NCERT Solutions Class 10th Math Chapter – 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन (Surface Areas and Volumes) प्रश्नावली 13.1

NCERT Solutions Class 10th Math Chapter – 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन (Surface Areas and Volumes) प्रश्नावली 13.1

NCERT Solutions Class 10th Math Chapter – 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन (Surface Areas and Volumes) प्रश्नावली 13.1

? Chapter – 13?

✍ पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन✍

? प्रश्नावली 13.1?

1. दो घनों जिनमें से प्रत्येक का आयतन 64cm³ है के संलग्न फलकों को मिलाकर एक ठोस बनाया जाता है। इससे प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल: आरेख इस प्रकार दिया गया है:

दिया गया है,
प्रत्येक घन का आयतन (V) = 64 cm ³
इसका तात्पर्य है कि a ³ = 64 cm ³
∴ a = 4 cm
अब, घन की भुजा = a = 4 cm
साथ ही, परिणामी की लंबाई और चौड़ाई घनाभ प्रत्येक 4 cm का होगा। जबकि इसकी ऊंचाई 8 cm होगी।
अतः, घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb+bh+lh)
= 2(8×4+4×4+4×8) cm ²
= 2(32+16+32) cm ²
= (2×80 ) cm² = 160 cm ²

2. कोई बर्तन एक खोखले अर्धगोले के आकार का है जिसके ऊपर एक खोखला बेलन अध्यारोपित है। अर्धगोले का व्यास 14 सेमी है और इस बर्तन की कुल ऊंचाई 13 सेमी है। इस बर्तन का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल: आरेख इस प्रकार है:

अब दिए गए पैरामीटर हैं:
अर्धगोले का व्यास = D = 14 cm
अर्धगोले की त्रिज्या = r = 7 cm
साथ ही, बेलन की ऊंचाई = h = (13-7) = 6 cm
और, की त्रिज्या खोखला गोलार्द्ध = 7 cm
अब, बर्तन का आंतरिक सतह क्षेत्र = बेलनाकार भाग का सीएसए + अर्धगोलाकार भाग का सीएसए
(2πrh+2πr ² ) cm ² = 2πr(h+r) cm ²
2×(22/7) ×7(6+7) cm ² = 572 cm ²

3. एक खिलौना त्रिजया 3.5 सेमी वाले एक शंकु के आकार का है तो उसी त्रिजया वाले एक अर्धगोले पर अध्यारोपित है। इस खिलौने की संपूर्ण ऊंचाई 15.5 सेमी है। इस खिलौने का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल: आरेख इस प्रकार है:

दिया गया है कि शंकु और अर्धगोले की त्रिज्या (r) = 3.5 cm या 7/2 cm
खिलौने की कुल ऊंचाई 15.5 cm दी गई है।
अतः शंकु की ऊँचाई (h) = 15.5-3.5 = 12 cm

∴ शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
(22/7)×(7/2)×(25/2) = 275/2 cm ²
साथ ही, अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr ²
2×(22/7 )×(7/2)2
= 77 cm ²
अब, खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = शंकु का सीएसए + अर्धगोले का सीएसए
= (275/2)+77 cm ²
= (275+154)/2 cm ²
= 429/2 cm ² = 214.5cm ²
अतः, खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) 214.5cm ^{2 है।}

4. भुजा 7 सेमी वाल एक घनाकार ब्लॉक के ऊपर एक अर्धगोला रखा हुआ है। अर्धगोले का अधिकतम व्यास क्या हो सकता है? इस प्रकार बने ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल: दिया गया है कि घन की प्रत्येक भुजा 7 cm. अत: त्रिज्या 7/2 cm होगी।

हम जानते हैं,
ठोस (TSA) का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = क्यूबिकल ब्लॉक का पृष्ठीय क्षेत्रफल + गोलार्ध का CSA – गोलार्ध के आधार का क्षेत्रफल
∴ ठोस का TSA = 6×(पक्ष)2+ 2 πr 2 – ^{r 2}
= 6×(भुजा ) ) ² +πr ²
= 6×(7) ² +(22/7)×(7/2)×(7/2)
= (6×49)+(77/2)
= 294+38.5 = 332.5 cm²
अत: ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल 332.5 cm ^{2 . है}

5. एक घनाकार बलॉक के एक फलक को अंदर की ओर से काट कर एक अर्धगोलाकार गड्ढा इस प्रकार बनाया गया है कि अर्धगोले का व्यास घन के एक किनारे के बराबर है। शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल: आरेख इस प्रकार है:

अब, अर्धगोले का व्यास = घन का किनारा = l
अतः, अर्धगोले की त्रिज्या = l/2
∴ ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्धगोले का CSA – अर्धगोले के आधार का क्षेत्रफल
शेष ठोस का TSA = 6 (किनारे)²+ 2πr ² – πr ²
= 6l ²  + πr ²
= 6l ² +π(l/2) ²
= 6l ² +πl ² /4
= l ² /4(24+π) वर्ग इकाइयां

6. दवा का एक कैप्सूल एक बेलन के आकार का है जिसके दोनों सिरों पर एक-एक अर्धगोला लगा हुआ है। पूरे कैप्सूल की लंबाई 14 मिमी है और उसका व्यास 5 मिमी है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल: दो अर्धगोले और एक बेलन को नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

यहाँ, कैप्सूल का व्यास = 5 mm
∴ त्रिज्या = 5/2 = 2.5 mm
अब, कैप्सूल की लंबाई = 14 mm
तो, सिलेंडर की लंबाई = 14- (2.5 + 2.5) = 9 mm
∴ सतह एक अर्धगोले का क्षेत्रफल = 2πr ²  = 2×(22/7)×2.5×2.5
= 275/7 mm ²
अब, बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= 2×(22/7)×2.5×9
(22/ 7)×45 = 990/7 mm²
इस प्रकार, दवा कैप्सूल का आवश्यक सतह क्षेत्र होगा
= 2×गोलार्द्ध का सतह क्षेत्र + सिलेंडर का सतह क्षेत्र
= (2×275/7) × 990/7
= (550/ 7) + (990/7) = 1540/7 = 220 mm ²

7. कोई तंबू एक बेलन के आकार का है जिस पर एक शंकु अध्यारोपित है । यदि बेलनाकार भाग की ऊंचाई और व्यास क्रमशः 2.1 मी और 4 मी है तथा शंकु की तिर्यक ऊंचाई 2.8 मी है तो इस तंबू को बनाने में प्रयुक्त कैनवस का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। साथ ही रू0 500 प्रति m² की दर से इसमें प्रयुक्त कैनवस की लागत ज्ञात कीजिए। ध्यान दीजिए कि तंबू के आधार को कैनवस से नहीं ढका जाता है।

हल: यह ज्ञात है कि टेंट बेलन और शंकु का संयोजन है।

प्रश्न से हम जानते हैं कि
व्यास = 4 मीटर
शंकु की तिरछी ऊंचाई (एल) = 2.8 m
शंकु की त्रिज्या (आर) = सिलेंडर की त्रिज्या = 4/2 = 2 m
बेलन की ऊंचाई (एच) = 2.1 m
तो , तम्बू का आवश्यक पृष्ठीय क्षेत्रफल = शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल + बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= πrl+2πrh
= r(l+2h)
= (22/7)×2(2.8+2×2.1)
= (44/7)( 2.8+4.2)
= (44/7)×7 = 44 m² 500 रुपये प्रति m²
की दर से टेंट के कैनवास की कीमत होगी
= सतही क्षेत्रफल × लागत प्रति m ²
44×500 = ₹22000
तो, रु. 22000 कैनवास की कुल लागत होगी।

8. ऊंचाई 2.4 सेमी और व्यास 1.4 सेमी वाले एक ठोस बेलन में से इसी ऊंचाई और इसी व्यास वाला एक शंक्वाकार खोल काट लिया जाता है। शेष बचे ठोस का निकटतम वर्ग सेंटीमीटर तक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल: प्रश्न का आरेख इस प्रकार है:

प्रश्न से हम निम्नलिखित जानते हैं:
बेलन का व्यास = शंक्वाकार गुहा का व्यास = 1.4 cm
तो, बेलन की त्रिज्या = शंक्वाकार गुहा की त्रिज्या = 1.4/2 = 0.7
साथ ही, बेलन की ऊंचाई = की ऊंचाई शंक्वाकार गुहा = 2.4 cm

अब, शेष ठोस का टीएसए = शंक्वाकार गुहा का सतह क्षेत्र + सिलेंडर का टीएसए
= rl+(2πrh+πr ² )
= πr(l+2h+r)
= (22/7)× 0.7(2.5+4.8+0.7)
= 2.2×8 = 17.6 cm ²
अतः, शेष ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 17.6 cm ^{2 .} है

प्रश्न 9. लकड़ी के एक ठोस बेलन के प्रत्येक सिरे पर एक अर्धगोला खोदकर निकालते हुए एक वस्तु बनाई गई है जैसाकि आकृति में दर्शाया गया है। यदि बेलन की ऊंचाई 10 सेमी है और आधार की त्रिज्या 3.5 सेमी है तो इस वस्तु का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल: बेलन की ऊँचाई = h = 10 cm

बेलन की त्रिज्या = अर्धगोले की त्रिज्या = r = 3.5 cm

वस्तु का TSA = 2 × गोलार्द्ध भाग का CSA + बेलनाकार भाग का CSA

= 2 × 2πr ²  + 2πrh

= 2πr (2r + h)

= 2 × 22/7 × 3.5 cm × (2 × 3.5 cm + 10 cm)

= 22 cm × 17 cm

= 374 cm ²

इस प्रकार, वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 374 cm ² है ।