NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 4 द्विघात समीकरण (Quadratic Equations) प्रश्नावली 4.1

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 4 द्विघात समीकरण (Quadratic Equations) प्रश्नावली 4.1

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 4 द्विघात समीकरण (Quadratic Equations) प्रश्नावली 4.1

? Chapter – 4?

✍दो चरों वाले रैखिक समीकरण✍

? प्रश्नावली 4.1?

1. जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण है :

(i) (x + 1) ²  = 2(x – 3)
(ii) x ²– 2x = (-2) (3 – x)
(iii) (x – 2) (x + 1) = (x – 1)(x + 3)
(iv) (x – 3)(2x +1) = x(x + 5)
(v) (2x – 1)(x – 3) = (x + 5)(x – 1 )
(vi) x ²+ 3x + 1 = (x – 2) ²
(vii) (x + 2) ³  = 2x (x ²  – 1)
(viii) x ³– 4x ²  – x + 1 = (x – 2) ³

हल: (i) दिया गया है, (x + 1) ²  = 2(x – 3) (a+b) ² = a²+2ab+b²x² + 2x + 1 = 2x – 6
के लिए सूत्र का उपयोग करके⇒ x² + 7 = 0चूंकि उपरोक्त समीकरण ax² + bx + c = 0 के रूप में है।इसलिए, दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।
(ii) दिया गया है, x ²  – 2x = (-2) (3 – x)
⇒ x ²–  2x = -6 + 2x
⇒ x ²– 4x + 6 = 0
क्योंकि उपरोक्त समीकरण ax ²+ के रूप में है। bx + c = 0.
इसलिए, दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।

(iii) दिया गया है, (x – 2)(x + 1) = (x – 1)(x + 3)
गुणा करके
x ²– x – 2 = x ² + 2x – 3
3x – 1 = 0
चूंकि उपरोक्त समीकरण ax ²+ bx + c = 0 के रूप में नहीं है।
इसलिए, दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण नहीं है।

(iv) दिया गया है, (x – 3)(2x +1) = x(x + 5)
गुणा करके
⇒2x ²– 5x – 3 = x ²+ 5x
⇒ x ² – 10x – 3 = 0
चूंकि उपरोक्त समीकरण है ax ²+ bx + c = 0 के रूप में।
इसलिए, दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।

(v) दिया गया है, (2x – 1)(x – 3) = (x + 5)(x – 1)
गुणा करके
2x ² – 7x + 3 = x ²  + 4x – 5
⇒ x ²– 11x + 8 = 0
चूंकि उपरोक्त समीकरण ax ²+ bx + c = 0 के रूप में है।
इसलिए, दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।

(vi) दिया गया है, x ²+ 3x + 1 = (x – 2) ² (ab) ² = a ² – 2ab+b²x²  + 3x + 1 = x ²+ 4 – 4x के लिए सूत्र
का उपयोग करके 7x – 3 = 0 चूंकि उपरोक्त समीकरण ax ²+ bx + c = 0 के रूप में नहीं है। इसलिए, दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण नहीं है।
(vii) दिया गया है, (x + 2) ³ = 2x(x ²– 1) (a+b) ³  = a ³ +b ³ +3ab(a+b) x ³  + 8 + x
के लिए सूत्र का उपयोग करके ²  + 12x = 2x ³– 2x x ³  + 14x – 6x ²– 8 = 0 क्योंकि उपरोक्त समीकरण ax ² + bx + c = 0 के रूप में नहीं है। इसलिए, दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण नहीं है।
(viii) दिया गया है, x ³– 4x ²– x + 1 = (x – 2) ³ (ab) ³  = a ³ – b ³ -3ab (ab) x ³ – 4x ² – x +
के लिए सूत्र का उपयोग करके 1 = x ³  – 8 – 6x ²   + 12x ⇒ 2x ²  – 13x + 9 = 0 क्योंकि उपरोक्त समीकरण ax ²  + bx + c = 0 के रूप में है।
अतः दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।

2. निम्न स्थितियो को द्विघात समीकरणों के रूप में निरूपित कीजिए :
(i) एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 m² है क्षेत्र कि लंबाई ( मीटरो में ) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है। हमें भूख़ड कि लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है।
(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है हमें पूर्णांकों को ज्ञात करना है।
(iii) रोहन कि माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है l उनकी आयु ( वर्षों में ) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगी l हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।
(iv) एक रेलगाड़ी 480 km की दुरी समान चाल से तय करती है यदि इसकी चाल 8 km /h कम होती , तो वह उसी दुरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती l हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।

हल: (i) आइए देखें,
आयताकार भूखंड की चौड़ाई = x m
इस प्रकार, भूखंड की लंबाई = (2x + 1) m।
जैसा कि हम जानते हैं,
आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई = 528 m²
प्लॉट की लंबाई और चौड़ाई के मान को सूत्र में रखने पर, हमें मिलता है,
(2x + 1) × x = 528
⇒ 2x²+ x = 528
⇒ 2x²+ x – 528 = 0
इसलिए, भूखंड की लंबाई और चौड़ाई, द्विघात समीकरण, 2x²+ x – 528 = 0 को संतुष्ट करती है, जो गणितीय रूप से समस्या का आवश्यक प्रतिनिधित्व है।

(ii) मान लीजिए,
पहली पूर्णांक संख्या = x
इस प्रकार, अगला लगातार धनात्मक पूर्णांक होगा = x + 1
दो क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल = x × (x +1) = 306
x ² + x = 306
⇒ x ² + x – 306 = 0
इसलिए, दो पूर्णांक x और x+1, द्विघात समीकरण, x ² + x – 306 = 0 को संतुष्ट करते हैं, जो गणितीय रूप से समस्या का आवश्यक प्रतिनिधित्व है।

(iii) मान लें,
रोहन की आयु = x वर्ष
इसलिए, दिए गए प्रश्न के अनुसार,
रोहन की माता की आयु = x + 26
3 वर्ष बाद,
रोहन की आयु = x + 3
रोहन की माता की आयु = x + 26 + 3 = x + 29
3 वर्ष बाद उनकी आयु का गुणनफल 360 के बराबर होगा, जैसे कि
(x + 3)(x + 29) = 360
⇒ x ²+ 29x + 3x + 87 = 360
⇒ x ²+ 32x + 87 – 360 = 0
⇒ x ²+ 32x – 273 = 0
इसलिए, रोहन और उसकी माँ की आयु, द्विघात समीकरण x ²+ 32x – 273 = 0 को संतुष्ट करती है, जो गणितीय रूप से समस्या का आवश्यक प्रतिनिधित्व है।

(iv) मान लीजिए,
ट्रेन की गति = x किमी/घंटा
और 480 किमी की यात्रा में लगने वाला समय = 480/x किमी/घंटा
दूसरी शर्त के अनुसार, ट्रेन की गति = (x – 8) किमी/घंटा
भी दी गई है , ट्रेन को समान दूरी तय करने में 3 घंटे का समय लगेगा।
इसलिए, 480 किमी की यात्रा में लिया गया समय = (480/x)+3 किमी/घंटा
जैसा कि हम जानते हैं,
गति × समय = दूरी
इसलिए,
(x – 8) (480/x) + 3 = 480
480 + 3x – 3840 /x – 24 = 480
3x – 3840/x = 24
⇒ x ²– 8 x  – 1280 = 0
इसलिए, ट्रेन की गति, द्विघात समीकरण को संतुष्ट करती है, x ²– 8 x – 1280 = 0, जो गणितीय रूप से समस्या का अपेक्षित निरूपण है।