NCERT Solutions Class 10th Math Chapter – 1 वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) Exercise – 1.2 in Hindi

NCERT Solutions Class 10th Math Chapter – 1 वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers)

NCERT Solutions Class 10th Math Chapter – 1 वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) Exercise – 1.2 in Hindi जिसमे हम वास्तविक संख्या कितनी होती है?, सबसे छोटी वास्तविक संख्या क्या है?, क्या 0 वास्तविक संख्या है?, क्या 8 एक वास्तविक संख्या है?, काल्पनिक संख्या और वास्तविक संख्या क्या है?, 3 किस प्रकार की संख्या है?, और Class 10th के Math New Syllabus वास्तविक संख्याएँ विस्तार से हल करने वाले  है।

NCERT Solutions Class 10th Math Chapter – 1 वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers)

Chapter – 1

वास्तविक संख्याएँ

प्रश्नावली – 1.2

1. सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।

हल:
माना कि √5 एक परिमेय संख्या है।
इसलिए माना,
√5 = b/0, b≠0.

जहाँ a और b पूर्णांक हैं तथा a और b में, 1 के अतिरिक्त, कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
a = √5b 
⇒ a² = 5b²

अतः, 5, a² को विभाजित करता है।
इसलिए, 5, a को विभाजित करेगा।
अब, माना, a = 5k, जहाँ k कोई पूर्णांक है।
समीकरण (1) में a मान रखने पर,
(5k)² = 5b²
⇒ 5k² = b²

अतः, 5, 6² को विभाजित करता है।
इसलिए, 5, b को विभाजित करेगा।

इस प्रकार, समीकरण (2) और (3) से, हमें यह पता चलता है कि a और b का उभयनिष्ठ गुणनखंड 5 है। जो हमारी कल्पना (a और b में, 1 के अतिरिक्त, कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है) के विपरीत है।

यह विरोधाभास हमारी त्रुटिपूर्ण कल्पना के कारण हुआ है कि √5 एक परिमेय संख्या है। अतः, √5 एक अपरिमेय संख्या है।

2. सिद्ध कीजिए कि 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है।

हल:
माना कि 3 + 2√5 एक परिमेय संख्या है।
3 + 2√5 = p/q, p/q = पूर्णांक q = 0
= 3 + 2√5 = p/q
= 2√5 = p/q – 3
= √5 = p/2q – 3/2
∵ √5 एक अभाज्य संख्या है
∴ √5 एक पूर्ण वर्ग नहीं है।
∴ √5 एक अपरिमेय संख्या है।
अतः अपरिमेय संख्या ≠ परिमेय संख्या है।
∴ 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है।

3. सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय हैं:
(1) 1/√2
(ii) 7√5
(iii) 6+√2

हल: (1) 1/√2

माना कि 1√2 एक परिमेय संख्या है।
इसलिए माना,

1/√2 = a/b, b≠0.
जहाँ a और b पूर्णांक हैं तथा a और b में, 1 के अतिरिक्त, कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
1/√2 = a/b
⇒ √2 = b/a
⇒ 2a² = b²
अतः, 2, b² को विभाजित करता है।
इसलिए, 2, a को विभाजित करेगा।
अब, माना, b = 2k, जहाँ k कोई पूर्णांक है।
समीकरण (1) में b मान रखने पर,

2a² = (2k)²
⇒ a² = 2k²

अतः, 2, a² को विभाजित करता है।
इसलिए, 2, a को विभाजित करेगा।

इस प्रकार, समीकरण (2) और (3) से, हमें यह पता चलता है कि a और b का उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 है। जो हमारी कल्पना (a और b में, 1 के अतिरिक्त, कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है) के विपरीत है।
यह विरोधाभास हमारी त्रुटिपूर्ण कल्पना के कारण हुआ है कि 1√2 एक परिमेय संख्या है। अतः, 1√2 एक अपरिमेय संख्या है।

(ii) 7√5
माना कि 7√5 एक परिमेय संख्या है।
इसलिए माना,

7√5 = a/b, b≠0.
जहाँ a और b पूर्णांक हैं तथा a और b में, 1 के अतिरिक्त, कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
7√5 = a/b
⇒ √5 = a/7b

क्योंकि a और b पूर्णांक हैं, इसलिए एक परिमेय संख्या है। इसलिए, √5 भी एक परिमेय संख्या होगी ।
परन्तु हम जानते हैं कि √5 एक अपरिमेय संख्या है। यह विरोधाभास हमारी त्रुटिपूर्ण कल्पना के कारण हुआ है कि 7√5 एक परिमेय संख्या है। अतः, 7√5 एक अपरिमेय संख्या है।

(iii) 6 + √2
माना कि 6 + √2 एक परिमेय संख्या है।

इसलिए माना,
6+√2= a/b, b≠0.
जहाँ a और b पूर्णांक हैं तथा a और b में, 1 के अतिरिक्त, कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
6+√2= a/b
⇒ √2= a/b – 6 = a-6b/b
क्योंकि a और b पूर्णांक हैं, इसलिए a-6b/b एक परिमेय संख्या है। इसलिए, √2 भी एक परिमेय संख्या होगी।
परन्तु हम जानते हैं कि √2 एक अपरिमेय संख्या है। यह विरोधाभास हमारी त्रुटिपूर्ण कल्पना के कारण हुआ है कि 6+ √2 एक परिमेय संख्या है। अतः, 6 + √2 एक अपरिमेय संख्या है।

• Examples
  
• प्रश्नावली – 1.1
  

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus (2023-2024) All Chapter in Hindi Medium

• अध्याय – 1 वास्तविक संख्याएँ
• अध्याय – 2 बहुपद
• अध्याय – 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
• अध्याय – 4 द्विघात समीकरण
• अध्याय – 5 समांतर श्रेढ़ियाँ
• अध्याय – 6 त्रिभुज
• अध्याय – 7 निर्देशांक ज्यामिति
• अध्याय – 8 त्रिकोणमिति का परिचय
• अध्याय – 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
• अध्याय – 10 वृत्त
• अध्याय – 11 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
• अध्याय – 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
• अध्याय – 13 सांख्यिकी
• अध्याय – 14 प्रायिकता

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