NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 3 दो चरों वाले रखिक समीकरणों का युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables) प्रश्नावली 3.7

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 3 दो चरों वाले रखिक समीकरणों का युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables) प्रश्नावली 3.7

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 3 दो चरों वाले रखिक समीकरणों का युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables) प्रश्नावली 3.7

? Chapter – 3?

✍दो चरों वाले रखिक समीकरणों का युग्म✍

? प्रश्नावली 3.7?

1. दो मित्रों अनी और बीजू की आयु में 3 वर्ष का अन्तर है | अणि के पिता धरम की आयु अणि की आयु की दुगुनी और बीजू की आयु अपनी बहन कैथी की आयु की दुगुनी है | कैथी और धरम की आयु का अन्तर 30 वर्ष है | अणि और बीजू की आयु ज्ञात कीजिए |

हल: अनी और बीजू की आयु में 3 वर्ष का अंतर है।
या तो बीजू, अनी से 3 साल बड़ा है या अनी बीजू से 3 साल बड़ा है। दोनों ही स्थितियों से हमें पता चलता है कि अनी के पिता की आयु कैथी की आयु से 30 वर्ष अधिक है।
माना अनी और बीजू की आयु क्रमशः A और B है।
अत: धरम की आयु = 2 x A = 2A वर्ष।
और बीजू बहन एन बी/2 वर्ष की उम्र
दी गई जानकारी का उपयोग करके,

स्थिति (i)
जब अनी बीजू से 3 वर्ष बड़ी हो तो A – B = 3 – – – – – – – – (1)
2A−B/2 = 30
4A – B = 60 – – – – – – – – – – – (2)
समीकरणों (1) और (2) को घटाने पर,
3A = 60 – 3 = 57
A = 57/3 = 19
इसलिए, अनी की आयु = 19 वर्ष
और बीजू की आयु 19 – 3 = 16 वर्ष है।

स्थिति (ii)
जब बीजू अनी से बड़ा है,
B – A = 3 – – – – – – – – – (1)
2A – B/2 = 30
4A – B = 60 – – – – – – – – ( 2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर,
3A = 63
A = 21 प्राप्त होता है,
इसलिए अनी की आयु 21 वर्ष है
और बीजू की आयु 21 + 3 = 24 वर्ष है।

2.एक मित्र दसरे से कहता है कि यदि मुझे एक सौ दे दो तो मैं आपसे दो गुना धनी बन जाऊंगा। दूसरा उत्तर देता हे कि यदिु आप मुझे दस दे दें, तो मैं आपसे छः गुना धनी बन जाऊगां। बताइए कि उनकी क्रमशः क्या संपत्तियां है? (भास्कर II की बीजगणित से) : x + 100 = 2 (y – 100), y + 10 = 6 (x – 10)]।

हल: मान लीजिए संगम के पास A रुपये है और रूबेन के पास B रुपये है।
दी गई जानकारी का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं,
a + 100 = 2 (b – 100) ⇒ a + 100 = 2 b – 200
या a – 2 b = -300 – – – – – – (1)
और
6 (a – 10 ) = (b + 10)
या 6 a – 60 = b + 10
या 6 a – b = 70 – – – – – – (2)
जब समीकरण (2) को 2 से गुणा किया जाता है, तो
12a – 2 b = 140 – – – – – – – (3)
जब समीकरण (1) को समीकरण (3) से घटाया जाता है, तो हमें मिलता है,
11A = 140 + 300
11A = 440
⇒ A = 440/11 = 40
समीकरण (1) में A = 40 का उपयोग करने पर,
40 – 2b = -300
40 + 300 = 2
b 2b = 340
b = 170
इसलिए, संगम के पास 40 रुपये और रूबेन के पास 170 रुपये थे।

3.एक रेलगाड़ी कुछ दूरी समान चाल से तय करती है | यदि रेलगाड़ी 10 km /h अधिक तेज  चलती होती, तो उसे नियत समय से 2 घंटे कम लगते और यदि रेलगाड़ी 10 km/h धीमी चलती होती, तो उसे नियत समय से 3 घंटे अधिक लगते | रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दुरी ज्ञात कीजिए |

हल: माना ट्रेन की गति V किमी/घंटा है और ट्रेन द्वारा दूरी तय करने में लगने वाला समय N घंटे है और यात्रा की दूरी X घंटे है।
ट्रेन की गति = ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी / उस दूरी को तय करने में लगने वाला समय
V = N (दूरी)/X (समय)
या, N = VX – – – – – – – – – – (1)
इस जानकारी का उपयोग करना कि दिया गया है, तो हम प्राप्त करते हैं:
(V+10) = X/(N-2)
(V + 10) (N – 2) = X
VN + 10N – 2V – 20 = X
समीकरण (1) का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं,
– 2V + 10N = 20 – – – – – – – – – (2)
(V-10) = X/(N+3)
(V – 10) (N + 3) = X
VN – 10N + 3V – 30 = X
समीकरण (1) का प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है,
3V – 10N = 30 – – – – – – – – – (3)
समीकरण (2) और समीकरण (3) को जोड़ने पर हम प्राप्त करते हैं,
V = 50
समीकरण (2) का उपयोग करने पर हम प्राप्त करते हैं,
(-2) x (50) + 10N = 20
-100 +10N = 20
=> 10N = 120
N = 12 घंटे
समीकरण (1) से हम पाते हैं,
ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी, X = VN
= 50 x 12
= 600 किमी
इसलिए, ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी 600 किमी है।

4. एक कक्षा के विद्यार्थियों को पंक्तितयों में खड़ा होना है। यदि पंक्ति में 3 विद्यार्थी अधिक होते, तो 1 पंक्ति कम होती। यदि पंक्ति में 3 विद्यार्थी कम होते तो 2 पंक्तियां अधिक बनतीं। कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल: मान लीजिए पंक्तियों की संख्या A है और एक पंक्ति में विद्यार्थियों की संख्या B है।
विद्यार्थियों की कुल संख्या = पंक्तियों की संख्या x पंक्ति में विद्यार्थियों की संख्या
= AB
दी गई जानकारी का उपयोग करते हुए,
पहली शर्त:
कुल संख्या छात्रों की संख्या = (a – 1) (b + 3)
या ab = (a -1) (b + 3) = ab – b + 3 a – 3
या 3 a – b – 3 = 0
या 3 a – y = 3 – – – – – – – – – – – – (1)

दूसरी शर्त:
छात्रों की कुल संख्या = (ए + 2) (बी – 3)
या ab = ab + 2 b – 3 a – 6
या 3 a – 2 b = -6 – – – – – – – – – (2)
जब समीकरण ( 2) को (1)
(3A – B) – (3A – 2B) = 3 – (-6)
-B + 2B = 3 + 6B = 9 से
घटाया जाता है।
3 3
a = 9+3 = 12
a = 4
पंक्तियों की संख्या, a = 4
एक पंक्ति में छात्रों की संख्या, b = 9
कक्षा में कुल छात्रों की संख्या = ab = 4 x 9 = 36

5. एक ABC में, C = 3 ∠ B = 2 (∠A + B) है। त्रिभुज के तीनों कोण ज्ञात कीजिए।

हल: दिया गया है,
∠C = 3 ∠B = 2(∠B + A)
3∠B = 2 A+2 B
∠B=2 ∠A
2∠A – B= 0- – – – – – – – – – – – (i)
हम जानते हैं कि त्रिभुज के सभी अंतः कोणों का योग 180° होता है।
इस प्रकार, A +∠B+ C = 180O
A + ∠B +3 ∠B = 180O
A + 4 ∠B = 180O– – – – – – – – – – – – – (ii)
4 को गुणा करना समीकरण (i) में, हम प्राप्त करते हैं
8 A – 4 B = 0- – – – – – – – – – – – (iii)
समीकरणों को जोड़ने पर (iii) और (ii) हम प्राप्त करते हैं
9 A = 180O
A = 20O
इसे समीकरण (ii) में प्रयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं
20O+ 4∠B = 180O
∠B = 40O
3∠B =∠C
∠C = 3 x 40 = 120O
इसलिए, A = 20O
∠B=40O
∠C = 120O

6. समीकरणों  5x – y = 5 और 3x – y = 3 के ग्राफ खींचिए । इन रेखाओ और y अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षो के निर्देशांक ज्ञात कीजिए । इस प्रकार बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का परिकलन कीजिए।

हल: दिया गया है,
5x – y = 5
=> y = 5x – 5
इसकी हल तालिका होगी।

3x – y = 3
y = 3x – 3 . भी दिया गया है

इन पंक्तियों का चित्रमय निरूपण इस प्रकार होगा:

उपरोक्त ग्राफ से हम देख सकते हैं कि बनने वाला त्रिभुज रेखाओं और y अक्ष से ABC है। साथ ही शीर्षों के निर्देशांक A(1,0) , C(0,-5) और B(0,-3) हैं।

7. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों को हल कीजिएः

(i) px + qy = p – q
qx – py = p + q

(ii) ax + by = c
bx + ay = 1 + c

(iii) x/a – y/b = 0
ax + by = a2 + b2

(iv) (a – b) x + (a + b) y = a 2 – 2 ab – b 2
(a + b) (x + y) = a 2 + b 2

(v) 152x – 378y = – 74
-378x + 152y = – 604

हल: (i) px + qy = p – q………………(i)
qx – py = p + q ……………. (ii)
p को समीकरण (1) और q को समीकरण (2 से गुणा करना) ), हमें
p²x + pqy = p² – pq …………… (iii)
q²x – pqy = pq + q² …………… (iv)
समीकरण (iii) और समीकरण (iv) जोड़ने पर, हमसमीकरण (i) सेp
2^x+ q² x = p²  + q²
(p² + q² ) x = p² + q²
x = (p² + q²)/p² + q² = 1
, हम पाते हैं
p(1) + qy = p – q
qy = pqp
qy = -q
y = -1

(ii) ax + by= c…………………(i)
bx + ay = 1+ c………… .. (ii)
समीकरण (i) और b को समीकरण (ii) में गुणा करने पर, हम
a ² x + aby = ac ………………… (iii)
b ² x + aby = b + bc …………… प्राप्त करें (iv) समीकरण
(iv) को समीकरण (iii),
(a ²  – से घटाना) b ² ) x = ac – bc- b
x = (ac – bc- b)/ (a ²  – b ² )
x = c(ab) -b / (a ^​​2 +b ² )
समीकरण (i) से, हम ax
+by = c
a{c(a−b)−b)/ (a ²  – b ² )} +by=c
ac(a−b)−ab/ (a ²  – b ^{2 प्राप्त करें)})+by=c
by=c–ac(a−b)−ab/(a ²  – b ² )
by=abc – b ²  c+ab/a ² -b ²
y = c(ab)+a ^/ a ² -b ²

(iii) x/a – y/b = 0
ax + by = a ²  + b ²
x/a – y/b = 0
=> bx – ay = 0 ……। (i)
ax + by = a ²  + b ²  …….. (ii)
a और b को क्रमशः समीकरण (i) और (ii) से गुणा करने पर, हमें
b ² x – aby = 0 …………… (iii ) प्राप्त होता है। )
a ² x + aby = a  ³  + ab ³  …… (iv)
समीकरणों (iii) और (iv) को जोड़ने पर, हमें
b ² x + a ² x = a  ³  + ab ²
x (b ²  + a ² ) मिलता है। = a (a ²  + b ² ) x = a
समीकरण (i) का प्रयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं
b(a) – ay = 0
ab – ay = 0
ay = ab,
y = b

(iv) (a – b) x + (a + b) y = a ²  – 2 ab – b ²
(a + b) (x + y) = a ²  + b ²
(a + b) y + (a – b) x = a ² – 2ab – b ²  …………… (i)
(x + y) (a + b) = a  ²  + b ²
(a + b) y + (a + b) x = a ²  + b ²  ………………… (ii)
समीकरण (ii) को समीकरण (i) से घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं
(a – b) x – (a + b) x = (a  ²  − 2ab − b  ² ) – (a ²  + b ² )
x(a – b – a – b) = – 2ab – 2b ²
– 2bx = – 2b (b + a)
x = b + a
इस मान को समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं
(a + b)(a – b) +y (a + b) = a ² – 2ab – b ²
a ²  – b ²  + y(a + b) = a ² – 2ab – b ²
(a + b) y = –
2ab y = -2ab/(a+b)
(v) 152x – 378y = – 74
76x – 189y = – 37
x =(189y-37)/76… …………..…(i) − 378x
+ 152y = − 604
− 189x + 76y = − 302 ………….. -37)/76+76y=−302 – (189) ² y + 189 × 37 + (76) ²  y = – 302 × 76 189 × 37 + 302 × 76 = (189) ²  y – (76) ² y
6993 + 22952 = (189 – 76) (189 + 76) y
29945 = (113) (265) y
y = 1
समीकरण (i) का उपयोग करने पर, हम प्राप्त करते हैं
x = (189-37)/76
x = 152/76 = 2

8. A B C D  एक चक्रीय चतुर्भुज है इस चक्रीय चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए|  

हल: यह ज्ञात है कि एक चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग
इस प्रकार, हमारे पास
∠C +∠A = 180
4y + 20− 4x = 180
– 4x + 4y = 160
x – y = -40 …… ………(1)
और, B + D = 1803y−
5 − 7x + 5 = 180
− 7x + 3y = 180 ………..3y = − 120 ………(3)समीकरण (2) को समीकरण (3) में जोड़ने पर, हमें − 7x + 3x = 180 – 120– 4x = 60x = −15प्राप्त होता है, इस मान को समीकरण (i) में रखने पर, हम प्राप्त करते हैंx – y = -40-y−15 = -40y = 40-15= 25∠A = 4y + 20 = 20+4(25) = 120°∠B = 3y – 5 = -5+3(25) = 70°C = -4x = -4(− 15) = 60°
D = 5-7x
∠D= 5− 7(−15) = 110°
इसलिए, सभी कोणों को मापा जाता है।