NCERT Solution Class 10th Chapter 12 – वृतों से सम्बंधित क्षेत्रफल (Areas Related to Circles) प्रश्नावली 12.2

NCERT Solution Class 10th Chapter 12 – वृतों से सम्बंधित क्षेत्रफल (Areas Related to Circles) प्रश्नावली 12.2

NCERT Solution Class 10th Math Chapter 12 – वृतों से सम्बंधित क्षेत्रफल (Areas Related to Circles) प्रश्नावली 12.2

? Chapter – 12?

✍वृतों से सम्बंधित क्षेत्रफल✍

? प्रश्नावली 12.2?

1. 6 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका कोण 60^∘ है।

हल: यह दिया गया है कि त्रिज्यखंड का कोण 60° है
हम जानते हैं कि त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360°)×πr²
60° कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (60°/360°)×πr² cm²
= (36/6)π cm²
= 6×22/7 सेमी²= 132/7 cm²

2. एक वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी परिधि 22 cm है।

हल: वृत्त की परिधि, C = 22 cm (दिया गया है)
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि एक वृत्त का चतुर्थांश एक त्रिज्यखंड है जो 90° का कोण बना रहा है।
माना वृत्त की त्रिज्या = r
क्योंकि C = 2πr = 22,
R = 22/2π cm = 7/2 cm
चतुर्भुज का क्षेत्रफल = (θ/360°) × πr²
यहाँ, = 90°
तो, A = (90°/360°) × r² cm ²
= (49/16) π cm²
= 77/8 cm²= 9.6 cm²

3. एक घड़ी की मिनट की सुई जिसकी लंबाई 14 cm है । इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल: मिनट की सुई की लंबाई = घड़ी की त्रिज्या (वृत्त)
∴ वृत्त की त्रिज्या (r) = 14 cm (दिया गया)
द्वारा 60 मिनट में घुमाया गया कोण = 360°
अतः, मिनट की सुई द्वारा 5 में घुमाया गया कोण मिनट = 360° × 5/60 = 30°
हम जानते हैं,
एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360°) × πr²
अब, 30° का कोण बनाने वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (30°/360°) × r² cm²
= (1/12) × π14²
= (49/3)×(22/7) cm²
= 154/3 ​​cm²

4. 10 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर एक समकोण अंतरित करती है निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

(i) लघु खंड

(ii) प्रमुख क्षेत्र। (π = 3.14 का प्रयोग करें)

हल:

यहाँ AB वह जीवा है जो केंद्र O पर 90° का कोण बनाती है।
यह दिया गया है कि वृत्त की त्रिज्या (r) = 10 cm
(i) लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (90/360°)×πr ²
= (¼)×(22/7)×10 ²
या, लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = 78.5 cm ²
साथ ही, ΔAOB का क्षेत्रफल = ½×OB×OA
यहाँ, OB और OA वृत्त की त्रिज्याएँ हैं अर्थात = 10 cm
तो, AOB का क्षेत्रफल = ½×10×10
= 50 cm ²
अब, लघु खंड का क्षेत्रफल = लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल – AOB का क्षेत्रफल
= 78.5 – 50
= 28.5 cm ²

(ii) बड़े त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
= (3.14×10 ² ) -78.5
= 235.5 cm ²

5. त्रिज्या 21 m वाले वृत्त का एक चाप केंद्र पर 60^∘ का कोण अंतरित करता है। ज्ञात कीजिएः

(i) चाप की लंबाई

(ii) चाप . द्वारा निर्मित त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

(iii) संगत जीवा से बने खंड का क्षेत्रफल

हल:

दिया गया है,
त्रिज्या = 21 cm
θ = 60°
(i) चाप की लंबाई = θ/360°×परिधि (2πr)
∴ चाप की लंबाई AB = (60°/360°)×2×(22/7)× 21
= (1/6)×2×(22/7)×21
या चाप AB लंबाई = 22 cm

(ii) यह दिया गया है कि चाप द्वारा अंतरित कोण = 60°
तो, 60° का कोण बनाने वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (60°/360°)×π r ² cm ²
= 441/6×22/7 cm²
या, चाप एपीबी द्वारा गठित त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 231 cm ^{2 . है}

(iii) खंड APB का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड OAPB का क्षेत्रफल – OAB का क्षेत्रफल
चूँकि त्रिभुज की दोनों भुजाएँ वृत्त की त्रिज्याएँ हैं और इस प्रकार बराबर हैं, और एक कोण 60° है, OAB एक समबाहु त्रिभुज है। तो, इसका क्षेत्रफल √3/4×a ² वर्ग इकाई होगा।
खंड APB का क्षेत्रफल = 231-(√3/4)×(OA) ²
= 231-(√3/4)×21 ²
या, खंड APB का क्षेत्रफल = [231-(441×√3)/4] cm ²

6. 15 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर 60^∘ का कोण अंतरित करती है। संगत लघु और दीर्घ वृत्तखंडों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 और √3 = 1.73 का प्रयोग कीजिए)

हल:

दिया गया है,
त्रिज्या = 15 cm
= 60°
तो,
त्रिज्यखंड OAPB का क्षेत्रफल = (60°/360°)×πr ²  cm ²
= 225/6 πcm ²
अब, AOB समबाहु है क्योंकि वृत्त की दो भुजाएँ हैं और अत: बराबर है और एक कोण 60° है
तो, AOB का क्षेत्रफल = (√3/4) ×a ²
या, (√3/4) ×15 ²
AOB का क्षेत्रफल = 97.31 cm ²
अब, लघु खंड APB का क्षेत्रफल = OAPB का क्षेत्रफल – AOB का क्षेत्रफल
या, लघु खंड APB का क्षेत्रफल = ((225/6)π – 97.31 cm ² = 20.43 cm ²
और,
बड़े खंड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – खंड APB
का क्षेत्रफल या, का क्षेत्रफल प्रमुख खंड = (π×15 ²) – 20.4 = 686.06 cm²

7. त्रिज्या 12 सेमी वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर 120^∘ का कोण अंतरित करती है। संगत वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल: त्रिज्या, r = 12 cm
अब जीवा AB पर एक लम्ब OD खींचिए और यह जीवा AB को समद्विभाजित करेगी।
अत: AD = DB

अब लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360°)×πr ²
= (120/360)×(22/7)×122
= 150.72 cm ²
AOB पर विचार करें,
∠ OAB = 180°-(90°+ 60°) = 30°
अब, cos 30° = AD/OA
√3/2 = AD/12
या, AD = 6√3 cm
हम जानते हैं कि OD AB को समद्विभाजित करता है। तो,
AB = 2×AD = 12√3 cm
अब, sin 30° = OD/OA
या, ½ = OD/12
OD = 6 cm
तो, AOB का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई
यहाँ, आधार = AB = 12√3 और
ऊँचाई = OD = 6
अतः, AOB का क्षेत्रफल = ½×12√3×6 = 36√3 cm = 62.28 cm ²
संबंधित लघु खंड का क्षेत्रफल = लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल – ΔAOB का क्षेत्रफल
= 150.72 cm ² – 62.28 cm ² = 88.44 cm²

8. 15 सेमी भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर लगे खूंटे से एक घोड़े को 5 m लंबी रस्सी से बांध दिया गया है। ज्ञात कीजिए।

(i) मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जिसमें घोड़ा चर सकता है।

(ii) चराई क्षेत्र में वृद्धि यदि रस्सी 5 मीटर के बजाय 10 मीटर लंबी हो। (π = 3.14 का प्रयोग करें)

हल: चूँकि घोड़ा एक वर्गाकार मैदान के एक छोर पर बंधा होता है, वह 5 m त्रिज्या वाले खेत के केवल एक चौथाई भाग (अर्थात् = 90° वाला त्रिज्यखंड) चरेगा।
यहाँ रस्सी की लंबाई वृत्त की त्रिज्या होगी अर्थात r = 5 m
यह भी ज्ञात है कि वर्गाकार खेत की भुजा = 15 m

(i) वृत्त का क्षेत्रफल = r ² = 22/7 × 52 = 78.5 m ²
अब, मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोड़ा चर सकता है = (वृत्त का क्षेत्रफल) = 78.5/4 = 19.625 m ²

(ii) यदि रस्सी को 10 m तक बढ़ा दिया जाए, तो
वृत्त का क्षेत्रफल होगा = r ² = 22/7×102 = 314 m ²
अब, मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोड़ा चर सकता है = (क्षेत्रफल वृत्त का)
= 314/4 = 78.5 m ²
चराई क्षेत्र में वृद्धि = 78.5 m ² – 19.625 m ² = 58.875 m ²

9. एक वृत्ताकार ब्रूच को चांदी के तार से बनाया जाता है जिसका व्यास 35 mm है। तार को वृत्त के 5 व्यासों को बनाने में भी प्रयुक्त किया गया है जो उसे 10 बराबर त्रिज्यखंडों मे विभाजित करता है जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। तो ज्ञात कीजिए

(i) आवश्यक चांदी के तार की कुल लंबाई।

(ii) ब्रोच के प्रत्येक सेक्टर का क्षेत्रफल।

हल: व्यास (D) = 35 mm
व्यास की कुल संख्या पर विचार किया जाना है = 5
अब, 5 व्यास की कुल लंबाई की आवश्यकता होगी = 35 × 5 = 175
सर्कल की परिधि = 2πr
या, C = πD = 22/ 7×35 = 110
वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
या, A = (22/7)×(35/2)²= 1925/2 mm²

(i) आवश्यक चांदी के तार की कुल लंबाई = वृत्त की परिधि + 5 व्यास की लंबाई
= 110+175 = 285 mm

(ii) ब्रोच में सेक्टरों की कुल संख्या = 10
इसलिए, प्रत्येक सेक्टर का क्षेत्रफल = सर्कल का कुल क्षेत्रफल/सेक्टरों की संख्या
∴ प्रत्येक सेक्टर का क्षेत्रफल = (1925/2)×1/10 = 385/4 mm ²

10. एक छतरी में आठ ताने है जो बराबर दूरी पर लगे हुए हैं । छतरी को 45 सेमी त्रिज्या वाला एक सपाट वृत्त मानते हुए इसकी दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल: छतरी की त्रिज्या (r) समतल होने पर = 45 cm
अतः, वृत्त का क्षेत्रफल (A) = πr²= (22/7)×(45)²=6364.29 cm²
पसलियों की कुल संख्या (n) = 8
छतरी की दो क्रमागत पसली के बीच का क्षेत्रफल = A/n
6364.29/8 cm²
या, छतरी की दो क्रमागत पसली के बीच का क्षेत्रफल = 795.5 cm²

11. किसी कार के दो वाइपर हैं परस्पर कभी आच्छादित नहीं होते हैं प्रत्येक वाइपर की पत्ती की लंबाई 25 सेमी है और 115^∘ के कोण तक घूम कर सफाई कर सकता है। पत्‍तियों की प्रत्येक के साथ जितना क्षेत्रफल साफ हो जाता है वह ज्ञात कीजिए।

हल: दिया गया है,
त्रिज्या (r) = 25 cm
सेक्टर कोण (θ) = 115°
चूँकि 2 ब्लेड हैं,
वाइपर द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का कुल क्षेत्रफल = 2×(θ/360°)×π r²
= 2× (115/360)×(22/7)×25²
= 2×158125/252 cm²
= 158125/126 = 1254.96 cm²

12. जहाजों को समुद्र में जलस्तर के नीचे स्थित चट्टानों की चेतावनी देने के लिए एक लाइट हाउस 80^∘ कोण वाले एक त्रिज्यखंड में 16.5 किमी की दूरी तक लाल रंग का प्रकाश फैलाता है। समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसमें जहाजों को चेतावनी दी जा सके।

(π = 3.14 का प्रयोग करें)

हल: मान लीजिए कि O को लाइटहाउस की स्थिति पर दांव लगाना है।

यहां त्रिज्या वह दूरी होगी जिस पर प्रकाश फैलता है।
दिया गया है, त्रिज्या (r) = 16.5 किमी
सेक्टर कोण (θ) = 80°
अब, समुद्र का कुल क्षेत्रफल जिस पर जहाजों को चेतावनी दी जाती है = सेक्टर द्वारा बनाया गया
क्षेत्रफल या, सेक्टर का क्षेत्रफल = (θ/360°)× r ²
= (80°/360°)×πr 2 ^किमी 2 ⁼
189.97 किमी ²

13. एक गोल मेजपोश पर 6 समान डिजाइन बने हुए है जैसे की आकृति में दर्शाया गया है यदि मेजपोश की त्रिज्या 28 सेमी है, तो Rs.0.35 प्रति वर्ग सेंटीमीटर की दर से इन डिजाइनों को बनाने की लागत ज्ञात कीजिए।

हल:

समान डिज़ाइनों की कुल संख्या = 6
AOB = 360°/6 = 60°
कवर की त्रिज्या = 28 cm
डिज़ाइन बनाने की लागत = ₹ 0.35 प्रति cm ²
चूँकि त्रिभुज की दोनों भुजाएँ वृत्त की त्रिज्याएँ हैं और इस प्रकार समान हैं , और एक कोण 60° है, AOB एक समबाहु त्रिभुज है। तो, इसका क्षेत्रफल (√3/4)×a ² वर्ग इकाई होगा।
यहाँ, a = OA
∴ समबाहु AOB का क्षेत्रफल = (√3/4)×28 ² = 333.2 cm ²
त्रिज्यखंड ACB का क्षेत्रफल = (60°) /360°)×πr ² सेमी ²
= 410.66 सेमी ²
अतः, एक डिजाइन का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड ACB का क्षेत्रफल – ΔAOB का क्षेत्रफल
= 410.66 cm ² – 333.2 cm ² = 77.46 cm ²
6 डिज़ाइनों का क्षेत्रफल = 6×77.46 cm ² = 464.76 cm ²
अतः, डिज़ाइन बनाने की कुल लागत = 464.76 cm ² × रु.0.35 प्रति cm ²
= रु. 162.66

14. निम्नलिखित में सही समाधान का चयन करें:

त्रिज्या RR वाले वृत्त के उस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल जिसका कोण p^∘ है निम्नलिखित है

(a) P/180 × 2πR

(b) P / 180 × R ²

(c) P /360 × 2πR

(d) P /720 × 2πR ²

हल: एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360°)×πr²
दिया गया है, θ = p
तो, त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = p/360×πR²
एक साथ 2 से गुणा और भाग करना,
= (p/360)×2/ 2×πR²
= (2p/720)×2πR²
अतः, विकल्प (D) सही है।