.75
a ₄  = a ₃ +d = – 1.75-0.25 = – 2.00
इसलिए, AP श्रृंखला 1.25, – 1.50 होगी, – 1.75, – 2.00 ……..
और इस AP के पहले चार पद होंगे – 1.25, – 1.50, – 1.75 और – 2.00।

3.निम्नलिखित में से प्रत्येक A.P. के लिए प्रथम पद तथा सार्व अंतर लिखिए :
(i) 3, 1, – 1, – 3 …
(ii) -5, – 1, 3, 7 …
(iii) 1/3, 5/3, 9/3, 13/3…
(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9 …

हल:
(i) दी गई श्रृंखला,
3, 1, – 1, – 3 …
पहला पद, a = 3
सामान्य अंतर, d = दूसरा पद – पहला पद
⇒ 1 – 3 = -2
⇒ d = -2

(ii) दी गई श्रृंखला, – 5, – 1, 3, 7 …
पहला पद, a = -5
सामान्य अंतर, d = दूसरा पद – पहला पद
⇒ (-1)-(-5) = – 1+5 = 4

(iii) दी गई श्रृंखला, 1/3, 5/3, 9/3, 13/3…।
पहला पद, a = 1/3
सामान्य अंतर, d = दूसरा पद – पहला पद
⇒ 5/3 – 1/3 = 4/3

(iv) दी गई श्रृंखला, 0.6, 1.7, 2.8, 3.9 …
पहला पद, a = 0.6
सामान्य अंतर, d = दूसरा पद – पहला पद
1.7 – 0.6
⇒ 1.1

4. निम्नलिखित में से कौन कौन A.P. है ? यदि कोई A.P. है, तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और इनके तीन और पद लिखिए ।

(i) 2, 4, 8, 16
(ii) 2, 5/2, 3, 7/2।
(iii) -1.2, -3.2, -5.2, -7.2
(iv) -10, -6, -2, 2…
(v) 3, 3 + √2, 3 + 2√2, 3 + 3√2
( vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222।
(vii) 0,
-4, -8, -12 (viii) -1/2, -1/2, -1/2, -1/2।
(ix) 1, 3, 9, 27…
(x) a, 2a, 3a, 4a…
(xi) a, a ₂ , a ₃ , a ₄  …
(xii) 2, √8, √18, 32 
( Xiii) 3, √6, √9, √12…
(xiv) 12, 32, 52, 72…
(xv) 12, 52, 72, 73

हल: (i) हमें दिया गया है,
2, 4, 8, 16 …
यहाँ, सार्व अंतर है;
a₂ – a₁ = 4 – 2 = 2
a₃ -a₂ = 8 – 4 = 4
a₄ – a₃ = 16 – 8 = 8
क्योंकि, एक + 1 – एक या सामान्य अंतर हर बार समान नहीं होता है .
इसलिए, दी गई श्रृंखला AP नहीं बना रही है

(ii) दिया गया है, 2, 5/2, 3, 7/2….
यहाँ,
a ₂  – a ₁ = 5/2-2 = 1/2
a ₃  – a ₂  = 3-5/2 = 1/2
a ₄  – a ₃ = 7/2-3 = 1/2
क्योंकि, a +1 – एक या सामान्य अंतर हर बार समान होता है।
इसलिए, d = 1/2 और दी गई श्रृंखला AP में हैं
। इसके अगले तीन पद हैं;
a ₅  = 7/2+1/2 = 4
a ₆  = 4 +1/2 = 9/2
a ₇  = 9/2 +1/2 = 5

(iii) दिया गया है, -1.2, – 3.2, -5.2, -7.2 …
यहाँ,
a ₂  – a ₁ = (-3.2)-(-1.2) = -2
a ₃  – a ₂  = (-5.2)-(- 3.2) = -2
a ₄  – a ₃ = (-7.2)-(-5.2) = -2
चूंकि, a+1 – a या सार्व अंतर हर बार समान होता है।
इसलिए, d = -2 और दी गई श्रृंखला AP में हैं
इसलिए, अगले तीन पद हैं;
a ₅  = – 7.2-2 = -9.2
a ₆  = – 9.2-2 = – 11.2
a ₇  = – 11.2-2 = – 13.2

(iv) दिया गया है, -10, – 6, – 2, 2 …
यहाँ, पद और उनके अंतर हैं;
a ₂  – a ₁ = (-6)-(-10) = 4
a ₃  – a ₂  = (-2)-(-6) = 4
a ₄  – a ₃ = (2 -(-2) = 4
चूँकि , a+1 – a या सार्व अंतर हर बार समान होता है।
इसलिए, d = 4 और दी गई संख्याएँ AP में हैं
इसलिए, अगले तीन पद हैं:
a ₅  = 2+4 = 6
a ₆  = = 6+4 = 10
a ₇  = 10+4 = 14

(v) दिया गया है, 3, 3+√2, 3+2√2, 3+3√2
यहाँ,
a ₂  – a ₁ = 3+√2-3 = √2
a ₃  – a ₂  = (3+2 √2)-(3+√2) = √2
a ₄  – a ₃ = (3+3√2) – (3+2√2) = √2
चूंकि, an+1 – a या सामान्य अंतर समान है हर बार।
इसलिए, d = √2 और दी गई श्रृंखला एक AP बनाती है
इसलिए, अगले तीन पद हैं;
a ₅  = (3+√2) +√2 = 3+4√2
a ₆  = (3+4√2)+√2 = 3+5√2
a ₇  = (3+5√2)+√2 = 3+6√2

(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222….
यहाँ,
a ₂  – a ₁ = 0.22-0.2 = 0.02
a ₃  – a ₂  = 0.222-0.22 = 0.002
a ₄  – a ₃ = 0.2222-0.222 = 0.0002
चूँकि, a+1 – a या सार्व अंतर प्रत्येक समय।
इसलिए, और दी गई श्रृंखला AP नहीं बनाती है

(vii) 0, -4, -8, -12 …
यहाँ,
a ₂  – a ₁ = (-4)-0 = -4
a ₃  – a ₂  = (-8)-(-4) = -4
a ₄  – a ₃ = (-12)-(-8) = -4
चूँकि, a+1 – a या सार्व अंतर हर बार समान होता है।
इसलिए, d = -4 और दी गई श्रृंखला एक AP बनाती है
इसलिए, अगले तीन पद हैं;
a ₅  = -12-4 = -16
a ₆  = -16-4 = -20
a ₇  = -20-4 = -24

(viii) -1/2, -1/2, -1/2, -1/2 ….
यहाँ,
a ₂  – a ₁ = (-1/2) – (-1/2) = 0
a ₃  – a ₂  = (-1/2) – (-1/2) = 0
a ₄  – a ₃ = (-1/2) – (-1/2) = 0
चूंकि, a+1 – a या सार्व अंतर हर बार समान होता है।
इसलिए, d = 0 और दी गई श्रृंखला एक AP बनाती है
इसलिए, अगले तीन पद हैं;
a ₅  = (-1/2)-0 = -1/2
a ₆  = (-1/2)-0 = -1/2
a ₇  = (-1/2)-0 = -1/2

(ix) 1, 3, 9, 27…
यहाँ,
a ₂  – a ₁ = 3-1 = 2
a ₃  – a ₂  = 9-3 = 6
a ₄  – a ₃ = 27-9 = 18
चूँकि, a+ 1 – एक या सामान्य अंतर हर बार समान नहीं होता है।
इसलिए, और दी गई श्रृंखला AP नहीं बनाती है

(x) a, 2a, 3a, 4a …
यहाँ,
a ₂  – a ₁ = 2a-a = a
a ₃  – a ₂  = 3a-2a = a
a ₄  – a ₃ = 4a-3a = a
चूँकि, a+ 1 – एक या सामान्य अंतर हर बार समान होता है।
इसलिए, d = a और दी गई श्रृंखला एक AP बनाती है
इसलिए, अगले तीन पद हैं;
a ₅  = 4a+a = 5a
a ₆  = 5a+a = 6a
a ₇  = 6a+a = 7a

(xi) a, a ₂ , a ₃ , a ₄ …
यहाँ,
a ₂  – a ₁ = a ₂ -a = a(a-1)
a ₃  – a ₂ = a ₃ – a ₂ = a ₂ (a- 1)
a ₄  – a ₃ = a ₄ – a ₃ = a ₃ (a-1)
चूँकि, a+1 – a या सामान्य अंतर हर बार समान नहीं होता है।
इसलिए, दी गई श्रृंखला AP नहीं बनाती है

(xii) 2, √8, √18, √32 …
यहाँ,
a ₂  – a ₁ = √8-√2 = 2√2-√2 = √2
a ₃  – a ₂ = √18-√8 = 3√2-2√2 = √2
a ₄  – a ₃ = 4√2-3√2 = √2
चूंकि, a+1 – a या सार्व अंतर हर बार समान होता है।
इसलिए, d = √2 और दी गई श्रृंखला एक AP बनाती है
इसलिए, अगले तीन पद हैं;
a ₅  = √32+√2 = 4√2+√2 = 5√2 = √50
a ₆  = 5√2+√2 = 6√2 = √72
a ₇  = 6√2+√2 = 7√ 2 = 98

(xiii) 3, √6, √9, √12 …
यहाँ,
a ₂  – a ₁ = √6-√3 = √3×√2-√3 = √3 (√2-1)
a ₃  – a ₂ = √9-√6 = 3-√6 = √3 (√3-√2)
a ₄  – ए ₃ = √12 – √9 = 2√3 – √3×√3 = √3 (2-√) 3)
चूँकि, a+1 – a या सार्व अंतर हर बार समान नहीं होता है।
इसलिए, दी गई श्रृंखला AP नहीं बनाती है

(xiv) 12, 32, 52, 72 …
या, 1, 9, 25, 49 …..
यहाँ,
a ₂  – a ₁ = 9−1 = 8
a ₃  – a ₂ = 25−9 = 16
a ₄  – a ₃ = 49−25 = 24
चूँकि, a+1 – a या सार्व अंतर हर बार समान नहीं होता है।
इसलिए, दी गई श्रृंखला AP नहीं बनाती है

(xv) 12, 52, 72, 73 …
या 1, 25, 49, 73 …
यहाँ,
a ₂  – a ₁ = 25−1 = 24
a ₃  – a ₂ = 49−25 = 24
a ₄  – a ₃ = 73−49 = 24
चूँकि, a+1 – a या सार्व अंतर हर बार समान होता है।
इसलिए, d = 24 और दी गई श्रृंखला एक AP बनाती है
इसलिए, अगले तीन पद हैं;
a ₅  = 73+24 = 97
a ₆  = 97+24 = 121
a ₇  = 121+24 = 145