NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 3 दो चरों वाले रखिक समीकरणों का युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables) प्रश्नावली 3.5

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 3 दो चरों वाले रखिक समीकरणों का युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables) प्रश्नावली 3.5

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 3 दो चरों वाले रखिक समीकरणों का युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables) प्रश्नावली 3.5

? Chapter – 3?

✍दो चरों वाले रखिक समीकरणों का युग्म✍

? प्रश्नावली 3.5?

1. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मो में से किसका एक अद्दितीय हल है, किसका कोई हल नहीं हा या किसके अपरिमित रूप से अनेक हल है| अद्दितीय हल की स्थिति में, उसे ब्रज – गुणन विधि से ज्ञात कीजिए |

(i) x – 3y – 3 = 0 और 3x – 9y – 2 = 0
(ii) 2x + y = 5 और 3x + 2y = 8
(iii) 3x – 5y = 20 और 6x – 10y = 40
(iv) x – 3y – 7 = 0 और 3x – 3y – 15 = 0

हल: (i) दिया गया है, x – 3y – 3 =0 और 3x – 9y -2 =0
a₁/a₂= 1/3, 
b₁/b₂= -3/-9 =1/3,
c₁/c₂=-3/-2 = 3/2
(a₁/a₂) = (b₁/b₂) ≠ (c₁/c₂)
चूंकि, दी गई रेखाएं एक दूसरे के समानांतर हैं, वे एक दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करते हैं और इसलिए इन समीकरणों का कोई हल नहीं है।

(ii) दिया गया है, 2x + y = 5 और 3x +2y = 8

a ₁ /a ₂ = 2/3 ,
b ₁ /b ₂ = 1/2,
c ₁ /c ₂ = -5/-8
(a ₁ /a ₂ ) ≠ (b ₁ /b ₂ )
चूंकि वे प्रतिच्छेद करते हैं एक अद्वितीय बिंदु इन समीकरणों का क्रॉस गुणन विधि द्वारा एक अनूठा समाधान होगा:
x/(b ₁ c ₂ -c ₁ b ₂ ) = y/(c ₁ a ₂  – c ₂ a1) = 1/(a ₁ b ₂ – ए ₂ बी ₁ )
x/(-8-(-10)) = y/(-15-(-16)) = 1/(4-3)
x/2 = y/1 = 1
x = 2 और y =1

(iii) दिया गया है, 3x – 5y = 20 और 6x – 10y = 40
(a ₁ /a ₂ ) = 3/6 = 1/2
(b ₁ /b ₂ ) = -5/-10 = 1/2
(c ₁ /c ₂ ) = 20/40 = 1/2
a ₁ /a ₂  = b ₁ /b ₂  = c ₁ /c ₂
चूंकि दी गई रेखाओं के सेट एक दूसरे को ओवरलैप कर रहे हैं, इसलिए इस जोड़ी के लिए अनंत संख्या में समाधान होंगे समीकरण का।

(iv) दिया गया है, x – 3y – 7 = 0 और 3x – 3y – 15 = 0
(a ₁ /a ₂ ) = 1/3
(b ₁ /b ₂ ) = -3/-3 = 1
(c ₁ / c ₂ ) = -7/-15
a ₁ /a ₂  b ₁ /b ₂
चूँकि रेखाओं का यह युग्म एक दूसरे को एक अद्वितीय बिंदु पर प्रतिच्छेद कर रहा है, एक अद्वितीय हल होगा।
क्रॉस गुणा द्वारा,
x/(45-21) = y/(-21+15) = 1/(-3+9)
x/24 = y/ -6 = 1/6
x/24 = 1/6 और y /-6 = 1/6
x = 4 और y = 1।

2. (i) a और  b के किन मानों के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होगे?

2x + 3y = 7
(a – b) x + (a + b) y = 3a + b – 2
(ii) k के किस मान के लिए निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं होगा?
3x + y = 1
(2k – 1) x + (k – 1) y = 2k + 1

हल: (i) 3y + 2x -7 = 0
(a + b)y + (ab)y – (3a + b -2) = 0
a₁/a₂= 2/(ab) ,              
b₁/b₂= 3/(a+b) ,              
c₁/c₂= -7/-(3a + b -2)
असीम रूप से कई समाधानों के लिए,
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
इस प्रकार 2 /(ab) = 7/(3a+b– 2)
6a + 2b – 4 = 7a – 7b
a – 9b = -4 ………………………….(i)
2/(ab) = 3/(a+b)
2a + 2b = 3a – 3b
a – 5b = 0 ………………………………(ii)
(i) को (ii) से घटाने पर हमें
4b = 4
b = 1
इस समीकरण को रखने पर प्राप्त होता है। (ii) में, हमें
a -5 x 1= 0
a = 5
प्राप्त होता है। इस प्रकार a = 5 और b = 1 पर दिए गए समीकरणों के अनंत हल होंगे।

(ii) 3x + y -1 = 0
(2k -1)x + (k-1)y – 2k -1 = 0
a ₁ /a ₂ = 3/(2k -1),          
b ₁ /b ₂ = 1 /(k-1),
c ₁ /c ₂ = -1/(-2k -1) = 1/( 2k +1)
बिना किसी समाधान
के ₁ /a ₂  = b ₁ /b ₂  ≠ c ₁ /c ₂
3/(2k-1) = 1/(k -1) 1/(2k +1)
3/(2k -1) = 1/(k -1)
3k -3 = 2k -1
k = 2
इसलिए, k = 2 के लिए दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं होगा।

3.निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को प्रतिस्थापन एंव व्रज – गुणन विधियों से हल कीजिए | किस विधि को आप अधिक उपयुक्त मानते हैं ?

8x + 5y = 9

3x + 2y = 4

हल:
8x + 5y = 9 ………………….. (1)
3x + 2y = 4 ……………….…। (2)
समीकरण (2) से हमें
x = (4 – 2y)/ 3 ………………. (3)
समीकरण 1 में इस मान का प्रयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं
8(4-2y)/3 + 5y = 9
32 – 16y +15y = 27-
-5
y = 5 …………… ….(4)
समीकरण (2) में इस मान का उपयोग करने पर, हमें
3x + 10 = 4
x = -2
इस प्रकार, x = -2 और y = 5
अब, क्रॉस गुणन विधि का उपयोग करते हुए:
8x +5y – 9 = 0
3x + 2y – 4 = 0
x/(-20+18) = y/(-27 + 32 ) = 1/(16-15)
-x/2 = y/5 =1/1
∴ x = -2 और y = 5।

4. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो ) किसी बीजगणितीय विधि से ज्ञात कीजिए :

(i) मासिक छात्रावास शुल्क का एक हिस्सा निर्धारित किया जाता है और शेष मेस में भोजन करने के दिनों की संख्या पर निर्भर करता है। जब एक छात्र A 20 दिनों के लिए भोजन करता है, तो उसे छात्रावास शुल्क के रूप में 1000 रुपये का भुगतान करना पड़ता है, जबकि एक छात्र B, जो 26 दिनों के लिए भोजन करता है, छात्रावास शुल्क के रूप में 1180 रुपये का भुगतान करता है। निर्धारित शुल्क और प्रतिदिन भोजन की लागत ज्ञात कीजिए।

(ii) एक भिन्न 1/3 हो जाती है जब अंश में से 1 घटाया जाता है और जब उसके हर में 8 जोड़ा जाता है तो यह 1/4 हो जाता है। अंश ज्ञात कीजिए।

(iii) यश ने एक परीक्षा में 40 अंक प्राप्त किए, प्रत्येक सही उत्तर के लिए 3 अंक प्राप्त किए और प्रत्येक गलत उत्तर के लिए 1 अंक खो दिया। यदि प्रत्येक सही उत्तर के लिए 4 अंक दिए जाते और प्रत्येक गलत उत्तर के लिए 2 अंक काटे जाते, तो यश को 50 अंक प्राप्त होते। टेस्ट में कितने प्रश्न थे?

(iv) स्थान A और B एक राजमार्ग पर 100 किमी की दूरी पर हैं। एक कार A से और दूसरी B से एक ही समय पर चलना शुरू करती है। यदि कारें एक ही दिशा में अलग-अलग गति से यात्रा करती हैं, तो वे 5 घंटे में मिलती हैं। यदि वे एक दूसरे की ओर यात्रा करते हैं, तो वे 1 घंटे में मिलते हैं। दोनों कारों की गति क्या है?

(v) एक आयत का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई कम हो जाता है, यदि इसकी लंबाई 5 इकाई कम कर दी जाती है और चौड़ाई 3 इकाई बढ़ा दी जाती है। यदि हम लंबाई में 3 इकाई और चौड़ाई 2 इकाई बढ़ा दें, तो क्षेत्रफल 67 वर्ग इकाई बढ़ जाता है। आयत के आयाम ज्ञात कीजिए।

समाधान:

(i) मान लीजिए कि x नियत प्रभार है और y प्रतिदिन भोजन का प्रभार है।
प्रश्न के अनुसार,
x + 20y = 1000 ……………….. (i)
x + 26y = 1180 ……………….. (ii)
(i) को (ii) से घटाने पर हमें
6y = 180 प्राप्त होता है।
y = रु. 30
इस मान को समीकरण (ii) में प्रयोग करने पर हमें
x = 1180 -26 x 30
x = 400 रु. प्राप्त होता है।
इसलिए, निश्चित शुल्क 400 रुपये है और प्रति दिन शुल्क 30 रुपये है।

(ii) माना भिन्न x/y है।
तो, दिए गए प्रश्न के अनुसार,
(x -1)/y = 1/3 => 3x – y = 3………………(1)
x/(y + 8) = 1/4 => 4x -y =8 …………………………..(2)
समीकरण (1) को (2) से घटाने पर, हमें
x = 5 ………………………………….(3) प्राप्त होता है।
समीकरण (2) में इस मान का उपयोग करने पर, हम प्राप्त करते हैं,
(4×5)– y = 8
y= 12
इसलिए, भिन्न 5/12 है।

(iii) माना दिए गए प्रश्न के अनुसार सही उत्तरों की संख्या x है और गलत उत्तरों की संख्या y है ;
3x−y=40……..(1)
4x−2y=50
⇒2x−y=25…….(2)
समीकरण (1) से समीकरण (2) घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं;
x = 15 ….….(3)
इसे समीकरण (2) में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं;
30 – y = 25
या y = 5
इसलिए, सही उत्तरों की संख्या = 15 और गलत उत्तरों की संख्या = 5
इसलिए, प्रश्नों की कुल संख्या = 20

(iv) माना बिंदु A से कार की गति x किमी/घंटा है और बिंदु B से कार की गति y किमी/घंटा है।
यदि कार एक ही दिशा में चलती है, तो
5x – 5y = 100
x – y = 20 … ……………………………… (i)
यदि कार विपरीत दिशा में चलती है, तो
x + y = 100……………………………… (ii)
समीकरण हल करना (i) और (ii)
x = 60 किमी/घंटा ……………………………………… (iii)
समीकरण (i) में इसका प्रयोग करने पर, हम प्राप्त करते हैं,
60 – y = 20
y = 40 किमी /h
इसलिए, बिंदु A से कार की गति = 60 किमी/घंटा
बिंदु B से कार की गति = 40 किमी/घंटा।

(v)
माना, आयत की लंबाई = x इकाई
और आयत की चौड़ाई = y इकाई
अब, दिए गए प्रश्न के अनुसार,
(x – 5) (y + 3) = xy -9
3x – 5y – 6 = 0… ………………………(1)
(x + 3) (y + 2) = xy + 67
2x + 3y – 61 = 0 ……………………….. (2)
का उपयोग करना क्रॉस गुणन विधि, हम प्राप्त करते हैं,
x/(305 +18) = y/(-12+183) = 1/(9+10)
x/323 = y/171 = 1/19
इसलिए, x = 17 और y = 9.
अत: आयत की लंबाई = 17 इकाई
और आयत की चौड़ाई = 9 इकाई