NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 4 द्विघात समीकरण (Quadratic Equations) प्रश्नावली 4.4

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 4 द्विघात समीकरण (Quadratic Equations) प्रश्नावली 4.4

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 4 द्विघात समीकरण (Quadratic Equations) प्रश्नावली 4.4

? Chapter – 4?

✍Quadratic Equations✍

? प्रश्नावली 4.4?

1. निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए । यदि मूलों का अस्तित्व हो तो उन्हें ज्ञात कीजिए :
(i) 2 x²  – 3 x  + 5 = 0
(ii) 3 x²  – 4√3 x  + 4 = 0
(iii) 2 x²  – 6 x  + 3 = 0

हल: (i) 2x ² – 3 x  + 5 = 0
दिया गया है,समीकरण की  ax²+  bx  +  c = 0 से तुलना करने पर, हमें
a = 2, b = -3 और c = 5
है, हम जानते हैं, विभेदक =  b² – 4ac
= (-3)² – 4 (2) (5) = 9 – 40
= – 31
जैसा कि आप देख सकते हैं, b² – 4ac <0
इसलिए, दिए गए समीकरण के लिए कोई वास्तविक मूल संभव नहीं है,2x² – 3x + 5 = 0।

(ii) 3 x ²  – 4√3 x  + 4 = 0
समीकरण की तुलना ax ²  +  bx  +  c = 0 से करने पर हमें
a = 3, b = -4√3 और c = 4
प्राप्त होता है। – 4ac
= (-4√3) ²  – 4 (3) (4)
= 48 – 48 = 0
चूंकि   b ²  – 4 ac  = 0,
दिए गए समीकरण के लिए वास्तविक मूल मौजूद हैं और वे एक दूसरे के बराबर हैं।
अत: मूल –b/2a और –b/2a होंगे।
-b/2a = -(-4√3)/2×3 = 4√3/6 = 2√3/3 = 2/√3
इसलिए, मूल 2/√3 और 2/√3 हैं।

(iii) 2 x ²  – 6 x  + 3 = 0
समीकरण की ax ²  +  bx  +  c  = 0 से तुलना करने पर, हमें
a = 2, b = -6, c = 3 प्राप्त
होता है, जैसा कि हम जानते हैं, विभेदक = b2 – 4ac
= (-6) 2-4  (2) (3) = 36-24
= 12
चूँकि   b ²  – 4 ac  > 0,
इसलिए, इस समीकरण के लिए अलग-अलग वास्तविक मूल मौजूद हैं, 2 x ²  – 6 x  + 3 = 0

= (-(-6) ± (-6 ² -4(2)(3)) )/2(2)
= (6±2√3)/4
= (3±√3)/2
इसलिए मूल दिए गए समीकरण के लिए हैं (3+√3)/2 तथा (3-√3)/2

2. निम्न प्रत्येक द्विघात समीकरण में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हो ।
(i) 2 x ²  +  kx  + 3 = 0
(ii)  kx  ( x  – 2) + 6 = 0

हल:
(i) 2×2 + kx + 3 = 0
दिए गए समीकरण कीax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं,
a = 2, b = k और c = 3
जैसा कि हम जानते हैं, विभेदक = b² – 4 AC
= (k)² – 4 (2) (3)
= (k)² – 24
बराबर जड़ों के लिए, हम जानते हैं,
= 0
k²  – 24 = 0
k²  = 24= ±2√6

(ii) kx (x – 2) + 6 = 0
या kx ²  – 2 kx  + 6 = 0
दिए गए समीकरण की ax ²  +  bx  +  c  = 0 से तुलना करने पर हमें
a = k, b = – 2k और c = प्राप्त होता है। 6
हम जानते हैं, विभेदक = b ²  – 4 ac
= ( – 2 k ) ²  – 4 ( k ) (6)
= 4 k ²  – 24 k
समान मूलों के लिए, हम जानते हैं,
b ²  – 4 ac  = 0
4 k ²  – 24 के  = 0 4k
(के – 6) = 0
या तो 4k = 0 या k = 6 = 0
k = 0 या k = 6
हालांकि, यदि k = 0 है, तो समीकरण में ‘ x ² ‘ और ‘ x ‘ पद नहीं होंगे।
इसलिए, यदि इस समीकरण के दो बराबर मूल हैं, तो k केवल 6 होना चाहिए।

3. क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना संभव है जिसकी लम्बाई , चौड़ाई से दुगुनी हो और उसका क्षेत्रफल 800m²  हो ? यदि है , तो उसकी लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए ।

हल मान लीजिए कि आम के बाग की चौड़ाई l है।
मैंगो ग्रोव की लंबाई 2 लीटर होगी।
मैंगो ग्रोव का क्षेत्रफल = (2l) (l)= 2l²
2l²= 800
l² = 800/2 = 400
l² – 400 =0
दिए गए समीकरण की तुलना ax² + bx + c = 0 से करते हैं, तो हम प्राप्त करें
a = 1, b = 0, c = 400
जैसा कि हम जानते हैं, विभेदक =b² – 4ac
=> (0)² – 4 × (1) × (- 400) = 1600
यहाँ,b² – 4ac > 0
इस प्रकार, समीकरण के वास्तविक मूल होंगे। और इसलिए, वांछित आयताकार आम के ग्रोव को डिजाइन किया जा सकता है।
l = ±20
जैसा कि हम जानते हैं, लंबाई का मान ऋणात्मक नहीं हो सकता।
अत: मैंगो ग्रोव की चौड़ाई = 20 m
मैंगो ग्रोव की लंबाई = 2 × 20 = 40 m

4. क्या निम्न स्थिति संभव है ? यदि है तो उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए ।
दो मित्रो कि आयु का योग 20 वर्ष है । चार वर्ष पूर्व उसकी आयु (वर्षो में ) का गुणनफल 48 था ।

हल: मान लीजिए, एक मित्र की आयु x वर्ष है।
फिर, दूसरे मित्र की आयु (20 – x) वर्ष होगी।
चार वर्ष पहले,
पहले मित्र की आयु = (x – 4) वर्ष
दूसरे मित्र की आयु = (20 – x – 4) = (16 – x) वर्ष
दिए गए प्रश्न के अनुसार, हम लिख सकते हैं,
(x – 4) (16 – x) = 48
16x – x² – 64 + 4 x = 48  , – x² + 20x – 112 = 0   , x² – 20x + 112 = 0 ,ax²+ bx + c = 0 के साथ समीकरण की तुलना करना, हम प्राप्त करते हैंa = 1, b = -20 और c = 112
विभेदक = b ²  – 4 ac
= (- 20 ) ²  – 4 × 112
= 400 – 448 = -48
b ²  – 4 ac  <0
इसलिए, समीकरणों का कोई वास्तविक हल संभव नहीं होगा। इसलिए, स्थिति मौजूद नहीं है।

5. क्या परिमाप 80m तथा क्षेत्रफल 400m² के एक पार्क को बनाना संभव है ? यदि है , तो उसकी लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

हल: माना पार्क की लंबाई और चौड़ाई l और b है।
आयताकार पार्क का परिमाप = 2 (l + b) = 80
अतः, l + b = 40
या, b = 40 – l
आयताकार पार्क का क्षेत्रफल = l×b = l(40 – l) = 40l – l² = 400
l2 – 40l + 400 = 0, जो एक द्विघात समीकरण है।
समीकरण की ax²+ bx + c = 0 से तुलना करने पर, हमें
a = 1, b = -40, c = 400
, क्योंकि विभेदक = b² – 4ac
=(-40)² – 4 × 400
= 1600 – 1600 = 0
इस प्रकार, b ²  – 4 ac  = 0
इसलिए, इस समीकरण के वास्तविक मूल समान हैं। इसलिए स्थिति संभव है।
समीकरण का मूल,
l = –b/2a
l = -(-40)/2(1) = 40/2 = 20
इसलिए, आयताकार पार्क की लंबाई, l = 20 m
और पार्क की चौड़ाई, b = 40 – एल = 40 – 20 = 20 m।