NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 3 दो चरों वाले रखिक समीकरणों का युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables) प्रश्नावली 3.3

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 3 दो चरों वाले रखिक समीकरणों का युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables) प्रश्नावली 3.3

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 3 दो चरों वाले रखिक समीकरणों का युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables) प्रश्नावली 3.3

? Chapter – 3?

✍दो चरों वाले रखिक समीकरणों का युग्म✍

? प्रश्नावली 3.3?

1. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिएः

(i) x + y = 14
x – y = 4

(ii) S – T = 3
(S / 3) + (T / 2) = 6

(iii) 3x – y = 3
9x – 3y = 9

(iv) 0.2x + 0.3y = 1.3
0.4x + 0.5y = 2.3

(v) 2 x+
√3 y = 0 √3 x-√8 y = 0

(vi) (3x/2) – (5y/3) = -2
(x/3) + (y/2) = (13/6)

हल:
(i) दिया गया है,
x + y = 14 और x – y = 4 दो समीकरण हैं। ^पहले
से , हम प्राप्त करते हैं,
x = 14 – y
अब, दूसरे समीकरण में x के मान को प्रतिस्थापित करने के लिए,
(14 – y) – y = 4
14 – 2y = 4
2y = 10
या y = 5
मान सेy का, अब हम x का सटीक मान ज्ञात कर सकते हैं;
x = 14 – y
∴ x = 14 – 5
या x = 9
इसलिए, x = 9 और y = 5।

(ii) दिया गया है,
s – t = 3 और (s/3) + (t/2) = 6 दो समीकरण हैं। ^पहले
समीकरण से  , हम प्राप्त करते हैं,
s = 3 + t ________(1)
अब, प्राप्त करने के लिए दूसरे समीकरण में s के मान को प्रतिस्थापित करें,
(3+t)/3 + (t/2) = 6
(2(3 ) +t) + 3t )/6 = 6
(6+2t+3t)/6 = 6
⇒ (6+5t) = 36
⇒5t = 30
⇒t = 6
अब समीकरण में t के मान को प्रतिस्थापित करें (1)
s = 3 + 6 = 9
इसलिए, s = 9 और t = 6।

(iii) दिया गया है,
3x – y = 3 और 9x – 3y = 9 दो समीकरण हैं। ^पहले
समीकरण से  , हम प्राप्त करते हैं,
x = (3+y)/3
अब, दिए गए दूसरे समीकरण में x के मान को प्रतिस्थापित करें,
9(3+y)/3 – 3y = 9 9
+3y -3y = 9
⇒ 9 = 9
इसलिए, y के अनंत मान हैं और चूंकि, x = (3+y) /3, इसलिए x के भी अनंत मान हैं।

(iv) दिया गया है,
0.2x + 0.3y = 1.3 और 0.4x + 0.5y = 2.3 ये दो समीकरण हैं।  पहले समीकरण से, हम प्राप्त करते हैं, x = (1.3- 0.3y) ^/0.2 _________(1)
अब , दिए गए दूसरे समीकरण में x के मान को प्रतिस्थापित करने के लिए, 0.4(1.3-0.3y)/0.2 + 0.5y = 2.3 2(1.3 – 0.3y) + 0.5y = 2.3 2.6 – 0.6y + 0.5y = 2.3 2.6 – 0.1 y = 2.3 0.1 y = 0.3 ⇒ y = 3 अब समीकरण में y के मान को प्रतिस्थापित करें ( 1), हम पाते हैं, x = (1.3-0.3(3))/0.2 = (1.3-0.9)/0.2 = 0.4/0.2 = 2 इसलिए, x = 2 और y = 3।

(v) दिया गया है,
2 x + √3 y = 0 और √3 x – √8 y = 0
दो समीकरण हैं।
पहले समीकरण से  , हम प्राप्त करते हैं, x = – ( ^√3
/√2)y __________________ (1)
दिए गए दूसरे समीकरण में x का मान रखने पर,
√3(-√3/√2)y – √8y = 0 ⇒ (-3/√2)y- √8 y = 0
y = 0
अब, समीकरण (1) में y के मान को प्रतिस्थापित करें, तो हमें x = 0 प्राप्त होता है,
इसलिए
x = 0 और y = 0।

(vi) दिया गया है,
(3x/2)-(5y/3) = -2 और (x/3) + (y/2) = 13/6 दो समीकरण हैं।  पहले समीकरण
से , हम प्राप्त करते हैं, ( ^3/2
)x = -2 + (5y/3)
x = 2(-6+5y)/9 = (-12+10y)/9 ………… ………(1)
प्राप्त करने के लिए दिए गए दूसरे समीकरण में x का मान रखने पर,
(-12+10y)/9)/3 + y/2 = 13/6 y/
2 = 13/6 –( (- 12+10y)/27 ) + y/2 = 13/6

अब, समीकरण (1) में y के मान को प्रतिस्थापित करें, हमें मिलता है,
(3x/2) – 5(3)/3 = -2
⇒ (3x/2) – 5 = -2
⇒ x = 2
इसलिए, x = 2 और Y = 3।

2. 2x + 3y = 11 और 2x – 4y = – 24 को हल कीजिए और इससे mm का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए y = mx + 3 हो।

हल:
2x + 3y = 11…………………………..(I)
2x – 4y = -24 ………………… (II)
समीकरण (II) से, हम
x= (11-3y)/2 ………………….(III)
समीकरण (II) में x का मान रखने पर हमें
2(11-3y)/2 – 4y = 24
11 – 3y – 4y =-24
-7y = -35
y = 5…………………………………..(IV)
y का मान समीकरण (III) में रखने पर, हमें
x = (11-3×5)/2 = -4/2 = -2
इसलिए, x = -2, y = 5
साथ ही,
y = mx + 3
5 = -2m +3
-2m = 2
m = -1
इसलिए m का मान -1 है। .

3. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिएः

(i) दो संख्याओं के बीच का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उनको ढूंढो।

हल: मान लीजिए कि दो संख्याएँ क्रमशः x और y हैं, जैसे कि y> x।
प्रश्न के अनुसार,
y = 3x ……………… (1)
y – x = 26 …………….. (2)
(1) के मान को (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें
3x – x = 26
x = 13 ……………। (3)
(3) को (1) में रखने पर y = 39 प्राप्त
होता है, इसलिए संख्याएँ 13 और 39 हैं।

(ii) दो संपूरक कोणों में से बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है। उनको ढूंढो।

हल: मान लीजिए कि xo बडा कोण और छोटा कोण y ^o है ।
हम जानते हैं कि दो सम्पूरक कोणों का योग सदैव 180° होता^है।
प्रश्न के अनुसार,
x + y = 180^o……………. (1)
x – y = 18^o …………….. (2)
(1) से, हमें x = 180^o – y …….. प्राप्त होता है। (3)
(3) को (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें
180^o – y – y =18^o
162^o = 2y
y = 81^o…………….. (4)
y के मान का उपयोग करने पर प्राप्त होता है। हमें
x = 180^o– 81^o
= 99^{o .}
अत: कोण 99 ^o और 81 ^o हैं ।

(iii) एक क्रिकेट टीम का कोच 7 बल्ले और 6 गेंदें 3800 रुपये में खरीदता है। बाद में, वह 1750 रुपये में 3 बल्ले और 5 गेंदें खरीदती है। प्रत्येक बल्ले और प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।

हल : माना एक बल्ले का मूल्य x तथा गेंद का मूल्य y है।
प्रश्न के अनुसार,
7x + 6y = 3800 ………………. (I)
3x + 5y = 1750 ………………। (II) (I)
से, हम
y = (3800-7x)/6 ……………….. (III)
(III) को (II) में प्रतिस्थापित करते हैं। हमें मिलता है,
3x+5(3800-7x)/6 =1750
⇒3x+ 9500/3 – 35x/6 = 1750
3x- 35x/6 = 1750 – 9500/3
⇒(18x-35x)/6 = (5250 – 9500)/3
⇒-17x/6 = -4250/3
⇒-17x = -8500
x = 500 ……………………….. (IV)
x का मान (III) में रखने पर हमें
y= (3800-7 ×500)/6 = 300/6 = 50
इसलिए, एक बल्ले की कीमत 500 रुपये है और एक गेंद की कीमत 50 रुपये है।

(iv) एक शहर में टैक्सी के शुल्क में तय की गई दूरी के लिए शुल्क के साथ एक निश्चित शुल्क शामिल होता है। 10 किमी की दूरी के लिए, भुगतान किया गया शुल्क 105 रुपये है और 15 किमी की यात्रा के लिए भुगतान किया गया शुल्क 155 रुपये है। प्रति किमी निर्धारित शुल्क और शुल्क क्या हैं? 25 किमी की दूरी तय करने के लिए एक व्यक्ति को कितना भुगतान करना पड़ता है?

हल: मान लीजिए कि नियत शुल्क x रुपये है और प्रति किमी शुल्क y रुपये है।
प्रश्न के अनुसार,
x + 10y = 105 …………….. (1)
x + 15y = 155 …………….. (2)
(1) से, हमें x = 105 – 10y ……… ………। (3)
x के मान को (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं
105 – 10y + 15y = 155
5y = 50
y = 10 …………….. (4)
y का मान (3) में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं
x = 105 – 10 × 10 = 5
इसलिए, फिक्स्ड चार्ज 5 रुपये है और प्रति किमी चार्ज = 10 रुपये
25 किमी के लिए चार्ज = x + 25y = 5 + 250 = 255 रुपये

(v) एक भिन्न 9/11 हो जाती है, यदि अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाए। यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए तो यह 5/6 हो जाता है। अंश ज्ञात कीजिए।

हल: मान लीजिए भिन्न x/y है।
प्रश्न के अनुसार,
(x+2) /(y+2) = 9/11
11x + 22 = 9y + 18
11x – 9y = -4 …………….. (1)
(x+3) /( y+3) = 5/6
6x + 18 = 5y +15
6x – 5y = -3 ………………। (2)
(1) से, हम x = (-4+9y)/11 …………….. प्राप्त करते हैं (3)
x के मान को (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त
6(-4+9y)/ 11 -5y = -3
-24 + 54y – 55y = -33
-y = -9
y = 9 ………………… (4)
y के मान को (3) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें
x = (-4+9×9 )/11 = 7
अतः भिन्न 7/9 है।

(vi) पांच वर्ष बाद, जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की तीन गुनी होगी। पाँच वर्ष पूर्व, याकूब की आयु उसके पुत्र की आयु की सात गुनी थी। उनकी वर्तमान आयु क्या है?

हल: माना याकूब और उसके पुत्र की आयु क्रमशः x और y है।
प्रश्न के अनुसार,
(x + 5) = 3(y + 5)
x – 3y = 10 …………………………………….. (1)
(x – 5) = 7(y – 5)
x – 7y = -30 ………………………………………। (2)
(1) से, हमें x = 3y + 10 …………….. प्राप्त होता है। (3)
x के मान को (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें
3y + 10 – 7y = -30
-4y = -40
y = 10 ……………………… (4)
y के मान को (3) में रखने पर प्राप्त होता है। , हमें
x = 3 x 10 + 10 = 40
है इसलिए, जैकब और उसके पुत्र की वर्तमान आयु क्रमशः 40 वर्ष और 10 वर्ष है।