NCERT Solutions Class 10th Math Chapter – 4 द्विघात समीकरण (Quadratic Equation) Exercise – 4.1 in Hindi

NCERT Solutions Class 10th Math Chapter – 4 द्विघात समीकरण (Quadratic Equation)

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NCERT Solutions Class 10th Math Chapter – 4 द्विघात समीकरण (Quadratic Equation)

Chapter – 4

द्विघात समीकरण

Exercise – 4.1

प्रश्न 1. जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण हैं :

(i) (x+1)²=2(x-3)
(ii) x²-2x=(-2) (3-x)
(iii) (x-2)(x+1)=(x-1)(x+3)
(iv) (x-3)(2x+1)=x(x+5)
(v) (2x-1)(x-3)=(x+5)(x-1)
(vi) x²+3x+1=(x-2)²
(vii) (x+2)³=2x (x²-1)
(viii) x³-4x²-x+1=(x-2)³

उत्तर – (i) दिया गया है, (x + 1)² = 2(x – 3) (a+b)² = a²+2ab+b²x² + 2x + 1 = 2x – 6
के लिए सूत्र का उपयोग करके⇒ x² + 7 = 0 चूंकि उपरोक्त समीकरण ax² + bx + c = 0 के रूप में है।इसलिए, दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।

(ii) दिया गया है, x² – 2x = (-2) (3 – x)
⇒ x²– 2x = -6 + 2x
⇒ x²– 4x + 6 = 0
क्योंकि उपरोक्त समीकरण ax²+ के रूप में है। bx + c = 0.
इसलिए, दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।

(iii) दिया गया है, (x – 2)(x + 1) = (x – 1)(x + 3)
गुणा करके
x² – x – 2 = x² + 2x – 3
3x – 1 = 0
चूंकि उपरोक्त समीकरण ax²+ bx + c = 0 के रूप में नहीं है।
इसलिए, दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण नहीं है।

(iv) दिया गया है, (x – 3)(2x +1) = x(x + 5)
गुणा करके
⇒2x²– 5x – 3 = x²+ 5x
⇒ x² – 10x – 3 = 0
चूंकि उपरोक्त समीकरण है ax²+ bx + c = 0 के रूप में।
इसलिए, दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।

(v) दिया गया है, (2x – 1)(x – 3) = (x + 5)(x – 1)
गुणा करके
2x² – 7x + 3 = x² + 4x – 5
⇒ x²– 11x + 8 = 0
चूंकि उपरोक्त समीकरण ax²+ bx + c = 0 के रूप में है।
इसलिए, दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।

(vi) दिया गया है, x²+ 3x + 1 = (x – 2)² (ab)² = a² – 2ab+b²x² + 3x + 1 = x²+ 4 – 4x के लिए सूत्र
का उपयोग करके 7x – 3 = 0 चूंकि उपरोक्त समीकरण ax²+ bx + c = 0 के रूप में नहीं है। इसलिए, दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण नहीं है।

(vii) दिया गया है, (x + 2)³ = 2x(x²– 1) (a+b)³ = a³ + b³ +3ab (a+b) x³ + 8 + x
के लिए सूत्र का उपयोग करके 2 + 12x = 2x³ – 2x x³ + 14x – 6x²– 8 = 0 क्योंकि उपरोक्त समीकरण ax² + bx + c = 0 के रूप में नहीं है। इसलिए, दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण नहीं है।

(viii) दिया गया है, (x + 2)³ = 2x(x² – 1)

^{(a+b) 3} = a ³ +b ³ +3ab (a+b) सूत्र का उपयोग करके

⇒ x³ + 8 + x ² + 12x = 2x³ – 2x

⇒ x³ + 14x – 6x ² – 8 = 0

उपरोक्त समीकरण ax² + bx + c = 0 के रूप में नहीं है ।

अतः दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण नहीं है।

(viii) दिया गया है, x ³  – 4x² – x + 1 = (x – 2) ³

सूत्र (ab) ³ = a ³ -b ³ -3ab(ab) का उपयोग करके

⇒ x³ – 4x ² – x + 1 = x³ – 8 – 6x²  + 12x

⇒ 2x² – 13x + 9 = 0

उपरोक्त समीकरण ax² + bx + c = 0 के रूप में है।

अतः दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

प्रश्न 2. निम्न स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरूपित कीजिए :

(i) एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528m² है। क्षेत्र की लंबाई मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है। हमें भूखंड की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है।

(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। हमें पूर्णांकों को ज्ञात करना है।

(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है। उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन
वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगी। हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।

(iv) एक रेलगाड़ी 480 km की दूरी समान चाल से तय करती है । यदि इसकी चाल 8 km/h कम होती
तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती। हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।

उत्तर – (i) आइए देखें,
आयताकार भूखंड की चौड़ाई = x m
इस प्रकार, भूखंड की लंबाई = (2x + 1) m।
जैसा कि हम जानते हैं,
आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई = 528 m²
प्लॉट की लंबाई और चौड़ाई के मान को सूत्र में रखने पर, हमें मिलता है,
(2x + 1) × x = 528
⇒ 2x²+ x = 528
⇒ 2x²+ x – 528 = 0
इसलिए, भूखंड की लंबाई और चौड़ाई, द्विघात समीकरण, 2x² + x – 528 = 0 को संतुष्ट करती है, जो गणितीय रूप से समस्या का आवश्यक प्रतिनिधित्व है।

(ii) मान लीजिए,
पहली पूर्णांक संख्या = x
इस प्रकार, अगला लगातार धनात्मक पूर्णांक होगा = x + 1
दो क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल = x × (x +1) = 306
x² + x = 306
⇒ x² + x – 306 = 0
इसलिए, दो पूर्णांक x और x+1, द्विघात समीकरण, x² + x – 306 = 0 को संतुष्ट करते हैं, जो गणितीय रूप से समस्या का आवश्यक प्रतिनिधित्व है।

(iii) मान लें,
रोहन की आयु = x वर्ष
इसलिए, दिए गए प्रश्न के अनुसार,
रोहन की माता की आयु = x + 26
3 वर्ष बाद,
रोहन की आयु = x + 3
रोहन की माता की आयु = x + 26 + 3 = x + 29
3 वर्ष बाद उनकी आयु का गुणनफल 360 के बराबर होगा, जैसे कि
(x + 3)(x + 29) = 360
⇒ x²+ 29x + 3x + 87 = 360
⇒ x²+ 32x + 87 – 360 = 0
⇒ x²+ 32x – 273 = 0
इसलिए, रोहन और उसकी माँ की आयु, द्विघात समीकरण x²+ 32x – 273 = 0 को संतुष्ट करती है, जो गणितीय रूप से समस्या का आवश्यक प्रतिनिधित्व है।

(iv) मान लीजिए,
ट्रेन की गति = x किमी/घंटा
और 480 किमी की यात्रा में लगने वाला समय = 480/x किमी/घंटा
दूसरी शर्त के अनुसार, ट्रेन की गति = (x – 8) किमी/घंटा
भी दी गई है , ट्रेन को समान दूरी तय करने में 3 घंटे का समय लगेगा।
इसलिए, 480 किमी की यात्रा में लिया गया समय = (480/x)+3 किमी/घंटा
जैसा कि हम जानते हैं,
गति × समय = दूरी
इसलिए,
(x – 8) (480/x) + 3 = 480
480 + 3x – 3840 /x – 24 = 480
3x – 3840/x = 24
⇒ x²– 8x – 1280 = 0
इसलिए, ट्रेन की गति, द्विघात समीकरण को संतुष्ट करती

• Examples
  
• प्रश्नावली – 4.2
• प्रश्नावली – 4.3

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus (2023-2024) All Chapter in Hindi Medium

• अध्याय – 1 वास्तविक संख्याएँ
• अध्याय – 2 बहुपद
• अध्याय – 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
• अध्याय – 4 द्विघात समीकरण
• अध्याय – 5 समांतर श्रेढ़ियाँ
• अध्याय – 6 त्रिभुज
• अध्याय – 7 निर्देशांक ज्यामिति
• अध्याय – 8 त्रिकोणमिति का परिचय
• अध्याय – 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
• अध्याय – 10 वृत्त
• अध्याय – 11 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
• अध्याय – 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
• अध्याय – 13 सांख्यिकी
• अध्याय – 14 प्रायिकता

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