NCERT Solutions Class 10th Math Chapter – 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन (Surface Areas and Volumes) प्रश्नावली 13.5

NCERT Solutions Class 10th Math Chapter – 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन (Surface Areas and Volumes) प्रश्नावली 13.5

NCERT Solutions Class 10th Math Chapter – 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन (Surface Areas and Volumes) प्रश्नावली 13.5

? Chapter – 13?

✍ पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन✍

? प्रश्नावली 13.5?

1.  व्यास 3 mm वाले ताँबे के एक तार को 12cm लंबे और 10cm व्यास वाले एक बेलन पर इस
प्रकार लपेटा जाता है कि वह बेलन के वक्र पृष्ठ को पूर्णतया ढक लेता है । तार की लंबाई
और द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, यह मानते हुए कि ताँबे का घनत्व 8.88 g प्रति cm है।

हल:

दिया गया है,
बेलन का व्यास = 10 cm
तो, बेलन की त्रिज्या (r) = 10/2 cm = 5 cm
पूरी तरह से एक चक्कर में तार की लंबाई = 2πr = 3.14 × 5 cm = 31.4 cm
यह दिया गया है कि व्यास का तार = 3 mm = 3/10 cm
एक चक्कर में ढके सिलेंडर की मोटाई = 3/10 m
इसलिए, तार के 12 cm को कवर करने के लिए घुमावों की संख्या होगी-

अब, पूरी सतह को ढकने के लिए आवश्यक तार की लंबाई = 40 चक्कर लगाने के लिए आवश्यक तार की लंबाई
40 x 31.4 सेमी = 1256 cm
तार की त्रिज्या = 0.3/2 = 0.15 cm
तार का आयतन = तार के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल × तार की लंबाई
= π(0.15) ² ×1257.14
= 88.898 cm ³
हम जानते हैं,
द्रव्यमान = आयतन × घनत्व
= 88.898×8.88
= 789.41 ग्राम

2. एक समकोण त्रिभुज, जिसकी भुजाएँ 3 cm और 4 cm हैं (कर्ण के अतिरिक्त), को उसके कर्ण के परितः घुमाया जाता है। इस प्रकार प्राप्त द्वि- शंकु (double cone) के आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ( ग का मान जो भी उपयुक्त लगे, प्रयोग कीजिए।)

हल : निम्न प्रकार से चित्र बनाइए :

आइए हम ABA पर विचार करें
,
AS = 3 cm, AC = 4 cm
तो, कर्ण BC = 5 cm
हमें एक ही आधार AA’ पर 2 शंकु मिले हैं, जहां त्रिज्या = DA या DA’
अब, AD/CA = AB/ CB
, CA, AB और CB का मान रखने पर,
AD = 2/5 cm
हम यह भी जानते हैं,
DB/AB = AB/CB
इसलिए, DB = 9/5 cm
जैसे, CD = BC-DB,
CD = 16 /5 cm
अब, दोहरे शंकु का आयतन होगा

इसे हल करने पर हमें प्राप्त होता है,
V = 30.14 cm ³
दोहरे शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा

= 52.75 cm ²

3. एक टंकी, जिसके आंतरिक मापन 150 cm x 120 cm x 110cm हैं, में 129600cm पानी है। इस
पानी में कुछ छिद्र वाली ईंटें तब तक डाली जाती हैं, जब तक कि टंकी पूरी ऊपर तक भर न जाए। प्रत्येक ईंट अपने आयतन का 1/17 पानी सोख लेती है। यदि प्रत्येक ईंट की माप 22.5 cm x 7.5 cm x 6.5 cm हैं, तो टंकी में कुल कितनी ईंटें डाली जा सकती हैं, ताकि उसमें से पानी बाहर न बहे ?

हल:
दिया है कि टंकी का आयाम = 150 × 120 × 110
तो, आयतन = 1980000 cm³
में भरा जाने वाला आयतन = 1980000 – 129600
= 1850400 cm 3
अब, रखी गई ईंटों की संख्या “n”
तो, आयतन n ईंटों की संख्या होगी = n×22.5×7.5×6.5
अब चूंकि प्रत्येक ईंट अपने आयतन का सत्रहवाँ भाग अवशोषित करती है, आयतन होगा
= n/(17)×(22.5×7.5×6.5)
प्रश्न में दी गई शर्त के लिए ,
n ईंटों का आयतन n ईंटों द्वारा अवशोषित आयतन के बराबर होना चाहिए + टंकी में भरा जाने वाला आयतन
या, n×22.5×7.5×6.5 = 1850400+n/(17)×(22.5×7.5×6.5)
इसे हल करना हम पाते हैं,
n = 1792.41

4. किसी महीने के 15 दिनों में, एक नदी की घाटी में 10cm वर्षा हुई। यदि इस घाटी का क्षेत्रफल 7280 km है, तो दर्शाइए कि कुल वर्षा लगभग तीन नदियों के सामान्य पानी के योग के समतुल्य थी, जबकि प्रत्येक नदी 1072 km लंबी, 75m चौड़ी और 3m गहरी है।

हल: प्रश्न से, यह स्पष्ट है कि
3 नदियों का कुल आयतन = 3×[(एक नदी का सतही क्षेत्रफल)×गहराई]
दिया गया है,
एक नदी का सतही क्षेत्रफल = [1072×(75/1000)] k.m
और,
गहराई = (3/1000) k.m
अब, 3 नदियों का आयतन = 3×[1072×(75/1000)]×(3/1000)
= 0.7236 k.m³
अब, वर्षा की मात्रा = कुल सतह क्षेत्र × वर्षा की कुल ऊंचाई

= 0.7280 k.m³
कुल वर्षा तीन नदियों के सामान्य जल के योग के लगभग बराबर थी, इसलिए वर्षा की मात्रा 3 नदियों के आयतन के बराबर होनी चाहिए।
परन्तु, 0.7280 km ³  = 0.7236 km ³
अतः, प्रश्न कथन सत्य है।

5. टीन की बनी हुई एक तेल की कुप्पी 10cm लंबे एक बेलन में एक शंकु के छिन्नक को जोड़ने से बनी है।
यदि इसकी कुल ऊँचाई 22cm है, बेलनाकार भाग का व्यास 8 cm है और कुप्पी के ऊपरी सिरे का व्यास 18cm है, तो इसके बनाने में लगी टीन की चादर का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति 13.25 )।

हल: दिया गया है,
छिन्नक भाग के ऊपरी वृत्ताकार सिरे का व्यास = 18 cm
तो, त्रिज्या (r₁) = 9 cm²
के निचले वृत्ताकार सिरे कीत्रिज्या वृत्तीय सिरे की त्रिज्या के बराबर होगी
तो, r₂ = 8/2 = 4 cm अब
, छिन्नक खंड की ऊँचाई (h₁) = 22 – 10 = 12 cm
और,बेलनाकार खंड की
ऊँचाई (h₂
अब, तिरछी ऊँचाई होगी- 

या, एल = 13 र्त
आवश्यक टिन शीट का क्षेत्रफल = छिन्नक भाग का CSA + बेलनाकार भाग का CSA
= (r ₁ +r ₂ )l+2πr ₂ h ₂
इसे हल करने पर हमें प्राप्त होता है,
आवश्यक टिन शीट का क्षेत्रफल = 782 4/ 7 cm²

6. शंकु के एक छिन्नक के लिए, पूर्व स्पष्ट किए संकेतों का प्रयोग करते हुए, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल के उन सूत्रों को सिद्ध कीजिए, जो अनुच्छेद 13.5 में दिए गए हैं।

हल: आरेख पर विचार करें

एक शंकु के छिन्नक को दो लम्ब वृत्तीय शंकु OAB और OCD के अंतर के रूप में देखा जा सकता है।
मान लें कि h₁ और l₁ शंकु OAB की ऊंचाई और तिरछी ऊंचाई हैं और h₂ और l₂ क्रमशः शंकु OCD की ऊंचाई और तिरछी ऊंचाई हैं।
APO और ΔDQO में
∠APO = DQO = 90° (चूंकि दोनों शंकु लम्ब वृत्तीय शंकु हैं)
AOP = DOQ (उभयनिष्ठ)
इसलिए, APO DQO (समानता की AA कसौटी)
AP/DQ = AO/DO = OP/ OQ (समान त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं)
r₁/r₂ = l₁/l₂ = h₁/h₂
⇒ r₁/r₂ = l₁/l₂ या r₂/r₁ = l₂/l₁
दोनों पक्षों से 1 घटाने पर हमें
r₁ / r₂ प्राप्त होता है – 1 = l₁ / l₂ – 1
(r₁ – r₂)/r₂ = (l₁ – l₂) / l₂
(r₁ – r₂)/r₂ = l/l₂ [आरेख से, l₁ – l₂ = l]
l₂ = lr₂/(r₁ – आर)… (मैं)
या r₂ / r₁ = l₂ / l₁
दोनों पक्षों से 1 घटाने पर हमें
r₂ / r₁ – 1 = l₂ / l₁ – 1
(r₂ – r₁) / r₁ = (l₂ – l₁) / l₁
(r₁ – r₂) / r₁ = ( l₁ – l₂) / l₁
(r₁ – r₂) / r₁ = l / l₁
l₁ = lr₁/(r₁ – r₂) …. (ii)

(i) शंकु के छिन्नक का CSA = शंकु OAB का CSA – शंकु का CSA OCD
= r₁l₁ – r₂l₂
= π (r₁l₁ – r₂l₂)
= π [(r₁ × lr₁/(r₁ – r₂) – r₂ × lr₂/(r₁ – r₂)] [(i) और (ii) का प्रयोग करना]
= π [(lr₁² – lr₂²)/(r₁ – r₂)]
= π [l(r₁² – r₂²)/(r₁ – r₂)]
= π [l(r₁ ) – r₂)(r₁ + r₂)/(r₁ – r₂)] [चूंकि, a² – b² = (a – b)(a + b)]
= l(r₁ + r₂)
शंकु के छिन्नक का TSA = छिन्नक का CSA + निचले वृत्ताकार सिरे का क्षेत्रफल + शीर्ष वृत्तीय सिरे का
क्षेत्रफल = l (r₁ + r₂) + r₁² + r₁²
इसलिए, शंकु के छिन्नक का CSA = l (r₁ + r₂)
शंकु के छिन्नक का TSA = l (r₁) + r₂) + r₁² + r₂²

7. शंकु के एक छिन्नक के लिए, पूर्व स्पष्ट किए संकेतों का प्रयोग करते हुए, आयतन का वह सूत्र सिद्ध कीजिए, जो अनुच्छेद 13.5 में दिया गया है।

हल: पिछले प्रश्न के समान आरेख पर विचार करें।

एक शंकु के छिन्नक को दो लम्ब वृत्तीय शंकु OAB और OCD के अंतर के रूप में देखा जा सकता है।
मान लें कि h₁ और l₁ शंकु OAB की ऊंचाई और तिरछी ऊंचाई हैं और h₂ और l₂ क्रमशः शंकु OCD की ऊंचाई और तिरछी ऊंचाई हैं।
APO और ΔDQO में
∠APO = DQO = 90° (चूंकि दोनों शंकु सम वृत्तीय शंकु हैं)
AOP = DOQ (उभयनिष्ठ)
इसलिए, APO DQO ( AA समानता की कसौटी)
AP/DQ = AO/DO = OP/ OQ (समान त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं)
r₁/r₂ = l₁/l₂ = h₁/h₂
⇒ r₁/r₂ = h₁/h₂ या ⇒ r₂/r₁ = h₂/h₁
दोनों पक्षों से 1 घटाना
r₁/r₂ – 1 = h₁/h₂ – 1
(r₁ – r₂)/r₂ = (h₁ – h₂)/h₂
(r₁ – r₂)/r₂ = h/h₂ ….(i) [आंकड़े से h₁ – h₂ = h]
h₂ = hr₂ /(r₁ – r₂) …… (i)
अब, r₂/r₁ = h₂/h₁ पर विचार करते
हुए दोनों पक्षों से 1 घटाने पर हमें
r₂/r₁ – 1 = h₂/h₁ – 1
(r₂ – r₁)/r₁ = (h₂ – h₁)/h₁
(r₁ – r₂)/r₁ प्राप्त होता है। = (h₁ – h₂)/h₁
(r₁ – r₂)/r₁ = h/h₁
h₁ = hr₁/(r₁ – r₂) …. (ii)
शंकु के छिन्नक का आयतन = शंकु OAB का आयतन – शंकु OCD का आयतन
= 1/3 r₁²h₁ – 1/3 r₂²h₂
= 1/3π [r₁²h₁ – r₂²h₂]
= 1/3π [r₁² × hr₁/(r₁ – r₂) – r₂² × hr₂(r₁ – r₂)] [(i) और ( का उपयोग करके) ii)]
= 1/3π [hr₁³/(r₁ – r₂) – घंटा/(r₁ – r₂)]
= 1/3πh [(r₁³ – r₂³)/(r₁ – r₂)]
= 1/3πh [(r₁ – r₂ )(r₁² + r₁r₂ + r₂²)/(r₁ – r₂)] [चूंकि, (a³ – b³) = (a – b)(a² + ab + b²)]
= 1/3πh (r₁² + r₂² + r₁r₂)
इसलिए सिद्ध , छिन्नक का आयतन = 1/3πh (r₁² + r₂² + r₁r₂)