NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 3 दो चरों वाले रखिक समीकरणों का युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables) प्रश्नावली 3.2
| Textbook | NCERT |
| Class | Class 10th |
| Subject | (गणित) Mathematics |
| Chapter | Chapter – 3 |
| Chapter Name | दो चरों वाले रखिक समीकरणों का युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables) |
| Mathematics | Class 10th गणित Question & Answer |
| Medium | Hindi |
| Source | Last Doubt |
NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 3 दो चरों वाले रखिक समीकरणों का युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables) प्रश्नावली 3.2
? Chapter – 3?
✍दो चरों वाले रखिक समीकरणों का युग्म✍
? प्रश्नावली 3.2?
1. निम्न समस्याओं में रेखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए।
(i) दसवीं कक्षा के 10 छात्रों ने गणित प्रश्नोत्तरी में भाग लिया। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक है, तो प्रश्नोत्तरी में भाग लेने वाले लड़कों और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
(ii) 5 पेंसिल और 7 पेन की एकसाथ कीमत 50 है, जबकि 7 पेंसिल और 5 पेन की कुल कीमत 46 है। एक पेंसिल और एक पेन की कीमत पाएं।
हल: (i) माना लड़कियों की संख्या x और लड़कों की y संख्या है। दिए गए प्रश्न के अनुसार, बीजीय व्यंजक को निम्न प्रकार से दर्शाया जा सकता है।
x +y = 10
x– y = 4
अब, x + y = 10 या x = 10−y के लिए, समाधान हैं;
| x | 5 | 4 | 6 |
| u | 5 | 6 | 4 |
x – y = 4 या x = 4 + y के लिए, समाधान हैं
| x | 4 | 5 | 3 |
| u | 0 | 1 | – 1 |
चित्रमय प्रतिनिधित्व इस प्रकार है;
ग्राफ से यह देखा जा सकता है कि दी गई रेखाएं एक दूसरे को बिंदु (7, 3) पर काटती हैं। अत: कक्षा में 7 लड़कियां और 3 लड़के हैं।
(ii) माना 1 पेंसिल की कीमत .x और 1 पेन की कीमत रु। वाई
प्रश्न के अनुसार, बीजीय व्यंजक कैब को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है;
5x + 7y = 50
7x + 5y = 46
5x + 7y = 50 या x = (50-7y)/5 के लिए, समाधान हैं;
| x | 3 | 10 | – 4 |
| u | 5 | 0 | 10 |
7x + 5y = 46 या x = (46-5y)/7 के लिए, समाधान हैं;
| x | 8 | 3 | – 2 |
| u | – 2 | 5 | 12 |
इसलिए, चित्रमय प्रतिनिधित्व इस प्रकार है;
ग्राफ से यह देखा जा सकता है कि दी गई रेखाएं एक दूसरे को बिंदु (3, 5) पर काटती हैं। 2 1
अतः, एक पेंसिल की कीमत 3/- है और एक पेन की कीमत 5/- है।
2. अनुपातों a1/a2, b1/b2 और c1/c2 की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है, समांतर है अथवा संपाती है:
(i) 5x – 4y + 8 = 0
7x + 6y – 9 = 0
(ii) 9x + 3y + 12 = 0
18x + 6y + 24 = 0
(iii) 6x – 3y + 10 = 0
2x – y + 9 = 0
हल:
(i) दिए गए व्यंजक;
5x−4y+8 = 0
7x+6y−9 = 0
इन समीकरणों की तुलना a1x + b1y + c1= 0
और a2x+b2y+c2 = 0
से करने पर हमें प्राप्त होता है,
a1= 5 , b1= -4, c1 = 8
a2= 7, b2= 6, c2 = -9
(a1/a2) = 5/7
(b1/b2) = -4/6 = -2/3
(c1/c2) = 8/-9
चूँकि, (a 1 /a 2 ) ≠ (b 1 /b 2 )
अतः, प्रश्न में दिए गए समीकरणों के युग्मों का एक अनूठा हल है और रेखाएँ एक दूसरे को ठीक एक बिंदु पर काटती हैं।
(ii) दिए गए भाव;
9x + 3y + 12 = 0
18x + 6y + 24 = 0
इन समीकरणों की तुलना 1 x + b 1 y + c 1 = 0
और a 2 x+b 2 y+c 2 = 0
से करने पर हमें प्राप्त होता है,
a 1 = 9 , b 1 = 3, c 1 = 12
a 2 = 18, b 2 = 6, c 2 = 24
(a 1 / a 2 ) = 9/18 = 1/2
(b 1 / b 2 ) = 3/6 = 1 /2
(c 1 /c 2 ) = 12/24 = 1/2
चूंकि (a 1 /a 2) = (b 1 /b 2 ) = (c 1 /c 2 )
अतः, प्रश्न में दिए गए समीकरणों के युग्मों के अनंत संभव हल हैं और रेखाएँ संपाती हैं।
(iii) दिए गए भाव;
6x – 3y + 10 = 0
2x – y + 9 = 0
इन समीकरणों की तुलना a 1 x + b 1 y + c 1 = 0
और a 2 x+b 2 y+c 2 = 0
से करने पर हमें प्राप्त होता है,
a 1 = 6 , b 1 = -3, c 1 = 10
a 2 = 2, b 2 = -1, c 2 = 9
(a 1 /a 2 ) = 6/2 = 3/1
(b 1 /c 2 ) = – 3/-1 = 3/1
(c 1 /c 2 ) = 10/9
चूँकि (a 1 /a 2 ) = (b 1 /b 2 ) ≠ (c 1 /c 2 )
इसलिए, प्रश्न में दिए गए समीकरणों के जोड़े एक दूसरे के समानांतर हैं और रेखाएं कभी भी एक दूसरे को किसी भी बिंदु पर नहीं काटती हैं और दिए गए समीकरणों के युग्म का कोई संभावित हल नहीं है।
3. अनुपातों, (a 1 /a 2 ) ,और (b 1 /b 2 ) , (c 1 /c 2 ) की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म संगत है या असंगत
(i) 3x + 2y = 5; 2x – 3y = 7
(ii) 2x – 3y = 8; 4x – 6y = 9
(iii)(3/2)x+(5/3)y = 7; 9x – 10y = 14
(iv) 5x – 3y = 11; – 10x + 6y = -22
(v)(4/3)x+2y = 8; 2x + 3y = 12
हल:
(i) दिया गया है: 3x + 2y = 5 या 3x + 2y -5 = 0
और 2x – 3y = 7 या 2x – 3y -7 = 0
इन समीकरणों की तुलना 1 x + b 1 y + c 1 = 0
और a 2 x+b 2 y+c 2 = 0
हम पाते हैं,
a 1 = 3, b 1 = 2, c 1 = -5
a 2 = 2, b 2 = -3, c 2 = -7
(a 1 /a 2 ) = 3/2
(b 1 /b 2 ) = 2/-3
(c 1 /c 2 ) = -5/-7 = 5/7
चूँकि, (a 1 /a 2 ) ≠ (b 1 /b 2 )
अतः, दिए गए समीकरण एक दूसरे को एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और उनका केवल एक ही संभावित हल है। समीकरण सुसंगत हैं।
(ii) दिया हुआ 2x – 3y = 8 और 4x – 6y = 9
इसलिए,
a 1 = 2, b 1 = -3, c 1 = -8
a 2 = 4, b 2 = -6, c 2 = -9
( a 1 /a 2 ) = 2/4 = 1/2
(b 1 /b 2 ) = -3/-6 = 1/2
(c 1 /c 2 ) = -8/-9 = 8/9
चूंकि, (a 1 /a 2 ) = (b 1 /b 2 ) (c 1 /c 2 )
इसलिए, समीकरण एक दूसरे के समानांतर हैं और उनका कोई संभावित हल नहीं है। इसलिए, समीकरण असंगत हैं।
(iii) दिया गया है(3/2)x + (5/3)y = 7 और 9x – 10y = 14
इसलिए,
a 1 = 3/2, b 1 = 5/3, c 1 = -7
a 2 = 9 , b 2 = -10, c 2 = -14
(a 1 /a 2 ) = 3/(2 x 9) = 1/6
(b1 /b 2 ) = 5/(3 x -10) = -1 /6
(c1 /c 2 ) = -7/-14 = 1/2
चूंकि, (a 1 /a 2 ) ≠ (b 1 /b 2 )
अतः समीकरण एक दूसरे को एक बिंदु पर प्रतिच्छेद कर रहे हैं और उनका केवल एक ही संभावित हल है। इसलिए, समीकरण सुसंगत हैं।
(iv) दिया गया है, 5x – 3y = 11 और – 10x + 6y = -22
इसलिए,
a 1 = 5, b 1 = -3, c 1 = -11
a 2 = -10, b 2 = 6, c 2 = 22
(a 1 /a 2 ) = 5/(-10) = -5/10 = -1/2
(b 1 /b 2 ) = -3/6 = -1/2
(c 1 /c 2 ) = -11/22 = -1/2
चूंकि (a 1 /a 2 ) = (b 1 /b 2 ) = (c 1 /c 2 )
ये रैखिक समीकरण संपाती रेखाएं हैं और इनके अनंत संभव समाधान हैं। इसलिए, समीकरण सुसंगत हैं।
(v)दिया गया है, (4/3)x +2y = 8 और 2x + 3y = 12
a 1 = 4/3, b1= 2, c1 = -8
a 2 = 2, b 2 = 3, c 2 = – 12
(a 1 /a 2 ) = 4/(3×2)= 4/6 = 2/3
(b 1 /b 2 ) = 2/3
(c 1 /c 2 ) = -8/-12 = 2 /3
चूँकि(a 1 /a 2 ) = (b 1 /b 2 ) = (c 1 /c 2 )
ये रैखिक समीकरण संपाती रेखाएँ हैं और इनके अनंत संभव समाधान हैं। इसलिए, समीकरण सुसंगत हैं।
4. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से कौन से युग्म संगत/असंगत है यदि संगत हो तो ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए।
(i) x + y = 5, 2x + 2y = 10
(ii) x – y = 8, 3x – 3y = 16
(iii) 2x + y – 6 = 0, 4x – 2y – 4 = 0
(iv) 2x – 2y – 2 = 0, 4x – 4y – 5 = 0
हल:
(i)दिया गया है, x + y = 5 और 2x + 2y = 10
(a1/a2) = 1/2
(b1/b2) = 1/2
(c1/c2) = 1/ 2
चूँकि (a1/a2) = (b1/b2) = (c1/c2)
समीकरण संपाती होते हैं और उनके अनंत संभव समाधान होते हैं।
तो, समीकरण सुसंगत हैं।
के लिए, x + y = 5 या x = 5 – y
| x | 4 | 3 | 2 |
| u | 1 | 2 | 3 |
2x + 2y = 10 या x = (10-2y)/2 . के लिए
| x | 4 | 3 | 2 |
| u | 1 | 2 | 3 |
तो, समीकरणों को ग्राफ़ में निम्नानुसार दर्शाया जाता है:
आकृति से, हम देख सकते हैं कि रेखाएँ एक दूसरे को ओवरलैप कर रही हैं।
इसलिए, समीकरणों के अनंत संभव समाधान हैं।
(ii) दिया गया है, x – y = 8 और 3x – 3y = 16
(a 1 /a 2 ) = 1/3
(b 1 /b 2 ) = -1/-3 = 1/3
(c 1 /c 2 ) = 8/16 = 1/2
चूंकि, (a 1 /a 2 ) = (b 1 /b 2 ) ≠ (c 1 /c 2 )
समीकरण एक दूसरे के समानांतर हैं और उनका कोई हल नहीं है। अतः रैखिक समीकरणों का युग्म असंगत है।
(iii) दिया गया है, 2x + y – 6 = 0 और 4x – 2y – 4 = 0
(a 1 /a 2 ) = 2/4 = ½
(b 1 /b 2 ) = 1/2 (
c 1 /c 2 ) = -6/-4 = 3/2
चूंकि, (a 1 /a 2 ) ≠ (b 1 /b 2 )
दिए गए रैखिक समीकरण एक दूसरे को एक बिंदु पर प्रतिच्छेद कर रहे हैं और उनका केवल एक ही हल है। अतः रैखिक समीकरणों का युग्म संगत है।
अब, 2x + y – 6 = 0 या y = 6 – 2x . के लिए
| x | 0 | 1 | 2 |
| u | 6 | 4 | 2 |
और 4x – 2y – 4 = 0 या y = (4x-4)/2 . के लिए
| x | 1 | 2 | 3 |
| u | 0 | 2 | 4 |
तो, समीकरणों को ग्राफ़ में निम्नानुसार दर्शाया जाता है:
ग्राफ से यह देखा जा सकता है कि ये रेखाएँ एक दूसरे को केवल एक बिंदु (2,2) पर प्रतिच्छेद करती हैं।
(iv) दिया गया है, 2x – 2y – 2 = 0 और 4x – 4y – 5 = 0
(a 1 /a 2 ) = 2/4 = ½
(b 1 /b 2 ) = -2/-4 = 1/2
(c 1 /c 2 ) = 2/5
चूंकि, (a 1 /a 2 ) = (b 1 /b 2 ) ≠ (c 1 /c 2 )
इस प्रकार, इन रैखिक समीकरणों के समानांतर हैं और इनका कोई संभावित समाधान नहीं है। अत: रैखिक समीकरणों का युग्म असंगत है।
5. एक आयताकार बाग, जिसकी लंबाई, चौड़ाई से 4 m अधिक है का अर्धपरिमाप 36 m है। बाग की विमाएं ज्ञात कीजिए।
समाधान: आइए विचार करें।
बगीचे की चौड़ाई x और लंबाई y है।
अब, प्रश्न के अनुसार, हम दी गई शर्त को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं;
y – x = 4
और
y + x = 36
अब, y – x = 4 या y = x + 4 लेते हुए
| x | 0 | 8 | 12 |
| u | 4 | 12 | 16 |
y + x = 36 के लिए, y = 36 – x
| x | 0 | 36 | 16 |
| u | 36 | 36 | 20 |
दोनों समीकरणों का आलेखीय निरूपण इस प्रकार है;
ग्राफ से आप देख सकते हैं कि रेखाएं एक दूसरे को एक बिंदु (16, 20) पर काटती हैं। अत: बगीचे की चौड़ाई 16 और लंबाई 20 है।
6. एक रैखिक समीकरण 2x+3y−8=0 दी गई है। दो चरों में एक ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए, ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण जैसा कि
(i) प्रतिच्छेद करने वाली रेखाएं
(ii) समानांतर रेखाएं
(iii) संयोग रेखाएं
हल:
(i) रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0 दिया
गया है। दो चरों में एक और रैखिक समीकरण खोजने के लिए कि इस प्रकार गठित जोड़े का ज्यामितीय प्रतिनिधित्व प्रतिच्छेदन रेखाएं हैं, इसे नीचे की शर्त को पूरा करना चाहिए;
(a1/a2) ≠ (b1/b2)
इस प्रकार, एक अन्य समीकरण 2x – 7y + 9 = 0 हो सकता है, जैसे कि;
(a1/a2) = 2/2 = 1 और (b1/b2) = 3/-7
स्पष्ट रूप से, आप देख सकते हैं कि एक और समीकरण शर्त को संतुष्ट करता है।
(ii) रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0 दिया
गया है। दो चरों में एक और रैखिक समीकरण खोजने के लिए कि इस प्रकार गठित जोड़े का ज्यामितीय प्रतिनिधित्व समानांतर रेखाएं हैं, इसे नीचे की स्थिति को पूरा करना चाहिए;
(a 1 /a 2 ) = (b 1 /b 2 ) ≠ (c 1 /c 2 )
इस प्रकार, एक अन्य समीकरण 6x + 9y + 9 = 0 हो सकता है, जैसे;
(a 1 /a 2 ) = 2/6 = 1/3
(b 1 /b 2 ) = 3/9= 1/3
(c 1 /c 2 ) = -8/9
स्पष्ट रूप से, आप देख सकते हैं कि एक और समीकरण संतुष्ट करता है स्थिति।
(iii) रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0 दिया
गया है। दो चरों में एक और रैखिक समीकरण खोजने के लिए कि इस प्रकार गठित जोड़े का ज्यामितीय प्रतिनिधित्व संयोग रेखाएं हैं, इसे नीचे की स्थिति को पूरा करना चाहिए;
(a 1 /a 2 ) = (b 1 /b 2 ) = (c 1 /c 2 )
इस प्रकार, एक अन्य समीकरण 4x + 6y – 16 = 0 हो सकता है, जैसे;
(a 1 /a 2 ) = 2/4 = 1/2 ,(b 1 /b 2 ) = 3/6 = 1/2, (c 1 /c 2 ) = -8/-16 = 1/2
स्पष्ट रूप से , आप देख सकते हैं कि एक अन्य समीकरण शर्त को संतुष्ट करता है।
7. समीकरणों x – y + 1 = 0 और 3x + 2y – 12 = 0 का ग्राफ खींचिए| x- अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए|
हल: दिया गया है, ग्राफ के लिए समीकरण x – y + 1 = 0 और 3x + 2y – 12 = 0 हैं।
x – y + 1 = 0 या x = 1+y के लिए
| x | 0 | 1 | 2 |
| u | 1 | 2 | 6 |
3x + 2y – 12 = 0 या x = (12-2y)/3 . के लिए
| x | 4 | 2 | 0 |
| u | 0 | 3 | 6 |
अत: इन समीकरणों का आलेखीय निरूपण इस प्रकार है;
आकृति से, यह देखा जा सकता है कि ये रेखाएँ एक दूसरे को बिंदु (2, 3) और x-अक्ष पर (-1, 0) और (4, 0) पर प्रतिच्छेद करती हैं। अत: त्रिभुज के शीर्ष (2, 3), (-1, 0) और (4, 0) हैं।