NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 4 द्विघात समीकरण (Quadratic Equations) प्रश्नावली 4.2

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 4 द्विघात समीकरण (Quadratic Equations) प्रश्नावली 4.2

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 4 द्विघात समीकरण (Quadratic Equations) प्रश्नावली 4.2

Chapter – 4

Quadratic Equations

प्रश्नावली 4.2

1. गुणनखंडन द्वारा निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए:

(i) x ²– 3x – 10 = 0
(ii) 2x ² + x – 6 = 0
(iii) 2 x ² + 7x + 5√2 = 0
(iv) 2x ² – x +1/8 = 0
(v) 100x ² – 20x + 1 = 0

हल:
(i) दिया गया है,  x ²– 3 x  – 10 = 0
LHS लेते हुए,
=> x²– 5x + 2x – 10
=>  x(x – 5) + 2(x – 5)
=> (x – 5)(x + 2)
इस समीकरण के मूल,x² – 3x – 10 = 0, x के वे मान हैं जिनके लिए (x – 5)(x + 2) = 0
इसलिए, x – 5 = 0 या x + 2 = 0
=> x = 5 या x = -2

(ii) दिया गया है, 2 x²  +  x  – 6 = 0
LHS लेते हुए,
=> 2 x²  + 4 x  – 3 x  – 6
=> 2x(x + 2) – 3(x + 2)
=> (x + 2)(2x – 3)
इस समीकरण के मूल, 2 x²  +  x  – 6=0, x के वे मान हैं जिनके लिए (x + 2)(2x – 3) = 0
इसलिए, x + 2 = 0 या 2x – 3 = 0
=> x = -2 या x = 3/2

(iii) √2 x²  + 7 x  + 5√2= 0 LHS
=> √2  x ²  + 5 x  + 2 x  + 5√2
=> x (√2x + 5) + √2(√2x + 5)= (√2x + 5)(x + √2)
इस समीकरण की जड़ें, √2 x2 + 7x + 5√2=0 x के मान हैं जिसके लिए (√2x + 5)(x + 2) = 0
इसलिए, 2x + 5 = 0 या x + √2 = 0
=> x = -5/√2 या x = -√2

(iv) 2 x ²  –  x  +1/8 = 0
LHS लेना,
=1/8 (16 x²   – 8 x  + 1)
= 1/8 (16 x²   – 4 x  -4 x  + 1)
= 1 /8 (4x(4x – 1) -1(4x – 1))
= 1/8 (4 x  – 1)²
इस समीकरण के मूल, 2 x ²  –  x + 1/8 = 0, के मान हैं x जिसके लिए (4 x  – 1)² = 0
इसलिए, (4x – 1) = 0 या (4x – 1) = 0
x = 1/4 या x = 1/4

(v) दिया गया है, 100x ²– 20x + 1=0
LHS लेना,
= 100x ²– 10x – 10 + 1
= 10x (10x – 1) -1 (10x – 1)
= (10x – 1)²
इसकी जड़ें समीकरण, 100x ²– 20x + 1=0, x के वे मान हैं जिनके लिए (10x – 1)² = 0
(10x – 1) = 0 या (10x – 1) = 0
x = 1/10 या x = 1/10

2.(i)जॉन और जीवंती दोनों के पास कुल मिलाकर 45 कंचे है दोनों पाँच पाँच कंचे खो देते है और अब उनके पास कंचो की संख्या का गुणनफल 124 है हम जानना चाहेंगे की आरम्भ में उनके पास कितने कंचे थे
(ii)एक कुटरी उद्योग एक दिन में कुछ खिलौने निर्मित करता है प्रत्येक खिलौने का उत्पादन मूल्य 55 में से एक दिन में निर्मित खिलौने की संख्या को घटाने से प्राप्त संख्या के बराबर है, किसी एक दिन कुल निर्माण लागत 750 रुपये थी हम उस दिन निर्माण किये गए खिलौने की संख्या ज्ञात करना चाहेंगे।

हल:
(i) मान लीजिए, जॉन के पास जितने कंचों की संख्या है = x।
इसलिए, जिवंती के मार्बल की संख्या = 45 – x
प्रत्येक में 5 कंचे खोने के बाद,
जॉन के पास मार्बल की संख्या = x – 5
जिवंती के मार्बल की संख्या = 45 – x – 5 = 40 – x
दिया गया है कि उनके कंचों का गुणनफल 124 है।
(x – 5) (40 – x) = 124
x ^2– 45x + 324 = 0
x ^2– 36x – 9x + 324 = 0
x (x – 36) -9 (x – 36 ) = 0
(x – 36) (x – 9) = 0
इस प्रकार, हम कह सकते हैं,
x – 36 = 0 या x – 9 = 0
⇒ x = 36 या x = 9
इसलिए,
यदि, जॉन के कंचे = 36,
फिर, जिवंती के कंचे = 45 – 36 = 9
और यदि जॉन के कंचे = 9,
तो, जिवंती के कंचे = 45 – 9 = 36

(ii) मान लीजिए, एक दिन में उत्पादित खिलौनों की संख्या x है।
इसलिए, प्रत्येक खिलौने की उत्पादन लागत = रु (55 – x)
दिया गया है, खिलौनों के उत्पादन की कुल लागत = 750
x (55 – x) = 750
x  2 ^–  55 x  + 750 =
0  x ²  – 25 x  – 30 x  + 750 = 0
x (x – 25) -30 (x – 25) = 0
(x – 25) (x – 30) = 0
इस प्रकार, या तो x -25 = 0 या x – 30 = 0
x = 25 या x = 30
इसलिए, एक दिन में उत्पादित खिलौनों की संख्या 25 या 30 होगी।

3. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए , जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो l

हल:
मान लीजिए, पहली संख्या x है और दूसरी संख्या 27 – x है।
इसलिए, दो संख्याओं का गुणनफल
x(27 – x) = 182
x ²  – 27x – 182 = 0
x ²  – 13x – 14x + 182 = 0
x (x – 13) -14 (x – 13) = 0
⇒ (x – 13)(x -14) = 0
इस प्रकार, या तो x = -13 = 0 या x – 14 = 0
x = 13 या x = 14
इसलिए, यदि पहली संख्या = 13 है, तो दूसरी संख्या = 27 – 13 = 14
और यदि पहली संख्या = 14, तो दूसरी संख्या = 27 – 14 = 13
इसलिए, संख्याएँ 13 और 14 हैं।

4. दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो l

हल: मान लीजिए, दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक x और x + 1 हैं।
इसलिए, दिए गए प्रश्नों के अनुसार,
x² + (x + 1)² = 365
⇒ x² + x² + 1 + 2x = 365
2x²+ 2x  – 364 = 0
x² + x – 182 = 0
x ² + 14x – 13x – 182 = 0
x(x + 14) -13 (x + 14) = 0
( x + 14)(x – 13) = 0
इस प्रकार, या तो x + 14 = 0 या x – 13 = 0,
x = – 14 या x = 13
क्योंकि पूर्णांक धनात्मक हैं, इसलिए x केवल 13 हो सकता है।
∴ x + 1 = 13 + 1 = 14
इसलिए, दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक 13 और 14 होंगे।

5. एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7 cm कम है यदि कर्ण 13 cm का हो , तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए l

हल: मान लीजिए, समकोण त्रिभुज का आधार x सेमी है।
दिया गया है, समकोण त्रिभुज की ऊँचाई = (x – 7) सेमी
पाइथागोरस प्रमेय से, हम जानते हैं,
आधार² + ऊँचाई² = कर्ण²
x² + (x – 7)² = 13²
x² + x² + 49 – 14x = 169
2x² – 14x – 120 = 0
x² – 7x – 60 = 0
x² – 12x + 5x – 60 = 0
x (x – 12) + 5 (x – 12) =
0 (x – 12)(x + 5) = 0
इस प्रकार, या तो x – 12 = 0 या x + 5 = 0,
x = 12 या x = – 5
चूँकि भुजाएँ ऋणात्मक नहीं हो सकतीं, x केवल 12 हो सकता है।
इसलिए, दिए गए त्रिभुज का आधार 12 सेमी है और इस त्रिभुज की ऊंचाई (12 – 7) सेमी = 5 सेमी होगी।

6. एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ बर्तनो का निर्माण करता है एक विशेष दिन यह देखा गया कि प्रत्येक नग की निर्माण लागत (रु में ) उस दिन के निर्माण किए बर्तनो की संख्या के दुगने से 3 अधिक थीl यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत रु 90 थी , तो निर्मित बर्तनो की संख्या और प्रत्येक नग की लागत ज्ञात कीजिए l

हल: मान लीजिए, उत्पादित वस्तुओं की संख्या x है।
इसलिए, प्रत्येक वस्तु की उत्पादन लागत = रुपये (2x + 3)
दिया गया है, उत्पादन की कुल लागत 90
x (2x + 3) = 90
⇒ 2x² + 3x – 90 = 0
⇒ 2x² +15x -12x – 90 = 0
x (2x + 15) -6 (2x + 15) = 0
(2x + 15) (x – 6) = 0
इस प्रकार, या तो 2x + 15 = 0 या x – 6 = 0
⇒ x = -15/2 या x = 6
चूंकि उत्पादित वस्तुओं की संख्या केवल एक धनात्मक पूर्णांक हो सकती है, इसलिए, x केवल 6 हो सकता है।
इसलिए, उत्पादित वस्तुओं की संख्या = 6
प्रत्येक वस्तु की लागत = 2 × 6 + 3 = 15 रुपये।