NCERT Solutions Class 10th Math Chapter – 4 द्विघात समीकरण (Quadratic Equation) Exercise – 4.2 in Hindi

NCERT Solutions Class 10th Math Chapter – 4 द्विघात समीकरण (Quadratic Equation)

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NCERT Solutions Class 10th Math Chapter – 4 द्विघात समीकरण (Quadratic Equation)

Chapter – 4

द्विघात समीकरण

Exercise – 4.2

प्रश्न 1. गुणनखंड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए:
(i) x² – 3x – 10 = 0
(ii) 2x² + x – 6 = 0
(iii) √2x² +7x + 5√2 = 0
(iv) 2x² – x+
(v) 100x²-20x+1=0

उत्तर – (i) दिया गया है, x²– 3 x – 10 = 0
LHS लेते हुए,
=> x²– 5x + 2x – 10
=> x(x – 5) + 2(x – 5)
=> (x – 5)(x + 2)
इस समीकरण के मूल, x² – 3x – 10 = 0, x के वे मान हैं जिनके लिए (x – 5)(x + 2) = 0
इसलिए, x – 5 = 0 या x + 2 = 0
=> x = 5 या x = -2

(ii) दिया गया है, 2x² + x – 6 = 0
LHS लेते हुए,
=> 2x² + 4 x – 3 x – 6
=> 2x(x + 2) – 3(x + 2)
=> (x + 2)(2x – 3)
इस समीकरण के मूल, 2x² + x – 6=0, x के वे मान हैं जिनके लिए (x + 2)(2x – 3) = 0
इसलिए, x + 2 = 0 या 2x – 3 = 0
=> x = -2 या x = 3/2

(iii) √2x² + 7 x + 5√2= 0 LHS
=> √2x² + 5 x + 2 x + 5√2
=> x (√2x + 5) + √2(√2x + 5)= (√2x + 5)(x + √2)
इस समीकरण की जड़ें, √2x² + 7x + 5√2=0 x के मान हैं जिसके लिए (√2x + 5)(x + 2) = 0
इसलिए, 2x + 5 = 0 या x + √2 = 0
=> x = -5/√2 या x = -√2

(iv) 2x² – x +1/8 = 0
LHS लेना,
=1/8 (16 x² – 8 x + 1)
= 1/8 (16 x² – 4 x -4 x + 1)
= 1 /8 (4x(4x – 1) -1(4x – 1))
= 1/8 (4 x – 1)²
इस समीकरण के मूल, 2x² – x + 1/8 = 0, के मान हैं x जिसके लिए (4 x – 1)2 = 0
इसलिए, (4x – 1) = 0 या (4x – 1) = 0
x = 1/4 या x = 1/4

(v) दिया गया है, 100x²– 20x + 1=0
LHS लेना,
= 100x²– 10x – 10 + 1
= 10x (10x – 1) -1 (10x – 1)
= (10x – 1)²
इसकी जड़ें समीकरण, 100x²– 20x + 1=0, x के वे मान हैं जिनके लिए (10x – 1)² = 0
(10x – 1) = 0 या (10x – 1) = 0
x = 1/10 या x = 1/10

प्रश्न 2. उदाहरण 1 में दी गई समस्याओं को हल कीजिए।

उत्तर – उदाहरण 1. निम्न स्थितियों को गणितीय रूप में व्यक्त कीजिए :

(i) जॉन और जीवंती दोनों के पास कुल मिलाकर 45 कंचे हैं। दोनों पाँच-पाँच कंचे खो देते हैं और अब उनके पास कंचों की संख्या का गुणनफल 124 है। हम जानना चाहेंगे कि आरंभ में उनके पास कितने-कितने कंचे थे।

(ii) एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ खिलौने निर्मित करता है । प्रत्येक खिलौने का मूल्य (₹ में) 55 में से एक दिन में निर्माण किए गए खिलौने की संख्या को घटाने से प्राप्त संख्या के बराबर है। किसी एक दिन, कुल निर्माण लागत ₹ 750 थी। हम उस दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या ज्ञात करना चाहेंगे ।

हल :
(i) माना कि जॉन के कंचों की संख्या x थी।
तब जीवंती के कंचों की संख्या = 45 x (क्यों?)
जीवंती के पास, 5 कंचे खोने के बाद, बचे कंचों की संख्या = 45 – x -5
= 40 – x

अतः उनका गुणनफल = (x – 5 ) (40 – x)
= 40x – x² – 200 + 5x
= – x² + 45x – 200

अब – x² + 45x – 200 = 124
अर्थात् – x² + 45x – 324 = 0
अर्थात् x² – 45x + 324 = 0

अतः जॉन के पास जितने कंचे थे, जो समीक
x² – 45x + 324 = 0
को संतुष्ट करते हैं।

(ii) माना उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या x है।
इसलिए, उस दिन प्रत्येक खिलौने की निर्माण लागत (रुपयों में) = 55 – .x
अतः, उस दिन कुल निर्माण लागत (रुपयों में) = x (55 – x)

इसलिए = x (55 – x) = 750
अर्थात् = 55x – x² = 750
अर्थात् = – x² + 55x – 750 = 0
अर्थात् = x² – 55x + 750 = 0

अतः उस दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या द्विघात समीकरण
x² – 55x + 750 = 0
को संतुष्ट करती है।

प्रश्न 3. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो।

उत्तर – मान लीजिए, पहली संख्या x है और दूसरी संख्या 27 – x है।
इसलिए, दो संख्याओं का गुणनफल
x(27 – x) = 182
x² – 27x – 182 = 0
x² – 13x – 14x + 182 = 0
x (x – 13) -14 (x – 13) = 0
⇒ (x – 13)(x -14) = 0
इस प्रकार, या तो x = -13 = 0 या x – 14 = 0
x = 13 या x = 14
इसलिए, यदि पहली संख्या = 13 है, तो दूसरी संख्या = 27 – 13 = 14
और यदि पहली संख्या = 14, तो दूसरी संख्या = 27 – 14 = 13
इसलिए, संख्याएँ 13 और 14 हैं।

प्रश्न 5. एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7 cm कम है। यदि कर्ण 13 cm का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए ।

उत्तर – मान लीजिए, समकोण त्रिभुज का आधार x सेमी है।
दिया गया है, समकोण त्रिभुज की ऊँचाई = (x – 7) सेमी
पाइथागोरस प्रमेय से, हम जानते हैं,
आधार 2 + ऊँचाई 2 = कर्ण 2
x² + (x – 7)2 = 132
x² + x2 + 49 – 14x = 169
2x² – 14x – 120 = 0
x² – 7x – 60 = 0
x² – 12x + 5x – 60 = 0
x (x – 12) + 5 (x – 12) =
0 (x – 12)(x + 5) = 0
इस प्रकार, या तो x – 12 = 0 या x + 5 = 0,
x = 12 या x = – 5
चूँकि भुजाएँ ऋणात्मक नहीं हो सकतीं, x केवल 12 हो सकता है।
इसलिए, दिए गए त्रिभुज का आधार 12 सेमी है और इस त्रिभुज की ऊंचाई (12 – 7) सेमी = 5 सेमी होगी।

प्रश्न 6. एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है। एक विशेष दिन यह देखा गया कि प्रत्येक नग की निर्माण लागत (₹ में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी। यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत ₹90 थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नग की लागत ज्ञात कीजिए।

उत्तर – मान लीजिए, उत्पादित वस्तुओं की संख्या x है।
इसलिए, प्रत्येक वस्तु की उत्पादन लागत = रुपये (2x + 3)
दिया गया है, उत्पादन की कुल लागत 90
x (2x + 3) = 90
⇒ 2x² + 3x – 90 = 0
⇒ 2x² +15x -12x – 90 = 0
x (2x + 15) -6 (2x + 15) = 0
(2x + 15) (x – 6) = 0
इस प्रकार, या तो 2x + 15 = 0 या x – 6 = 0
⇒ x = -15/2 या x = 6
चूंकि उत्पादित वस्तुओं की संख्या केवल एक धनात्मक पूर्णांक हो सकती है, इसलिए, x केवल 6 हो सकता है।
इसलिए, उत्पादित वस्तुओं की संख्या = 6
प्रत्येक वस्तु की लागत = 2 × 6 + 3 = 15 रुपये।

• Examples
• प्रश्नावली – 4.1
  
• प्रश्नावली – 4.3

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus (2023-2024) All Chapter in Hindi Medium

• अध्याय – 1 वास्तविक संख्याएँ
• अध्याय – 2 बहुपद
• अध्याय – 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
• अध्याय – 4 द्विघात समीकरण
• अध्याय – 5 समांतर श्रेढ़ियाँ
• अध्याय – 6 त्रिभुज
• अध्याय – 7 निर्देशांक ज्यामिति
• अध्याय – 8 त्रिकोणमिति का परिचय
• अध्याय – 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
• अध्याय – 10 वृत्त
• अध्याय – 11 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
• अध्याय – 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
• अध्याय – 13 सांख्यिकी
• अध्याय – 14 प्रायिकता

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