NCERT Solutions Class 10th Math Chapter – 7 निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry)
| Textbook | NCERT |
| Class | 10th |
| Subject | (गणित) Mathematics |
| Chapter | 7th |
| Chapter Name | निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry) |
| Mathematics | Class 10th गणित |
| Medium | Hindi |
| Source | Last Doubt |
NCERT Solutions Class 10th Math Chapter – 7 निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry) Exercise – 7.2 in Hindi निर्देशांक ज्यामिति क्या है समझाइए?, निर्देशांक ज्यामिति का सूत्र क्या है?, निर्देशांक ज्यामिति में भुज क्या होता है?, निर्देशांक का दूसरा नाम क्या है?, निर्देशांक ज्यामिति में रेखा का समीकरण क्या है?, ज्यामिति का पिता कौन है?, निर्देशांक को क्या कहा जाता है?, ज्यामिति का क्या अर्थ होता है?, निर्देशांक बिंदु क्या है?, ज्यामिति की खोज किसने की थी?, ज्यामिति के कितने भाग होते हैं?, मैथ का राजा कौन है?, निर्देशांक में कितने नंबर होते हैं?, निर्देशांक कैसे निकाले जाते हैं?, निर्देशांक उपयोगी क्यों हैं?
NCERT Solutions Class 10th Math Chapter – 7 निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry)
Chapter – 7
निर्देशांक ज्यामिति
Exercise – 7.2
प्रश्न 1. उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जो बिंदुओं (-1, 7) और (4, 3) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
हल : मान लीजिए P(x, y) वांछित बिंदु है
तब, x = 2 × 4 + 3 × – 1/2+3 = 8-3/5
और, y = 2x-3+3×7/2+3
= -6+21/5 = 3
अतः P के निर्देशांक हैं ( 1, 3)
प्रश्न 2. बिंदुओं ( 4, – 1 ) और (-2, 3) को जोड़ने वाले रेखाखंड को सम – त्रिभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल : मान लीजिए बिंदु P और Q, बिंदु A(4, 1) और B ( – 2, 3)के सम- त्रिभाजक हैं। तब, AP = PQ = QB = k (माना)
PB = PQ + QB = 2k
और = AQ = AP + PQ = 2k
= AP : PB = h : 2k = 1 : 2
और = AQ QB = 2k : h = 2 : 1
अतः P, AB को आंतरिक रूप से 12 अनुपात में विभाजित करता है, जबकि Q, 21 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है। इसलिए P के निर्देशांक होंगे :
[1x-2+2×4 1x-3+2x/1+2, 2x -3 + 2x -1] = [-2+8/3, -3-2/3]
= [2, -5/3]
और Q के निर्देशांक होंगे :
[2x-2+1×4/2+1, 2x-3+1x-1/2+1]
= [0, -7/3]
अतः सम-त्रिभाजक के दो बिंदु (2, -5/3) और (0, -7/3) हैं।
प्रश्न 3. आपके स्कूल में खेल-कूद क्रियाकलाप आयोजित करने के लिए, एक आयताकार मैदान ABCD में, चूने से परस्पर 1m की दूरी पर पंक्तियाँ बनाई गई हैं। AD के अनुदिश परस्पर 1m की दूरी पर 100 गमले रखे गए हैं, जैसा कि आकृति 7.12 में दर्शाया गया है। निहारिका दूसरी पंक्ति में AD के 1/4 भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक हरा झंडा गाड़ देती है। प्रीत आठवीं पंक्ति में AD के 1/5 भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक लाल झंडा गाड़ देती है। दोनों झंडों के बीच की दूरी क्या है? यदि रश्मि को एक नीला झंडा इन दोनों झंडों को मिलाने वाले रेखाखंड पर ठीक आधी दूरी (बीच में) पर गाड़ना हो तो उसे अपना झंडा कहाँ गाड़ना चाहिए?
हल : चित्र से स्पष्ट है, निहारिका द्वारा गाड़े गए हरे झंडे की स्थिति 100 द्वारा दर्शाई गयी है, अर्थात् P(2, 25) और प्रीत द्वारा गाड़े P(2, 1/4 × 100) गए लाल झंडे की
गए लाल झंडे की Q[8, 1/5 × 100]
अब, PQ = √(82 – 2)2 + (20 – 25 ) 2
√(6)2+(-5)2
√36+25 = √61
झंडों के बीच की दूरी = √61 m
मान लीजिए रश्मि द्वारा रेखाखंड PQ के आधी दूरी पर लगाए गए नोले झंडे की स्थिति M है।
M [2+8/2, 25+20/2] द्वारा दिया गया है।
या, [10/2, 45/2] अर्थात् (5,22.5)
अतः नीला झंडा पाँचवीं रेखा पर 22.5 m के ऊपर स्थित है।
प्रश्न 4. बिंदुओं ( 3, 10) और (6, 8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को बिंदु ( – 1, 6) किस अनुपात में विभाजित करता है।
हल: मान लीजिए बिंदु P (- 1, 6), बिंदुओं A (- 3, 10) और B(6, 8) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को k : 1 के अनुपात में विभाजित
करता है, तब बिंदु P के निर्देशांक [6k-3/k+1,- 8k+10/k+1] होंगे।
लेकिन P के निर्देशांक (- 1, 6) दिए गए हैं।
6k – 2/k+1 = – 1 और -8k + 1/k + 1 = 6
6k – 3 = k – 1 और – 8k + 10 = 6k + 6
6k + k = – 1 + 3 और – 8k – 6k = 6-10
7k = 2 और – 14k = – 4
k = 2/7
अतः बिंदु P रेखाखंड AB को 2 : 7 के अनुपात में विभाजित करता है।
प्रश्न 5. वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिंदुओं A (1, 5) और B ( – 4, 5) को मिलाने वाला रेखाखंड x-अक्ष से विभाजित होता है। इस विभाजन बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए ।
हल : मान लीजिए वांछित अनुपात k : 1 है। तब विभाजन बिंदु P के निर्देशांक होंगे [-4k+1/1 + k, 5k-5/k + 1]
लेकिन यह x अक्ष का एक बिंदु है जिस पर प्रत्येक बिंदु का y-अक्ष शून्य है।
5k- /k + 1 = 0
5k – 5 = 0
5k = 1
k = 1
इस प्रकार, वांछित अनुपात 1 : 1 है।
प्रश्न 6. यदि बिंदु (1, 2), (4,,y), (x, 6) और (3, 5), इसी क्रम में लेने पर एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हो तो x और ज्ञात कीजिए।
हल : मान लीजिए A(1, 2), B(4, y), C(x, 6) और D(3, 5) किसी समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
चूँकि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,
x + 1/2 = 3+ 4/2
x + 1 = 7 = x = 6
और, 5 + y/2 = 6 + 2/2
5 + y = 8
y = 3
अंतः, x = 6 और y = 3
7. बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ AB एक वृत्त का व्यास है जिसका केंद्र (2, – 3) है तथा B के निर्देशांक (1, 4) हैं।
हल : AB एक वृत्त का व्यास है जिसका केंद्र C(2, – 3) है तथा B के निर्देशांक (1, 4) हैं।
मान लीजिए A के निर्देशांक (x, y) हैं।
चूँकि C, AB का मध्य बिंदु है,
C के निर्देशांक [x + 1/2, y + 4/2] होंगे।
लेकिन C के निर्देशांक (2 – 3) दिए गए हैं।
प्रश्न 8. यदि A और B क्रमश: ( – 2, – 2) और (2, – 4) हो तो बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ताकि AP: 3/7 = – AB हो और P रेखाखंड AB पर स्थित हो।
हल : दिया है, AP = 3/7AB
image
AB/AP = 7/3
AP + PB/AP = 3 + 4/3
1 + PB/AP = 1 + 4/3 = PB/AP = 4/3
AP/PB = 3/4 = AP : PB = 4/3
मान लीजिए P(x, y) वह बिंदु है जो बिंदुओं A(- 2, – 2) और B(2, – 4) को मिलाने वाली रेखाखण्ड को 3 : 4 के अनुपात में विभाजित करता है।
x = 3 x 2 + 4 x – 2/3 + 4
प्रश्न 9. बिंदुओं A ( – 2, 2) और B (2, 8) को जोड़ने वाले रेखाखंड AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ।
हल : मान लीजिए P1, P2 और P3 वे बिंदु हैं जो रेखाखंड A(-2, 2) और B(2, 8) को मिलाने वाली रेखाखंड को चार बराबर भागों में विभाजित करते हैं।
चूँकि P, रेखाखंड को दो बराबर भागों में विभाजित करता है,
p2 (अर्थात् मध्य-बिंदु) के निर्देशांक [-2 + 0/2, 2 + 5/2] अर्थात्
[-1, 7/2] हैं।
प्रश्न 10. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (3, 0), (4, 5), (– 1, 4) और 1 (−2,-1) हैं। [संकेत: समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = ½ (उसके विकर्णों का गुणनफल)]
हल : मान लीजिए A(3, 0), B(4, 5), C(– 1, 4) और D(– 2, – 1) समचतुर्भुज ABCD के शीर्ष हैं।
विकर्ण AC = √(−1 – 3)2 + (4 – 0) 2
= √16+16 = 4√2
समचतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = 1/2 x (विकर्णों की लंबाई का गुणनफल)
= 1/2 x AC x BD
= 1/2 x 4√2 x 6√2 वर्ग इकाई
= 24 वर्ग इकाई
NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus (2023-2024) All Chapter in Hindi Medium
- अध्याय – 1 वास्तविक संख्याएँ
- अध्याय – 2 बहुपद
- अध्याय – 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
- अध्याय – 4 द्विघात समीकरण
- अध्याय – 5 समांतर श्रेढ़ियाँ
- अध्याय – 6 त्रिभुज
- अध्याय – 7 निर्देशांक ज्यामिति
- अध्याय – 8 त्रिकोणमिति का परिचय
- अध्याय – 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
- अध्याय – 10 वृत्त
- अध्याय – 11 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
- अध्याय – 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
- अध्याय – 13 सांख्यिकी
- अध्याय – 14 प्रायिकता
You Can Join Our Social Account
| Youtube | Click here |
| Click here | |
| Click here | |
| Click here | |
| Click here | |
| Telegram | Click here |
| Website | Click here |