NCERT Solutions Class 10th Math Chapter – 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन (Surface Areas and Volumes) प्रश्नावली 13.3

NCERT Solutions Class 10th Math Chapter – 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन (Surface Areas and Volumes) प्रश्नावली 13.3

NCERT Solutions Class 10th Math Chapter – 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन (Surface Areas and Volumes) प्रश्नावली 13.3

? Chapter – 13?

✍ पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन✍

? प्रश्नावली 13.3?

1. त्रिज्या 4.2 सेमी वाले धातु के एक गोले को पिघलाकर त्रिजया 6 सेमी वाले बेलन के रूप में ढाला जाता है। बेलन की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।

हल: यह दिया गया है कि गोले की त्रिज्या (R) = 4.2 cm
साथ ही, बेलन की त्रिज्या (r) = 6 cm
अब, बेलन की ऊँचाई = h
दिया गया है कि गोले को एक बेलन में पिघलाया जाता है।
तो, गोले का आयतन = सिलेंडर का आयतन
∴ (4/3)×π×R³ = π×r²×h
h = 2.74 cm

2. क्रमशः 6 सेमी, 8 सेमी और 10 सेमी त्रिज्याओं वाले धातु के तीन ठोस गोलों को पिघलाकर एक बड़ा ठोस गोला बनाया जाता है। इस गोले का त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

हल:
गोले 1 के लिए:
त्रिज्या (r₁) = 6 cm
आयतन (V₁) = (4/3)×π×r₁³
गोले 2 के लिए:
त्रिज्या (r₂) = 8 cm
∴ आयतन (V₂) = (4/3)×π×r₂³
गोले 3 के लिए:
त्रिज्या (r₃) = 10 cm
आयतन (V₃) = (4/3)× × r₃³
इसके अलावा, परिणामी की त्रिज्या मान लीजिए गोला “r” हो
अब,
परिणामी गोले का आयतन = V₁+V₂+V₃
(4/3)×π×r³ = (4/3)×π×r₁³+(4/3)×π × आर₂ ³  +(4/3)×π×r ₃ ³
r ³  = 6 ³ +8 ³ +10 ³
r ³  = 1728
r = 12 cm

3. व्यास 7m वाला 20 m गहरा एक कुआं खोदा जाता है और खोदने से निकली हुई मिट्टी को समान रूप से फैलाकर 22m×14m वाला एक चबूतरा बनाया गया है। इस चबूतरे की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।

समाधान:

यह दिया गया है कि कुएँ का आकार 7 मीटर व्यास वाले एक बेलन के आकार का है
, इसलिए त्रिज्या = 7/2 मीटर
साथ ही, गहराई (h) = 20 मीटर
खोदी गई मिट्टी का आयतन बराबर होगा
मान लीजिए प्लेटफॉर्म की ऊंचाई = h
कुएं से मिट्टी का आयतन (सिलेंडर) = ऐसे प्लेटफॉर्म को बनाने के लिए इस्तेमाल की गई मिट्टी का आयतन ×
r ² ×h = प्लेटफॉर्म का क्षेत्रफल × प्लेटफॉर्म की ऊंचाई
हम जानते हैं कि प्लेटफॉर्म = 22×14
तो, प्लेटफॉर्म का क्षेत्रफल = 22×14 m ²
×r ² × h = 22×14×h
⇒ h = 2.5 m

4. व्यास 3m का एक कुआं 14m की गहराई तक खोदा जाता है इससे निकली हुई मिट्टी को कुएं के चारो ओर 4m चौड़ी एक वृत्ताकार वलय बनाते हुए समान रूप से फैलाकर एक प्रकार का बांध बनाया जाता है। इस बांध की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।

हल : कुएँ का आकार नीचे दिए गए अनुसार बेलनाकार होगा।

दिया गया है, कुएँ की गहराई (h ₁ ) = 14 m कुएँ
के वृत्ताकार सिरे का व्यास =3 m
अतः त्रिज्या (r ₁ ) = 3/2 m
तटबंध की चौड़ाई = 4 m
आकृति से, यह कहा जा सकता है कि तटबंध एक सिलेंडर होगा जिसकी बाहरी त्रिज्या (r ₂ ) 4+(3/2) = 11/2 m और आंतरिक त्रिज्या (r ₁ ) 3/2m
है। अब, तटबंध की ऊंचाई h 2 होने
दें _। कुएं से खोदी गई मिट्टी का आयतन = तटबंध बनाने में प्रयुक्त मिट्टी का आयतन
×r ₁ ² ×h ₁  = π×(r ₂ ² -r ₁ ² ) × h ₂
इसे हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं,
तटबंध की ऊंचाई (एच ₂ ) 1.125 मीटर के रूप में।

5. व्यास 12cm और ऊँचाई 15 cm वाले एक लंब वृत्तीय बेलन के आकार का बर्तन आइसक्रीम
से पूरा भरा हुआ है। इस आइसक्रीम को ऊँचाई 12 cm और व्यास 6 cm वाले शंकुओं में भरा जाना
है, जिनका ऊपरी सिरा अर्धगोलाकार होगा। उन शंकुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जो इस
आइसक्रीम से भरे जा सकते हैं।

समाधान:

शंकु की संख्या होगी = बेलन का आयतन/आइसक्रीम कोन का आयतन
बेलन के भाग के लिए
त्रिज्या = 12/2 = 6 cm
ऊँचाई = 15 cm
बर्फ शंकु भाग के लिए ,
शंक्वाकार भाग की त्रिज्या = 6/2 = 3 cm
ऊँचाई = 12 cm
अर्धगोलाकार भाग की त्रिज्या = 6/2 = 3 cm
अब,
आइसक्रीम कोन का आयतन = शंक्वाकार भाग का आयतन + अर्धगोलाकार भाग का आयतन
∴ शंक्वाका का आयतन = πr ²h  = (⅓)×π ×r ² ×h+(⅔)×π×r ³
540π = 36π +18π
540π = 54π
शंकुओं की संख्या = (540π/54π)
= 10

6.  विमाओं 5.5 cm x 10 cm x 3.5 cm वाला एक घनाभ बनाने के लिए, 1.75cm व्यास और 2mm
मोटाई वाले कितने चाँदी के सिक्कों को पिघलाना पड़ेगा?

समाधान:

यह ज्ञात है कि सिक्के आकार में बेलनाकार होते हैं।
अत: बेलन की ऊँचाई (h ₁ ) = 2 मिमी = 0.2 cm
सिक्कों के वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या (r) = 1.75/2 = 0.875 cm
अब, आवश्यक घनाभ बनाने के लिए पिघलाए जाने वाले सिक्कों की संख्या “n” होगी
तो, n सिक्कों का आयतन = घनाभों का आयतन
n × × r ²  × h ₁  = l × b × h
n×π×(0.875) ² ×0.2 = 5.5×10×3.5
या, n = 400

7. 32 cm ऊँची और आधार त्रिज्या 18cm वाली एक बेलनाकार बाल्टी रेत से भरी हुई है। इस बाल्टी को भूमि पर खाली किया जाता है और इस रेत की एक शंक्वाकार ढेरी बनाई जाती है। यदि शंक्वाकार ढेरी की ऊँचाई 24cm है, तो इस ढेरी की त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।

हल: आरेख इस प्रकार होगा-

दिया गया है, बाल्टी के बेलनाकार भाग की
ऊँचाई (h ₁ ) = 32 cm बाल्टी के वृत्ताकार सिरे की
त्रिज्या (r ₁) = 18 cm शंक्वाकार ढेर की ऊँचाई ((h ₂ ) = 24 cm
अब, मान लीजिए “r ₂ ” शंक्वाकार ढेर के वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या हो।
हम जानते हैं कि बेलनाकार बाल्टी में रेत का आयतन शंक्वाकार ढेर में रेत के आयतन के बराबर होगा।
बेलनाकार बाल्टी में रेत का आयतन = शंक्वाकार में रेत का आयतन ढेर
π×r ₁ ² ×h ₁  = (⅓)×π×r ₂ ² ×h ₂
π×18 ² ×32 = (⅓)×π ×r ₂ ² ×24
या, r ₂ = 36 cm
तिरछी ऊँचाई (l) = (36 ² +24 ² ) = 12√13 cm

8. 6m चौड़ी और 1.5 m गहरी एक नहर में पानी 10 km/h की चाल से बह रहा है। 30 मिनट में,
यह नहर कितने क्षेत्रफल की सिंचाई कर पाएगी, जबकि सिंचाई के लिए 8 cm गहरे पानी की
आवश्यकता होती है।

हल: यह दिया गया है कि नहर एक घनाभ के आकार की है जिसके आयाम इस प्रकार हैं:
चौड़ाई (b) = 6 m और ऊँचाई (h) = 1.5 m
यह भी दिया गया है कि
नहर की गति = 10 किमी/घंटा
नहर की लंबाई 1 घंटे में कवर किया गया = 10 किमी
60 मिनट में कवर की गई नहर की
लंबाई = 10 किमी 1 मिनट में कवर की गई नहर की लंबाई = (1/60)x10 किमी
30 मिनट में कवर की गई नहर की लंबाई (एल) = (30/60)x10 = 5km = 5000 m
हम जानते हैं कि नहर आकार में घनाकार है। तो,
नहर का आयतन
= lxbxh = 5000x6x1.5 m³
= 45000 m³
अब,
नहर में पानी का आयतन = सिंचित क्षेत्र का आयतन
= सिंचित क्षेत्रफल x ऊँचाई
अतः, सिंचित क्षेत्रफल = 56.25 हेक्टेयर
नहर का आयतन = lxbxh
45000 = सिंचित क्षेत्रx 8 cm
45000 = सिंचित क्षेत्र x (8/100)m
या, सिंचित क्षेत्र = 562500 m ²  = 56.25 हेक्टेयर।

9. एक किसान अपने खेत में बनी 10m व्यास वाली और 2m गहरी एक बेलनाकार टंकी को आंतरिक व्यास 20 cm वाले एक पाइप द्वारा एक नहर से जोड़ता है। यदि पाइप में पानी 3 km/h की चाल से बह रहा है, तो कितने समय बाद टंकी पूरी भर जा

हल: निम्नलिखित आरेख पर विचार कीजिए-

यहाँ पर,
        दी गई बेलनाकार टंकी का व्यास   = 10 m
दी गई बेलनाकार टंकी की त्रिज्या (R) = 10/2 = 5m
दी गई बेलनाकार टंकी की गहराई  (H) = 2 m
दी गई बेलनाकार टंकी का आयतन  = πr²h 
                                      = π(5)²(2) m³
                                        = 50π m³
पाइप से निकलने वाले पानी की चाल  = 3 km/h
                                          = 3 x1000/60 m/min = 50 m/min
माना पाइप द्वारा बेलनाकार टंकी को भरने में लगा समय = t min
दिए गए पाइप का आंतरिक व्यास  = 20 cm = 20/100 cm = 1/5 m
दिए गए पाइप की आंतरिक त्रिज्या (r) = 1/10 m
अत: दिए गए पाइप से t min निकलने वाले पानी का आयतन  = π(1/10)² (50 t)m³
                                                                    = π t m³/2
प्रश्नानुसार,            = πt/2 = 50π         
                                  t = 50 x 2 = 100
अत: पाइप द्वारा बेलनाकार टंकी को भरने में लगा समय = 100 मिनट