NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 15 प्रायिकता (Probability) प्रश्नावली 15.1

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 15 प्रायिकता (Probability) प्रश्नावली 15.1

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 15 प्रायिकता (Probability) प्रश्नावली 15.1

? Chapter – 15?

✍प्रायिकता✍

? प्रश्नावली 15.1?

1. निम्नलिखित कथनों को पूरा कीजिएः

(i) किसी घटना E की प्रायिकता + घटना ‘E नहीं’ की प्रायिकता = ___________।

(ii) उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती _________ है। ऐसी घटना _______ कहलाती है।

(iii) उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है ________ है। ऐसी घटना _________ कहलाती है।

(iv) किसी प्रयोग की सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग ___________ है।

(v)  किसी घटना की प्रायिकता _________ से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा _________ से छोटी या उसके बराबर होती है।

हल:
(i) किसी घटना की प्रायिकता E + घटना की ‘नहीं E’ की प्रायिकता = 1.
(ii) किसी घटना के घटित न होने की प्रायिकता 0 है। ऐसी घटना को असंभव घटना कहा जाता है।
(iii) किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता 1 होती है। ऐसी घटना निश्चित या निश्चित घटना कहलाती है।
(iv) किसी प्रयोग की सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग 1 होता है।
(v) किसी घटना की प्रायिकता 0 से अधिक या उसके बराबर और 1 से कम या उसके बराबर होती है।

2.निम्नलिखित प्रयोगों में से किन-किन प्रयोगों के परिणाम समप्रायिक है? स्पष्ट कीजिए।
(i) एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है। कार चलना प्रारंभ हो जाती है या कार चलना प्रारंभ नहीं होती है।
(ii) एक खिलाड़ी बास्केटबॉल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करती है। वह बास्केट में बॉल डाल पाती है या नहीं डाल पाती है।
(iii) एक सत्य -असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है। उत्तर सही है या गलत होगा।
(iv) एक बच्चे का जन्म होता है। वह एक लड़का है या एक लड़की है।

समाधान:
(i) इस कथन के समान रूप से संभावित परिणाम नहीं हैं क्योंकि कार ईंधन आदि जैसे विभिन्न कारकों के आधार पर शुरू हो सकती है या नहीं भी हो सकती है।
(ii) यहां तक ​​​​कि इस कथन के समान रूप से संभावित परिणाम नहीं हैं क्योंकि खिलाड़ी गोली मार सकता है या चूक सकता है गोली मारना।
(iii) इस कथन के समान रूप से संभावित परिणाम हैं क्योंकि यह ज्ञात है कि समाधान या तो सही है या गलत।
(iv) इस कथन के भी समान रूप से संभावित परिणाम हैं क्योंकि यह ज्ञात है कि नवजात शिशु लड़का या लड़की हो सकता है।

3. फुटबॉल के खेल को प्रारंभ करते समय यह निर्णय लेने के लिए कि कौन-सी टीम पहले बॉल लेगी, इसके लिए सिक्का उछालना एक न्यायसंगत विधि क्यों माना जाता है?

हल: एक सिक्के को उछालना निर्णय लेने का एक उचित तरीका है क्योंकि संभावित परिणामों की संख्या केवल 2 है अर्थात या तो चित या पट। चूंकि ये दोनों परिणाम समान रूप से संभावित परिणाम हैं, इसलिए उछालना अप्रत्याशित है और इसे पूरी तरह से निष्पक्ष माना जाता है।

4. निम्नलिखित में से कौन सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती?
(a) 2/3  (b) -1.5  (c) 15%  (d) 0.7

हल:किसी भी घटना (E) की प्रायिकता हमेशा 0 और 1 के बीच होती है अर्थात 0 P(E) ≤ 1. इसलिए, उपरोक्त विकल्पों में से, विकल्प

(B) -1.5 किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकता।

5. यदि P(E)=0.05 है तो E नहीं की प्रायिकता क्या है?

हल:  हम जानते हैं कि,
P(E)+P(E नहीं) = 1
यह दिया गया है कि, P(E) = 0.05
तो, P(N नहीं) = 1-P(E)
या, P(E नहीं) = 1-0.05
P (E नहीं) = 0.95

6. एक थैले में केवल नींबू की महक वाली मीठी गोलियां हैं। मालिनी बिना थैले में झांके उसमें से एक गोली निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह निकाली गई गोली
(i) संतरे की मही वाली है?
(ii) नींबू की महक वाली है?

हल :
(i) हम जानते हैं कि थैले में केवल नींबू के स्वाद वाली मिठाइयाँ हैं।
तो, नहीं. संतरे के स्वाद वाली कैंडीज = 0 संतरे के स्वाद
निकालने की प्रायिकता = 0/1 = 0
(ii) चूंकि केवल नींबू के स्वाद वाली कैंडीज हैं, P(नींबू के स्वाद वाली कैंडीज) = 1 (या 100%)

7. यह दिया हुआ है कि 3 विद्यार्थियों के एक समूह में से 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन न होने की प्रायिकता 0.992 हैं इसकी क्या प्रायिकता है कि इन 2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन हो?

हल:  मान लीजिए कि एक ही जन्मदिन वाले 2 छात्रों की घटना E है
, P(E) = 0.992
हम जानते हैं,
P(E)+P(N नहीं) = 1
या, P(E नहीं) = 1-0.992 = 0.008
प्रायिकता कि 2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही है 0.008

8. एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदं हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद (i) लाल हो? (ii) लाल नहीं हो?

हल:  गेंदों की कुल संख्या = लाल गेंदों की संख्या + काली गेंदों की संख्या
तो, कुल संख्या। गेंदों का = 5+3 = 8
हम जानते हैं कि किसी घटना की प्रायिकता संख्या के बीच का अनुपात है। अनुकूल परिणामों की और परिणामों की कुल संख्या।
P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या/परिणामों की कुल संख्या)
(i) लाल गेंदें निकालने की प्रायिकता = P (लाल गेंदें) = (लाल गेंदों की संख्या/कुल गेंदों की संख्या) = 3/8
(ii) काली गेंदों को निकालने की प्रायिकता = P (काली गेंदें) = (काली गेंदों की संख्या / गेंदों की कुल संख्या) = 5/8

9. एक डिब्बे में 5 लाल कंचे, 8 सफेद कंचे और 4 हरे कंचे हैं। इस डिब्बे में से एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाला गया कंचा (i) लाल है (ii) सफेद है (iii) हरा नहीं है?

हल: कुल संख्या। गेंदों की संख्या = 5+8+4 = 17
P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या/ परिणामों की कुल संख्या)

(i) लाल गेंदों की कुल संख्या = 5
P (लाल गेंद) = 5/17 = 0.29

(ii) सफेद गेंदों की कुल संख्या = 8
P (सफेद गेंद) = 8/17 = 0.47

(iii) हरी गेंदों की कुल संख्या = 4
P (हरी गेंद) = 4/17 = 0.23
∴ P (हरा नहीं) = 1- P (हरी गेंद) = 1-(4/7) = 0.77

10. एक पिग्गी बैंक में 50 पैसे के सौ सिक्के है रू0 1 के पचास सिक्के है रू0 2 के बीच सिक्के और रू0 5 के दस सिक्के हैं। यदि पिग्गी बैंक को हिलाकर उल्टा करने पर कोई एक सिक्का गिरने के परिणाम समप्रायिक हैं तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गिरा हुआ सिक्का (i) 50 पैसे का होगा (ii) रू0 5 का नहीं होगा ?

हल: कुल संख्या। सिक्कों की संख्या = 100+50+20+10 = 180
P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या/परिणामों की कुल संख्या)

(i) 50 पी सिक्के की कुल संख्या = 100
P(50 P सिक्का) = 100/180 = 5/9 = 0.55

(ii) ₹5 के सिक्के की कुल संख्या = 10
P (₹5 का सिक्का) = 10/180 = 1/18 = 0.055
P (₹5 का सिक्का नहीं) = 1- P (₹5 का सिक्का) = 1-0.055 = 0.945

11.गोपी अपने जल-जीव कुंड के लिए एक दुकान से मछली खरीदती हैं दुकानदार एक टंकी, जिसमें 5 नर मछली और 8 मादा मछली हैं में से एक मछली यादृच्छया उसे देने के लिए निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाली गई मछली नर मछली है?

हल:  टैंक में मछलियों की कुल संख्या = 5+8 = 13
नर मछलियों की कुल संख्या = 5
P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या/ परिणामों की कुल संख्या)
P (नर मछली) = 5/13 = 0.38

12. संयोग के एक खेल में एक तीर को घुमाया हाता है जो विश्राम में आने के बाद संख्याओं 1,2,3,4,5,6,7 और 8 में से किसी एक संख्या को इंगित करता है। यदि ये सभी परिणाम समप्रायिक हों तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह तीर इंगित
(i) 8 को करेगा?
(ii) एक विषम संख्या को करेगा?
(iii) 2 से बड़ी संख्या को करेगा
(iv) 9 से छोटी संख्या को करेगा?

हल:  संभावित परिणामों की कुल संख्या = 8
P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या/परिणामों की कुल संख्या)

(i) अनुकूल घटनाओं की कुल संख्या (यानी 8) = 1
P (8 की ओर इशारा करते हुए) = = 0.125

(ii) विषम संख्याओं की कुल संख्या = 4 (1, 3, 5 और 7)
P (विषम संख्या की ओर इशारा करते हुए) = 4/8 = ½ = 0.5

(iii) 2 = 6 (3, 4, 5, 6, 7 और 8) से बड़ी कुल संख्याएँ
P (4 से बड़ी संख्या की ओर इशारा करते हुए) = 6/8 = ¾ = 0.75

(iv) 9 से कम की कुल संख्या = 8 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, और 8)
P (9 से कम संख्या की ओर इशारा करते हुए) = 8/8 = 1

13. एक पासे को एक बार फेंका जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिएः
(i) एक अभाजय संख्या (ii) 2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या (iii) एक विषम संख्या

हल:  एक पासे को फेंकने पर कुल संभावित घटनाएँ = 6 (1, 2, 3, 4, 5, और 6)
P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या/परिणामों की कुल संख्या)

(i) अभाज्य संख्याओं की कुल संख्या = 3 (2, 3 और 5)
P (अभाज्य संख्या प्राप्त करना) = 3/6 = ½ = 0.5

(ii) 2 और 6 के बीच की कुल संख्या = 3 (3, 4 और 5)
P (2 और 6 के बीच की संख्या प्राप्त करना) = 3/6 = ½ = 0.5

(iii) विषम संख्याओं की कुल संख्या = 3 (1, 3 और 5)
P (एक विषम संख्या प्राप्त करना) = 3/6 = ½ = 0.5

14. 52 पत्तों की अच्छी प्रकार से फटी गई एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिएः
(i) लाल रंग का बादशाह
(ii) एक फेस कार्ड तस्वीर वाला पत्ता
(iii) लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता
(iv) पान का गुलाम
(v) हुकुम का पत्ता
(vi) एक ईंट की बेगम

हल:  संभावित परिणामों की कुल संख्या = 52
P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या/परिणामों की कुल संख्या)

(i) लाल रंग के राजा की कुल संख्या = 2
P (लाल रंग का राजा प्राप्त करना) = 2/52 = 1/26 = 0.038

(ii) फेस कार्ड की कुल संख्या = 12
पी (फेस कार्ड प्राप्त करना) = 12/52 = 3/13 = 0.23

(iii) लाल कार्डों की कुल संख्या = 6
पी (लाल रंग का राजा प्राप्त करना) = 6/52 = 3/26 = 0.11

(iv) जैक ऑफ हार्ट्स की कुल संख्या = 1
पी (लाल रंग का राजा प्राप्त करना) = 1/52 = 0.019

(v) कुदाल के राजा की कुल संख्या = 13
P (लाल रंग का राजा प्राप्त करना) = 13/52 = = 0.25

(vi) हीरों की रानी की कुल संख्या = 1
पी (लाल रंग का राजा प्राप्त करना) = 1/52 = 0.019

15. ताश के पांच –ईंट का दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह और इक्का-को पलट करके अच्छी प्रकार फेटा जाता है। फिर इनमें से यादृच्छया एक पत्ता निकाला जाता है।
(i) इसकी क्या प्रायिकता है कि यह पत्ता एक बेगम है?
(ii) यदि बेगम निकल आती है तो उसे अलग रख दिया जाता है और एक अन्य पत्ता निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा निकाला गया पत्ता (a) एक इक्का है (b) एक बेगम है?

हल:  कार्डों की कुल संख्या = 5
P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या/परिणामों की कुल संख्या)

(i) रानी की संख्या = 1
P (रानी चुनना) = ⅕ = 0.2

(ii) यदि रानी को खींचकर एक तरफ रख दिया जाए, तो बचे हुए पत्तों की कुल संख्या (5-4) = 4
(a) इक्के की कुल संख्या = 1
P (इक्का चुनना) = ¼ = 0.25

16. किसी कारणा 12 खराब पेन 132 अच्छे पेनों में मिल गए हैं। केवल देखकर यह नहीं बताया जा सकता है। कि कोई पेन खराब है या अच्छा है । इस मिश्रण में से एक पेन यादृच्छया निकाला जाता है । निकाले गए पेन की अच्छा होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल:  कलमों की संख्या = दोषपूर्ण कलमों की संख्या + अच्छे
कलमों की संख्या ∴ कलमों की कुल संख्या = 132+12 = 144 कलम
P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या / परिणामों की कुल संख्या)
P (एक अच्छा कलम चुनना) = 132/144 = 11/12 = 0.916

17. (i) 20 बल्बों के एक समूह में 4 बल्ब खराब हैं। इस समूह में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि बल्ब खराब होगा?
(ii) मान लीजिए (i) में निकाला गया बल्ब खराब नहीं है और न ही इसे दुबारा बल्बों के साथ मिलाया जाता है। अब शेष बल्बों में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब नहीं होगा?

हल: (i) दोषपूर्ण बल्बों की संख्या = 4 बल्बों
की कुल संख्या = 20
P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या/ परिणामों की कुल संख्या)
एक दोषपूर्ण बल्ब प्राप्त करने की प्रायिकता = P (दोषपूर्ण बल्ब) = 4/ 20 = = 0.2

(ii) चूँकि 1 गैर-दोषपूर्ण बल्ब निकाला जाता है, तो बचे हुए बल्बों की कुल संख्या 19
है इसलिए, घटनाओं की कुल संख्या (या परिणाम) = 19
गैर-दोषपूर्ण बल्बों की संख्या = 19-4 = 15
तो, संभावना है कि बल्ब खराब नहीं है = 15/19 = 0.789

18. एक पेटी में 90 डिस्क है जिन पर 1 से 90 तक संख्याएं अंकित हैं। यदि इस पेटी में से एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी: (i) दो अंकों की एक संख्या (ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या (iii) 5 से विभाज्य एक संख्या।

हल:  डिस्क की कुल संख्या = 90
P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या/परिणामों की कुल संख्या)

(i) दो अंकों की संख्या वाली डिस्क की कुल संख्या = 81
(चूंकि 1 से 9 एकल अंक संख्याएं हैं और इसलिए, कुल 2 अंक संख्याएं 90-9 = 81 हैं)
पी (दो अंकों की संख्या वाली) = 81/90 = 9/10 = 0.9

(ii) पूर्ण वर्ग संख्याओं की कुल संख्या = 9 (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 और 81)
P (पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त करना) = 9/90 = 1/10 = 0.1

(iii) कुल संख्याएं जो 5 = 18 (5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85 और 90) से विभाज्य हैं
। (5 से विभाज्य संख्या प्राप्त करना) = 18/90 = = 0.2बी) रानी की कुल संख्या = 0
पी (एक रानी को चुनना) = 0/4 = 0

19. एक बच्चे के पास ऐसा पास है जिसके फलकों पर निम्नलिखित अक्षर अंकित है:

इस पासे को एक बार फेंका जाता है।इसकी क्या प्रायिकता है कि (i) A प्राप्त हो (ii) D प्राप्त हो?

हल: संभावित परिणामों (या घटनाओं) की कुल संख्या = 6
P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या/परिणामों की कुल संख्या)

(i) उस पर A वाले फलकों की कुल संख्या = 2
P (A प्राप्त करना) = 2/6 = = 0.33

(ii) D वाले फलकों की कुल संख्या = 1
P (D प्राप्त करना) = = 0.166

20. माना लीजिए आप एक पासे को आकृति में दर्शाए आयताकार क्षेत्र में यादृच्छया रूप से गिरते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह पास 1m व्यास वाले वृत्त के अंदर गिरेगा?

हल: सबसे पहले, आयत के क्षेत्रफल और वृत्त के क्षेत्रफल की गणना करें। यहाँ, आयत का क्षेत्रफल संभावित परिणाम है और वृत्त का क्षेत्रफल अनुकूल परिणाम होगा।
अतः, आयत का क्षेत्रफल = (3×2) m² = 6 m²और,
वृत्त का क्षेत्रफल = r² = (½)² m² = π/4 m² = 0.78
मरने की प्रायिकता सर्कल के अंदर उतरेगा = [(π/4)/6] = π/24 या, 0.78/6 = 0.13

21. 144 बाल पेनो के एक समूह में 20 बाल पेन खराब है और शेष अच्छे है। आप वही पेन खरीदना चाहेंगे जो अच्छा हो परन्तु खराब पेन आप खरीदना नहीं चाहेंगे। दुकानदार इन पेनो में से यादृच्छया एक पेन निकालकर आपको देता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) आप वह पेन खरीदोगे ? (ii) आप वह पेन नहीं खरीदोगे?

हल:  परिणामों की कुल संख्या यानी पेन = 144
दिया गया है, दोषपूर्ण पेन की संख्या = 20
∴ गैर दोषपूर्ण पेन की संख्या = 144-20 = 124
P (E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या / परिणामों की कुल संख्या)

(i) कुल संख्या घटनाएँ जिनमें वह उन्हें खरीदेगी = 124
तो, P (खरीदना) = 124/144 = 31/36 = 0.86

(ii) कुल संख्या घटनाएँ जिनमें वह उन्हें नहीं खरीदेगी = 20
तो, P (खरीदारी नहीं) = 20/144 = 5/36 = 0.138

22. उदाहरण 13 को देखिए। (i) निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए

(ii) एक विद्यार्थी यह तर्क देता है कि ‘यहाँ कुल 11 परिणाम 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 और
12 हैं। अत:, प्रत्येक की प्रायिकता 1/1 है।’ क्या आप इस तर्क से सहमत हैं? सकारण उत्तर
दीजिए।

हल: जब पासे को दो बार फेंका जाता है तो सभी संभाव्य परिणाम है :
S = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6) }
अर्थात, n(S) = 6 × 6 = 36

(i) मान लीजिए ‘योग 3 प्राप्त करना’ घटना A है।
A = (2, 1) (1, 2)
n(A) = 2
योग 3 प्राप्त करने की प्रायिकता,P(A) = n(A) /n(S)
P(A) = 2/36 = 1/18

(ii) मान लीजिए ‘योग 4 प्राप्त करना’ घटना A है।
B = (3, 1), (1, 3), (2, 2)
n(B) = 3
योग 4 प्राप्त करने की प्रायिकता,P(B) = n(A) /n(S)
P(B) = 3/36 = 1/12

(iii) मान लीजिए ‘योग 5 प्राप्त करना’ घटना A है।
C = (4, 1), (1, 4), (2, 3), (3, 2)
n(C) = 4
योग 5 प्राप्त करने की प्रायिकता,P(B) = n(A) /n(S)
P(C) = 4/36 = 1/9

(iv) मान लीजिए ‘योग 6 प्राप्त करना’ घटना D है।
D = (5, 1), (1, 5), (2, 4), (4, 2), (3, 3)
n(D) = 4
योग 6 प्राप्त करने की प्रायिकता,P(D) = n(D) /n(S)
P(D) = 4/36 = 1/9

(v) मान लीजिए ‘योग 7 प्राप्त करना’ घटना E है।
E = (6, 1), (1, 6), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)
n(E) = 6
योग 5 प्राप्त करने की प्रायिकता,P(E) = n(E) /n(S)
P(E) = 6/36 = 1/6

(vi) मान लीजिए ‘योग 8 प्राप्त करना’ घटना F है।
F = (6, 2), (2, 6), (3, 5), (5, 3), (4, 4)
n(F) = 5
योग 8 प्राप्त करने की प्रायिकता,P(F) = n(F) /n(S)
P(F) = 5/36

(vii) मान लीजिए ‘योग 9 प्राप्त करना’ घटना G है।
G = (3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4)
n(G) = 4
योग 9 प्राप्त करने की प्रायिकता,P(G) = n(G) /n(S)
P(G) = 4/36 = 1/9

(viii) मान लीजिए ‘योग 10 प्राप्त करना’ घटना H है।
H = (4, 6), (6, 4), (5, 5)
n(H) = 3
योग 10 प्राप्त करने की प्रायिकता,P(H) = n(H) /n(S)
P(H) = 3/36 = 1/12

(ix) मान लीजिए ‘योग 11 प्राप्त करना’ घटना I है।
I = (5, 6), (6, 5)
n(I) = 2
योग 10 प्राप्त करने की प्रायिकता,P(I) = n(I) /n(S)
P(I) = 2/36 = 1/18

(x) मान लीजिए ‘योग 12 प्राप्त करना’ घटना J है।
J = (6, 6)
n(J) = 1
योग 10 प्राप्त करने की प्रायिकता,P(J) = n(J) /n(S)
P(J) = 1/36
(2) नहीं, सभी 11 संभाव्य परिणाम समप्रायिक नहीं है । क्योंकि उनकी प्रायिकता भिन्न-भिन्न है।
आशा है कि यह उत्तर आपकी अवश्य मदद करेगा।।।।

(ii) तर्क सही नहीं है क्योंकि यह (i) में पहले से ही उचित है कि सभी संभावित परिणामों की संख्या 36 है न कि 11।

23. एक खेल में एक रूपए के सिक्के को तीन बार उछाला जाता है और प्रत्येक बार का परिणाम लिख लिया जाता है । तीनों परिणाम समान होने पर अर्थात तीन चित या तीन पट प्राप्त होने पर हनीफ खेल में जीत जाएगा, अन्यथा वह हार जाएगा। हनीफ के खेल में हार जाने की प्रायिकता परिकलित कीजिए।

हल:  परिणामों की कुल संख्या = 8 (HHH, HHT, HTH, THH, TTH, HTT, THT, TTT)
कुल परिणाम जिसमें हनीफ खेल खो देगा = 6 (HHT, HTH, THH, TTH, HTT, THT)
पी (खेल हारना) = 6/8 = ¾ = 0.75

24. एक पासे क दो बार फेका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि (i) 5 किसी भी बार में नहीं आयेगा? (ii) 5 कम से कम एक बार आयेगा

हल:  परिणाम हैं:
(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)
(2, 1), (2, 2 ), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), ( 3, 5), (3, 6)
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)
(5, 1) , (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6 , 4), (6, 5), (6, 6)
अतः, परिणामों की कुल संख्या = 6×6 = 36

(i) विधि 1:
निम्नलिखित घटनाओं पर विचार करें।
A = 5 पहले फेंक में आता है,
B = 5 दूसरे फेंक में आता है
P (A) = 6/36,
P (B) = 6/36 और
P (B नहीं) = 5/6
तो, P (A नहीं) = 1-(6/36) = 5/6
∴ अभीष्ट प्रायिकता = (5/6)×(5/6) = 25/36
विधि 2:
मान लीजिए कि E वह घटना है जिसमें 5 किसी भी समय नहीं आता है।
तो, अनुकूल परिणाम हैं [36–(5+6)] = 25
∴ P(E) = 25/36

(ii) घटनाओं की संख्या जब 5 कम से कम एक बार आता है = 11(5+6)
∴ अभीष्ट प्रायिकता = 11/36

25. निम्नलिखित में से कौन से तर्क सत्य हैं और कौन से तर्क असत्य है सकारण उत्तर दीजिए।
(i) यदि दो सिक्कों को एक साथा उछाला जाता है तो इसके तीन संभावित परिणाम दो चित दो पट या प्रत्येक एक बार है। अतः इनमें से प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता 1/3 है।
(ii) यदि एक पासे को फेंका जाता है तो इसके दो संभावित परिणाम एक विषम संख्या या एक सम संख्या है। अतः एक विषम संख्या ज्ञात करने की प्रायिकता 1/2 है।

हल:  (i) सभी संभावित घटनाएँ (H,H) हैं; (H, T); (T, H) और (T, T)
तो, P (दो सिर प्राप्त करना) =
और, P (प्रत्येक में से एक प्राप्त करना) = 2/4 = ½
यह कथन गलत है।

(ii) चूँकि दोनों परिणाम समान रूप से सम्भाव्य हैं, यह कथन सही है।