NCERT Solutions Class 10th Math Chapter – 11 रचनाएँ (Constructions) प्रश्नावली 11.1

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 11 रचनाएँ (Constructions) प्रश्नावली 11.2

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 11 रचनाएँ (Constructions) प्रश्नावली 11.2

? Chapter – 11?

✍ रचनाएँ ✍

? प्रश्नावली 11.2?

निम्नलिखित में से प्रत्येक में, निर्माण का औचित्य भी दीजिए:

1. 6cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। केंद्र से 10 cm दूस स्थित एक बिंदु से वृत्त पर स्पर्श रेखा युग्म की रचना कीजिए और उनकी लंबाइयां मापिए।

हल: निर्माण प्रक्रिया:
दिए गए वृत्त पर स्पर्श रेखाओं का एक युग्म बनाने की रचना इस प्रकार है।
1. त्रिज्या = 6 cm के साथ केंद्र 0 के साथ एक सर्कल बनाएं।
2. एक बिंदु P खोजें, जो O से 10 cm दूर है।
3. रेखा के माध्यम से बिंदु ओ और P को
मिलाएं 4. रेखा OP का लंबवत समद्विभाजक बनाएं .
5. मान लीजिए M रेखा PO का मध्य-बिंदु है।
6. M को केंद्र मानकर MO
7 की लंबाई मापें। MO की लंबाई को त्रिज्या के रूप में लिया जाता है और एक वृत्त खींचा जाता है।
8. MO की त्रिज्या से खींचा गया वृत्त पिछले वृत्त को बिंदु Q और R पर प्रतिच्छेद करता है।
9. PQ और PR को मिलाइए।
10. इसलिए, PQ और PR अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

औचित्य:
दी गई समस्या की रचना को यह सिद्ध करके उचित ठहराया जा सकता है कि PQ और PR, O केंद्र वाले त्रिज्या 6cm के वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।
इसे सिद्ध करने के लिए, OQ को मिलाएँ और OR को डॉटेड लाइनों में दर्शाया गया है।
रचना से,
∠PQO अर्धवृत्त में एक कोण है।
हम जानते हैं कि अर्ध-वृत्त में कोण एक समकोण होता है, इसलिए यह बन जाता है,
PQO = 90°
ऐसा कि
OQ PQ
चूँकि OQ वृत्त की त्रिज्या है जिसकी त्रिज्या 6 cm है, इसलिए PQ एक स्पर्शरेखा होना चाहिए सर्कल का। इसी प्रकार, हम सिद्ध कर सकते हैं कि PR वृत्त की एक स्पर्श रेखा है।
इसलिए जायज है।

2. 4cm त्रिज्या के एक वृत्त पर 6cm त्रिज्या के एक सकेंद्रीय वृत्त के किसी बिंदु से एक स्पर्श रेखा की रचना कीजिए और उसकी लंबाई मापिए। परिकलन से इस माप की जांच भी कीजिए।

हल: निर्माण प्रक्रिया:दिए गए वृत्त की स्पर्श रेखा इस प्रकार खींची जा सकती है।
1. केंद्र “O” के साथ 4 cm त्रिज्या का एक वृत्त बनाएं।
2. पुनः 0 को केंद्र मानकर 6 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
3. इस वृत्त पर एक बिंदु P ज्ञात कीजिए
। 4 बिंदुओं O और P को रेखाओं से इस प्रकार मिलाइए कि यह OP हो जाए।
5. रेखा OP पर लम्ब समद्विभाजक खींचिए।
मान लीजिए कि M, PO का मध्य-बिंदु है।
7. एक वृत्त खींचिए जिसका केंद्र M है और MO इसकी त्रिज्या है
। 8. त्रिज्या OM वाला वृत्त, दिए गए वृत्त को Q और R पर प्रतिच्छेद करता है।
9. PQ और PR को मिलाइए।
10. PQ और PR अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
निर्माण से, यह देखा गया है कि PQ और PR प्रत्येक की लंबाई 4.47 cm है।

PQO में,
चूंकि PQ एक स्पर्श रेखा है, इसलिए
PQO = 90° , इसे हस्तचालित रूप से इस प्रकार परिकलित किया जा सकता है । PO = 6 cm और QO = 4 cm
PQO में पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर, हम PQ2+QO2 = PQ2
PQ ² +(4)2 = (6)2
PQ ² +16 =36
PQ ² = 36−16
PQ ² = 20 प्राप्त करते हैं।
PQ = 2√5
PQ = 4.47 cm
इसलिए, स्पर्शरेखा की लंबाई PQ = 4.47

औचित्य:
दी गई समस्या की रचना को यह सिद्ध करके न्यायोचित ठहराया जा सकता है कि PQ और PR, O केंद्र वाले 4 cm त्रिज्या वाले वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।
इसे सिद्ध करने के लिए, OQ को मिलाएँ और OR को बिंदीदार रेखाओं में निरूपित करें।
रचना से,
∠PQO अर्धवृत्त में एक कोण है।
हम जानते हैं कि अर्धवृत्त में कोण एक समकोण होता है, इसलिए यह बन जाता है,
PQO = 90°
ऐसा है कि
OQ PQ
चूँकि OQ वृत्त की त्रिज्या है जिसकी त्रिज्या 4 cm है, PQ एक स्पर्शरेखा होना चाहिए सर्कल का। इसी प्रकार, हम सिद्ध कर सकते हैं कि PR वृत्त की एक स्पर्श रेखा है।
इसलिए जायज है।

3. 3cm त्रिजया का एक वृत्त खींचिए । इसके किसी बढ़ाए गए व्यास पर केंद्र से 7 cm की दूरी पर स्थिसत दो बिंदु P और Q लीजिए। इन दोनों बिंदुओं से वृत्त पर स्पर्श रेखाएं खींचिए।

हल: निर्माण प्रक्रिया:
दिए गए वृत्त की स्पर्श रेखा इस प्रकार बनाई जा सकती है।
1. केंद्र “O” के साथ 3cm त्रिज्या वाला एक वृत्त खींचिए।
2. एक वृत्त का व्यास खींचिए जो केंद्र से 7 cm तक फैला है और इसे P और Q के रूप में चिह्नित करता है।
3. रेखा PO का लंबवत समद्विभाजक बनाएं और मध्य बिंदु को
4. M को केंद्र के रूप में रखते हुए एक वृत्त बनाएं और MO को त्रिज्या
5 के रूप में लें। अब PA और PB को मिलाएँ जिसमें MO त्रिज्या वाला वृत्त 3cm वृत्त के वृत्त को प्रतिच्छेद करता है।
6. अब PA और PB अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
7. इसी प्रकार, बिंदु Q से हम स्पर्श रेखाएँ खींच सकते हैं।
8. उसमें से, QC और QD अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

हल: औचित्य:
दी गई समस्या की रचना को यह सिद्ध करके न्यायोचित ठहराया जा सकता है कि PQ और PR, O केंद्र वाले त्रिज्या 3 cm वाले वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।
इसे सिद्ध करने के लिए OA और OB को मिलाएँ।
रचना से,
PAO अर्धवृत्त में एक कोण है।
हम जानते हैं कि अर्धवृत्त में कोण समकोण होता है, इसलिए यह बन जाता है,
PAO = 90°
ऐसा कि
OA ⊥ PA
चूँकि OA वृत्त की त्रिज्या है जिसकी त्रिज्या 3 cm है, PA एक स्पर्शरेखा होना चाहिए सर्कल का। इसी प्रकार, हम सिद्ध कर सकते हैं कि PB, QC और QD वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।
इसलिए, न्यायोचित

4. 5 cm त्रिज्या के एक वृत्त पर ऐसी दो स्पर्श रेखाएं खींचिए, जो परस्पर 60^∘ के कोण पर झुकी हों।

हल: निर्माण प्रक्रिया:
स्पर्शरेखाओं का निर्माण निम्नलिखित तरीके से किया जा सकता है:
1. त्रिज्या 5 cm और केंद्र के साथ ओ के रूप में एक सर्कल बनाएं।
2. सर्कल की परिधि पर एक बिंदु क्यू लें और OQ में शामिल हों।
3. बिंदु Q पर QP पर एक लंब खींचिए।
4. OQ के साथ 120° यानी (180°-60°) का कोण बनाते हुए OR त्रिज्या खींचिए।
5. RP पर बिंदु R पर एक लंब खींचिए।
6. अब दोनों लंब बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं।
7. इसलिए, PQ और PR 60° के कोण पर अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

औचित्य
निर्माण को QPR = 60° सिद्ध करके न्यायोचित ठहराया जा सकता है,
हमारी रचना
∠OQP = 90°
∠ORP = 90°
और ∠QOR = 120°
हम जानते हैं कि चतुर्भुज के सभी आंतरिक कोणों का योग = 360°
∠OQP+ QOR + ∠ORP +∠QPR = 360o
90°+120°+90°+∠QPR = 360°
इसलिए, QPR = 60°
इसलिए उचित है

5. 8 cm लंबा एक रेखाखंड AB खींचिए। A को केंद्र मान कर 4cm त्रिज्या का एक वृत्त तथा B को केंद्र लेकर 3cm त्रिज्या का एक अन्य वृत्त खींचिए। प्रत्येक वृत्त पर दूसरे वृत्त के केंद्र से स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।

हल: निर्माण प्रक्रिया:
दिए गए वृत्त की स्पर्श रेखा इस प्रकार बनाई जा सकती है।
1. एक रेखाखंड AB = 8 cm खींचिए।
2. A को एक केंद्र के रूप में लें और 4 cm त्रिज्या का
B को केंद्र के रूप में लें, त्रिज्या 3 cm का एक वृत्त
बनाएं। 4. रेखा AB का लंबवत समद्विभाजक बनाएं और मध्य बिंदु M के रूप में लिया जाता है।
5. अब, M को केंद्र के रूप में लें और MA या MB की त्रिज्या वाला एक वृत्त बनाएं जो वृत्त को बिंदुओं P, Q, R और S पर काटता है।
6. अब AR, AS, BP और BQ को मिलाएँ
। 7 इसलिए, आवश्यक स्पर्शरेखाएँ AR, AS, BP और BQ हैं

औचित्य:
निर्माण को सिद्ध करके उचित ठहराया जा सकता है कि AS और AR वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं (जिसका केंद्र B है जिसकी त्रिज्या 3 cm है) और BP और BQ वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं (जिसका केंद्र A है और त्रिज्या 4 है) cm)।
निर्माण से, इसे साबित करने के लिए, AP, AQ, BS और BR को मिलाएँ।
ASB अर्धवृत्त में एक कोण है। हम जानते हैं कि अर्धवृत्त का कोण समकोण होता है।
ASB = 90°
BS AS
चूँकि BS वृत्त की त्रिज्या है, AS अवश्य ही वृत्त की स्पर्श रेखा होगी।
इसी प्रकार, AR, BP और BQ दिए गए वृत्त की अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

6. माना ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें  AB = 6 cm, BC = 8 cm और ∠ B = 90° है। है। B से AC पर BD लंब है। बिंदुओं B,C,D से होकर जाने वाला वृत्त खींचा गया है। A से इस वृत्त पर स्पर्श रेखा की रचना कीजिए।

हल: निर्माण प्रक्रिया:
दिए गए वृत्त की स्पर्श
रेखा इस प्रकार बनाई जा सकती है 1. आधार BC = 8cm वाला रेखाखंड खींचिए
2. बिंदु B पर कोण 90° इस प्रकार मापिए कि ∠ B = 90° हो।
3. B को एक केंद्र मानकर एक चाप खींचिए जिसका माप 6cm है।
4. मान लीजिए बिंदु A है जहां चाप किरण को काटता है।
5. लाइन AC को मिलाइए।
6. अत: ABC अभीष्ट त्रिभुज है।
7. अब, रेखा BC पर लम्ब समद्विभाजक खींचिए और मध्यबिंदु E अंकित है।
8. E को केंद्र मानिए और BE या EC को त्रिज्या मान कर एक वृत्त खींचिए।
9. वृत्त के मध्य बिंदु E से A को मिलाइए
। 10. अब, रेखा AE पर फिर से लंब समद्विभाजक खींचिए और मध्य बिंदु को M मान लिया जाता है।
11. M को केंद्र मानकर AM या ME को त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचिए।
12. यह वृत्त पिछले वृत्त को बिंदुओं B और Q
13 पर काटता है। बिंदुओं A और Q
14 को मिलाइए। इसलिए, AB और AQ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

औचित्य:
AG और AB को वृत्त की स्पर्श रेखाएँ सिद्ध करके रचना को न्यायोचित ठहराया जा सकता है।
निर्माण से, EQ में शामिल हों।
AQE अर्धवृत्त में एक कोण है। हम जानते हैं कि अर्धवृत्त का कोण समकोण होता है।
AQE = 90°
EQ⊥ AQ
चूँकि EQ वृत्त की त्रिज्या है, AQ को वृत्त की स्पर्श रेखा होना चाहिए। इसी प्रकार, B = 90°
AB ⊥ BE
चूँकि BE वृत्त की त्रिज्या है, AB को वृत्त की स्पर्श रेखा होना चाहिए।
इसलिए जायज है।

7. किसी चूड़ी की सहायता से एक वृत्त खींचिए। वृत्त के बाहर एक बिंदु लीजिए। इस बिंदु से वृत्त पर स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।

हल: निर्माण प्रक्रिया: दिए गए वृत्त पर आवश्यक स्पर्श रेखाएँ निम्नानुसार बनाई जा सकती हैं।
1. चूड़ी की सहायता से एक वृत्त खींचिए।
2. AB और CD जैसी दो गैर-समानांतर जीवाएँ खींचिए।
3. AB और CD का लम्ब समद्विभाजक खींचिए।
4. केंद्र को O मानिए जहाँ पर लंब समद्विभाजक प्रतिच्छेद करता है।
5. स्पर्श रेखाएँ खींचने के लिए वृत्त के बाहर एक बिंदु P लीजिए।
6. बिंदुओं O और P
7. अब रेखा PO का लंब समद्विभाजक खींचिए और मध्य बिंदु M
8 लिया। M को केंद्र और MO को त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचिए।
9. मान लीजिए वृत्त वृत्त को बिंदु Q और R 10 पर प्रतिच्छेद करता है
। अब PQ और PR
11 को मिलाइए। इसलिए, PQ और PR अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

औचित्य:
PQ और PR वृत्त की स्पर्श रेखाएँ सिद्ध करके रचना को न्यायोचित ठहराया जा सकता है।
चूँकि O एक वृत्त का केंद्र है, हम जानते हैं कि जीवाओं का लम्ब समद्विभाजक केंद्र से होकर गुजरता है।
अब, बिंदुओं OQ और OR को मिलाइए।
हम जानते हैं कि जीवा का लम्ब समद्विभाजक केंद्र से होकर गुजरता है।
यह स्पष्ट है कि इन लंबवत समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त का केंद्र है।
चूँकि PQO अर्धवृत्त में एक कोण है। हम जानते हैं कि अर्धवृत्त का कोण समकोण होता है।
PQO = 90°
⇒ OQ⊥ PQ
चूँकि OQ वृत्त की त्रिज्या है, इसलिए PQ को वृत्त की स्पर्श रेखा होना चाहिए। इसी प्रकार,
PRO = 90°
या PO
चूँकि OR वृत्त की त्रिज्या है, PR को वृत्त की स्पर्श रेखा होनी चाहिए
, इसलिए PQ और PR वृत्त की अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।