NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 2 बहुपद (Polynomials) प्रश्नावली 2.4
| Textbook | NCERT |
| Class | Class 10th |
| Subject | (गणित) Mathematics |
| Chapter | Chapter – 2 |
| Chapter Name | बहुपद (Polynomials) |
| Mathematics | Class 10th गणित Question & Answer |
| Medium | Hindi |
| Source | Last Doubt |
NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 2 बहुपद (Polynomials) प्रश्नावली 2.4
? Chapter – 2?
✍वास्तविक संख्याएँ✍
? प्रश्नावली 2.4?
1. सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शून्यक हैं। प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध् को भी सत्यापित कीजिए:
(i) 2x 3 + x 2 -5x+2; -1/2, 1, -2
(ii) x 3 -4x 2 +5x-2 ; 2, 1, 1
(i) 2x 3 + x 2 -5x+2; -1/2, 1, -2
हल: दिया गया है,
p (x) = 2x3+x2-5x+2
और p(x) के लिए शून्यक हैं = 1/2, 1, -2
p (1/2) = 2(1/2)3+(1/2)2-5(1/2)+2 = (1/4)+(1/4)-(5/2)+2 = 0
p (1) = 2(1)3+( 1)2-5(1)+2 = 0
p (-2) = 2(-2)3+(-2)2-5(-2)+2 = 0
अत: सिद्ध 1/2, 1 – 2 2x3+x2-5x+2 के शून्यक हैं।
अब, दिए गए बहुपद की सामान्य व्यंजक से तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं;
∴ ax3+bx2+cx+d = 2x3+x2-5x+2
a=2, b=1, c= -5 और d = 2
जैसा कि हम जानते हैं, यदि α, β, घन बहुपद ax 3 +bx 2 +cx+d के शून्यक हैं, तो;
α +β+γ = –b/a
αβ+βγ+γα = c/a
α βγ = – d/a.
इसलिए, बहुपद के शून्यकों का मान रखने पर,
α+β+γ = 1⁄2+1+(-2) = -1/2 = –b/a
αβ+βγ+γα = (1/2× 1)+(1 ×-2)+(-2×1/2) = -5/2 = c/a
α β = 1⁄2×1×(-2) = -2/2 = -d/ a
इसलिए, शून्य और गुणांक के बीच संबंध संतुष्ट हैं।
(ii) x 3 -4x 2 +5x-2 ; 2, 1, 1
हल: दिया गया है,
p(x) = x3-4x2+5x-2
और p(x) के लिए शून्यक 2,1,1 हैं।
∴ p(2)= 23-4(2)2+5(2)-2 = 0
p(1) = 13-(4×12 )+(5×1)-2 = 0
इसलिए सिद्ध हुआ, 2, 1, 1 x3-4x2+5x-2 के
अब दिए गए बहुपद की सामान्य व्यंजक से तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है;
∴ ax3+bx2+cx+d = x3-4x2+5x-2
a = 1, b = -4, c = 5 और d = -2
जैसा कि हम जानते हैं, यदि α, β, शून्य हैं घन बहुपद कुल्हाड़ी का3+bx2 +cx+d , फिर;
α + β + γ = –b/a
αβ + βγ + γα = c/a
α β γ = – d/a।
इसलिए, बहुपद के शून्यकों का मान रखने पर,
α +β+γ = 2+1+1 = 4 = -(-4)/1 = –b/a
αβ+βγ+γα = 2×1+1 ×1 +1×2 = 5 = 5/1= c/a
αβγ = 2×1×1 = 2 = -(-2)/1 = -d/a
इसलिए, शून्य और गुणांक के बीच संबंध संतुष्ट हैं .
2. एक त्रिघात बहुपद प्राप्त कीजिए जिसके शून्यको का योग , दो शून्यको को एक लेकर गुणनफलो का योग तथा तीनो शून्यको के गुणनफल क्रमश : 2 ,-7 ,-14 है।
हल: मान लीजिए कि घन बहुपद ax 3 +bx 2+cx+d है और बहुपदों के शून्यकों का मान α, β, है।
दिए गए प्रश्न के अनुसार,
α+β+γ = -b/a = 2/1
αβ +βγ+γα = c/a = -7/1
α βγ = -d/a = -14/1
इस प्रकार, ऊपर से तीन व्यंजकों से हमें बहुपद के गुणांक का मान प्राप्त होता है।
a = 1, b = -2, c = -7, d = 14
इसलिए, घन बहुपद x3-2x2-7x+14
3. यदि बहुपद x3−3x2+x+1 के शून्यक a−b,a,a+b हो तो a तथा b ज्ञात कीजिए।
हल: हमें यहाँ बहुपद के साथ दिया गया है,
p(x) = x3-3x2+x+1
और शून्यक a – b, a, a + b
के रूप में दिए गए हैं। ;
px3+qx2+rx+s = x3-3x2+x+1
p = 1, q = -3, r = 1 और s = 1
शून्यों का योग = a – b + a + a + b
– s/p = 1-b2
q और p का मान रखना।
-(-3)/1 = 3a
a=1
इस प्रकार, शून्यक 1-b, 1, 1+b हैं।
अब, शून्य का गुणनफल = 1(1-b)(1+b)
-s/p = 1-b2
-1/1 = 1-b2
b2 = 1+1 = 2
b = ±√2
इसलिए,1-√2, 1,1+√2 x 3 -3x 2 +x+1 के शून्यक हैं।
4. यदि बहुपद x4−6x3−26x2+138x−35 के दो शून्यक 2 ± √3 हों तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल: चूँकि यह घात 4 का एक बहुपद समीकरण है, इसलिए कुल 4 मूल होंगे।
माना f(x) = x4-6x3-26x2+138x-35
क्योंकि 2 +√3 और 2-√3 दिए गए बहुपद f(x) के शून्यक हैं।
∴ [x−(2+√3)] [x−(2-√3)] = 0
(x−2−√3)(x−2+√3) = 0
उपरोक्त समीकरण को गुणा करने पर हमें मिलता है,
x2-4x+1, यह दिए गए बहुपद f(x) का गुणनखंड है।
अब, यदि हम f(x) को g(x) से विभाजित करते हैं, तो भागफल भी f(x) का एक गुणनखंड होगा और शेषफल 0 होगा।
तो, x 4 -6x 3 -26x 2 +138x-35 = (x 2 -4x+1)(x 2 –2x−35)
अब, और अधिक गुणनखंड करने पर (x 2 –2x−35) हम प्राप्त करते हैं,
x 2 – (7−5)x −35 = x 2 – 7x+5x+35 = 0
x(x −7)+5(x−7) = 0
(x+5)(x−7) = 0
तो, इसके शून्यक
x= −5 और x = 7 द्वारा दिए गए हैं ।
इसलिए, दिए गए बहुपद समीकरण के सभी चार शून्यक हैं: 2+√3, 2-√3, −5 और 7