NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 2 बहुपद (Polynomials) प्रश्नावली 2.3
| Textbook | NCERT |
| Class | Class 10th |
| Subject | (गणित) Mathematics |
| Chapter | Chapter – 2 |
| Chapter Name | बहुपद (Polynomials) |
| Mathematics | Class 10th गणित Question & Answer |
| Medium | Hindi |
| Source | Last Doubt |
NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 2 बहुपद (Polynomials) प्रश्नावली 2.3
? Chapter – 2?
✍वास्तविक संख्याएँ✍
? प्रश्नावली 2.3?
1.विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग करके, निम्न में p(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए:
(i) p(x) = x 3 -3x 2 +5x-3, g(x) = x 2 -2
(ii) p(x) = x 4 -3x 2 +4x+5 , g(x) = x 2 +1-x
(iii) p(x) =x 4 -5x+6, g(x) = 2-x 2
(i) p(x) = x 3 -3x 2 +5x-3, g(x) = x 2 -2
हल: दिया
लाभांश = p(x) = x3-3x2+5x-3
भाजक = g(x) = x2– 2
इसलिए, भाग देने पर,
भागफल = x–3
शेष = 7x–9 . प्राप्त होता है
(ii) p(x) = x 4 -3x 2 +4x+5 , g(x) = x 2 +1-x
हल: दिया गया
लाभांश = p(x) = x4 – 3x2 + 4x +5
भाजक = g(x) = x2 +1-x
इसलिए, भाग देने पर,
भागफल = x 2 + x–3
शेष = 8 . प्राप्त होता है
(iii) p(x) =x 4 -5x+6, g(x) = 2-x 2
हल: दिया
लाभांश = p(x) =x4 – 5x + 6 = x4 +0x2-5x+6
भाजक = g(x) = 2-x2 = -x2+2
अतः भाग देने पर
भागफल = -x 2 -2
शेष = -5x + 10 . प्राप्त होता है
2. पहले बहुपद से दुसरे बहुपद को भाग करके, जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय का एक गुणनखंड है:
(i) t 2 -3, 2t 4 +3t 3 -2t 2 -9t-12
(ii)x 2 +3x+1, 3x 4 +5x 3 -7x 2 +2x+2
(iii) x 3 -3x +1, x 5 -4x 3 +x 2 +3x+1
(i) t 2 -3, 2t 4 +3t 3 -2t 2 -9t-12
हल: दिया गया है,
पहला बहुपद = t2-3
दूसरा बहुपद = 2t4 +3t3-2t2 -9t-12
जैसा कि हम देख सकते हैं, शेषफल 0 के रूप में बचा है। इसलिए, हम कहते हैं कि, t 2 -3, 2t 4 +3t 3 -2t 2 -9t-12 का गुणनखंड है।
(ii)x 2 +3x+1, 3x 4 +5x 3 -7x 2 +2x+2
हल: दिया गया है,
पहला बहुपद = x2+3x+1
दूसरा बहुपद = 3x4+5x3-7x2+2x+2
जैसा कि हम देख सकते हैं, शेषफल 0 के रूप में बचा है। इसलिए, हम कहते हैं कि, x 2 + 3x + 1 3x 4 +5x 3 -7x 2 +2x+2 का एक गुणनखंड है।
(iii) x 3 -3x +1, x 5 -4x 3 +x 2 +3x+1
हल: दिया गया है,
पहला बहुपद = x3-3x+1
दूसरा बहुपद = x5-4x3+x2+3x+1
जैसा कि हम देख सकते हैं, शेषफल 0 के बराबर नहीं है। इसलिए, हम कहते हैं कि, x 3 -3x+1 x 5 -4x 3 +x 2 +3x+1 का गुणनखंड नहीं है।
3.यदि 3x4 + 6x3−2x2 − 10x−5 के अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए यदि इसके दो शून्यक √5/3 और −√5/3 है ।
हल: चूँकि यह घात 4 का एक बहुपद समीकरण है, इसलिए कुल 4 मूल होंगे।
(5/3) और – √(5/3) बहुपद f(x) के शून्यक हैं। (x –√(5/3)
) (x+√(5/3) = x2-(5/3) = 0
(3x 2 −5)=0, दिए गए बहुपद f(x) का एक गुणनखंड है।
अब, जब हम f(x) को (3x2−5) से भाग देंगे तो प्राप्त भागफल भी f(x) का गुणनखंड होगा और शेषफल 0 होगा।
इसलिए, 3x 4 +6x 3 −2x 2 −10x–5 = (3x 2 –5)(x 2 +2x+1) अब, (x 2
+2x+1) को और अधिक गुणनखंड करने पर , हम प्राप्त करते हैं,
x 2 +2x+ 1 = x 2 +x+x+1 = 0
x(x+1)+1(x+1) = 0
(x+1)(x+1) = 0
तो, इसके शून्यक निम्न द्वारा दिए गए हैं: x= – 1 और x = -1।
इसलिए, दिए गए बहुपद समीकरण के सभी चार शून्यक हैं:
(5/3),- √(5/3), -1 और -1।
अत: उत्तर है।
4. यदि x3 – 3x2 + x + 2 को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर, भागफल और शेषफल क्रमश: x – 2 और – 2x + 4 हैं तो g(x) ज्ञात कीजिए।
हल: दिया
लाभांश, p(x) = x3-3x2+x+2
भागफल = x-2
शेष = -2x+4
हमें भाजक का मान ज्ञात करना है, g(x) =?
जैसा कि हम जानते हैं,
लाभांश = भाजक × भागफल + शेष
∴ x3-3x2+x+2 = g(x)×(x-2) + (-2x+4)
x3-3x2+x+2-( -2x+4) = g(x)×(x-2)
इसलिए, g(x) × (x-2) = x3-3x2+3x-2
अब, g(x) खोजने के लिए हम x को विभाजित करेंगे3-3x2+3x-2 (x-2) के साथ
इसलिए, g(x) = (x 2 –x+1)
5. बहुपदों p(x), g(x), q(x) और r(x) के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथम को संतुष्ट करते हों तथा
(i) घात p(x) = घात q(x) हो
(ii) घात q(x) = घात r(x) हो
(iii) घात r(x) = 0 हो
हल: विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार, लाभांश p(x) और भाजक g(x) दो बहुपद हैं, जहाँ g(x)≠0. तब हम नीचे दिए गए सूत्र की सहायता से भागफल q (x) और शेष r (x) का मान ज्ञात कर सकते हैं;
लाभांश = भाजक × भागफल + शेष
∴ p(x) = g(x)×q(x)+r(x)
जहां r(x) = 0 या r(x) की डिग्री < g(x) की डिग्री।
आइए अब हम प्रत्येक के लिए उदाहरण लेकर विभाजन एल्गोरिथम के अनुसार दिए गए तीन मामलों का प्रमाण दें।
(i) deg p(x) = deg q(x)
लाभांश की डिग्री भागफल की डिग्री के बराबर होती है, केवल तभी जब भाजक एक स्थिर पद हो।
आइए एक उदाहरण लेते हैं, p(x) = 3x 2 +3x+3 एक बहुपद है जिसे g(x) = 3 से विभाजित किया जाता है।
अतः, (3x 2 +3x+3)/3 = x 2 +x+1 = q(x)
इस प्रकार, आप भागफल q(x) = 2 की डिग्री देख सकते हैं, जो कि लाभांश p(x) की डिग्री के बराबर है।
इसलिए, विभाजन एल्गोरिथ्म यहाँ संतुष्ट है।
(ii) deg q(x) = deg r(x)
आइए एक उदाहरण लें, p(x) = x 2 + 3 एक बहुपद है जिसे g(x) = x – 1 से विभाजित किया जाता है।
तो, x 2 + 3 = (x – 1)×(x) + (x + 3)
इसलिए, भागफल q(x) = x
इसके अलावा, शेष r(x) = x + 3
इस प्रकार, आप देख सकते हैं, भागफल q(x की डिग्री) ) = 1, जो शेष r(x) की डिग्री के बराबर भी है।
इसलिए, विभाजन एल्गोरिथ्म यहाँ संतुष्ट है।
(iii) deg r(x) = 0
शेषफल की घात 0 तभी होती है जब विभाजन एल्गोरिथ्म के बाद शेष शेष स्थिर हो।
आइए एक उदाहरण लेते हैं, p(x) = x 2 + 1 एक बहुपद है जिसे g(x) = x से विभाजित किया जाता है।
तो, x 2 + 1 = (x)×(x) + 1
इसलिए, भागफल q(x) = x
और, शेष r(x) = 1
स्पष्ट रूप से, यहां शेषफल की डिग्री 0 है।
इसलिए, विभाजन एल्गोरिथ्म संतुष्ट है यहां।