NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 1 वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) Exercise 1.1 in Hindi

June 2, 2022

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 1 वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers)

Textbook	NCERT
Class	10^th
Subject	Mathematics
Chapter	1^st
Chapter Name	वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers)
Mathematics	Class 10th गणित
Medium	Hindi
Source	Last Doubt

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 1 वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) हम इस अध्याय में यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म, धनात्मक पूर्णांकों, अंकगणित की आधारभूत प्रमेय, लंबी विभाजन प्रक्रिया, महत्तम समापवर्तक ( HCF), भाज्य संख्या, अभाज्य संख्याओं, संख्याएँ अपरिमेय, वास्तविक संख्याएँ, परिमेय संख्याओं और उनके दशमलव प्रसारों का पुनर्भ्रमण और अपरिमेय संख्याओं का पुनर्भ्रमण इत्यादि के बारे में पढ़ेंगे और जानने के साथ हम NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 1 वास्तविक संख्याएँ प्रश्नावली 1.1 के प्रश्न-उत्तर करेंगे।

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 1 वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers)

Chapter – 1

वास्तविक संख्याएँ

प्रश्नावली 1.1

1. निम्नलिखित संख्याओं का $H . C . F$ ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए:

(i) 135 और 225

हल: यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करने पर 135 और 225 में से 225 बड़ी संख्या है,
इसके बाद, 225 को 135 से भाग करने पर
225 = 135 × 1 + 90
शेषफल, 90 ≠ 0, इसलिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग 135 और 90 में करने पर,
135 को 90 से भाग दिया
135 = 90 × 1 + 45,
शेषफल 45 ≠ 0
इसी प्रकार, 90 = 45 × 2 + 0
क्योंकि शेषफल = 0, अतः प्रक्रिया यहीं समाप्त हो गया।
यहां भाजक 45 है और शेषफल शून्य है अतः 135 और 225 का HCF 45 हैं।

(ii) 196 और 38220

हल: यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करने पर 196 और 38220 में से 38220 बड़ी संख्या है,
इसके बाद, 38220 को 196 से भाग करने पर
38220 = 196 × 195 + 0
क्योंकि शेषफल = 0, अतः प्रक्रिया यहीं समाप्त हुआ।
यहां भाजक 196 है और शेषफल शून्य है अतः 196 और 38220 का HCF 196 हैं।

(iii) 867 और 255

हल: यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करने पर 867 और 255 में से 867 बड़ी संख्या है,
इसके बाद, 867 को 225 से भाग करने पर
867 = 255 × 3 + 102
शेषफल, 102 ≠ 0, इसलिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग 255 और 102 में करने पर,
255 को 102 से भाग दिया
255 = 102 × 2 + 51,
शेषफल 102 ≠ 0
इसी प्रकार, 102 = 51 × 2 + 0
क्योंकि शेषफल = 0, अतः प्रक्रिया यहीं समाप्त हो गया।
यहां भाजक 51 है और शेषफल शून्य है अतः 867 और 255 का HCF 51 हैं।

2. दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5 के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है।

हल: माना धनात्मक पूर्णांक = a और b = 6
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से,
a = 6q + r,
जहाँ q ≥ 0 और r = 0, 1, 2, 3, 4, 5 क्योंकि 0 ≤ r6
इसलिए, a = 6q, 6q + 1, 6q + 2, 6q + 3, 6q + 4, 6q + 5
6q + 1 = 2 × 3q + 1 = 2p₁ + 1
जहाँ p₁ एक पूर्णांक है।
6q + 3 = (6q + 2) + 1 = 2(3q + 1) + 1 = 2p₂ + 1
जहाँ p₂ एक पूर्णांक है।
6q + 5 = (6q + 4) + 1 = 2(3q + 2) + 1 = 2p₃ + 1
जहाँ p₃ एक पूर्णांक है।
6q + 1, 6q + 3 और 6q + 5 सभी 2p + 1 के रूप में है, जहाँ p एक पूर्णांक है। इसलिए, 6q + 1, 6q + 3 और 6q + 5 सभी 2 से विभाजित नहीं होंगे। इस प्रकार हम कह सकते हैं, ये सभी विषम पूर्णांक है और इसलिए कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5 के रूप में हो सकता है।

3. किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है। दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तम्भों में मार्च करना है। उन स्तम्भों की अधिकतम संख्या क्या है , जिसमे वो मार्च कर सकते है?

हल: दिया गया है सेना दल के सदस्यों की संख्या = 616,
सेना बैंड के सदस्यों की संख्या = 32
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करने पर 616 और 32 में से 616 बड़ी संख्या है,
इसके बाद, 616 को 32 से भाग करने पर
616 = 32 × 19 + 8
शेषफल, 8 ≠ 0, इसलिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग 32 और 8 में करने पर,
32 को 8 से भाग दिया
इसी प्रकार, 32 = 8 × 4 + 0,
क्योंकि शेषफल = 0, अतः प्रक्रिया यहीं समाप्त हो गया।
यहां भाजक 8 है और शेषफल शून्य है अतः 616 और 32 का HCF 8 हैं।

4. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग , किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता है।
[संकेत : यह मान लीजिए x कोई धनात्मक पूर्णांक है। तब, यह 3q, 3q + 1 या 3q + 2 के रूप में लिखा जा सकता है। इनमे के से प्रत्येक का वर्ग कीजिए और दर्शाइए कि इन वर्गो को 3m या 3m + 1 के रूप में लिखा जा सकता है।]

हल: माना धनात्मक पूर्णांक = a और b = 3
यूक्लिड विभाजन प्रक्रिया से a = 3q + r, q ≥ 0 और r = 0, 1, 2, क्योंकि 0 ≥ r < 3
अतः a = 3q या 3q + 1 या 3q + 2
⇒ a² = 3q², 3q + 1², 3q + 2²
= 9q², 9q² + 6q + 1, 9q² + 12q + 4
= 3(3q²), 3(3q² + 2q) + 1, 3(3q² + 4q) + 4
= 3(3q²), 3(3q²+ 2q) + 1, 3(3q² + 4q + 1) + 1
= 3p₁, 3p² + 1, 3p³ + 1
जहाँ p₁, p₂, p₃ और धनात्मक पूर्णांक है। इसलिए प्रत्येक का वर्ग 3m या 3m + 1 के रूप में लिखा जा सकता है।

5. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है।

हल: माना, धनात्मक पूर्णांक = a और b = 3
यूक्लिड विभाजन प्रक्रिया से a = 3q + r, q ≥ 0 और 0 ≥ r < 3
a = 3q या 3q + 1 या 3q + 2
जब a = 3q,
a³ = 3q³ = 9³q³ = 9m, जहाँ m एक पूर्णांक है और m = 3q³
⇒ a³= 3q + 1³
⇒ a³= 27q³+ 27q²+ 9q + 1
⇒ a³= 9(3q³+ 3q²+ q) + 1
⇒ a³= 9m + 1
जहाँ m एक पूर्णांक है, m = (3q³+ 3q²+ q)
जब a = 3q + 2, तब
⇒ a³ = 3q + 2³
⇒ a³ = 27q³+ 54q²+ 36q + 8
⇒ a³ = 9(3q³+ 6q⁴+ q) + 8
⇒ a³ = 9m + 8
जहाँ m एक पूर्णांक है, m = (3q³+ 6q²+ 4q)
किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m या 9m + 1 या 9m + 8 के रूप में होता है।

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