NCERT Solutions Class 10th Math New Syllabus Chapter – 1 वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) Exercise – 1.1 in Hindi

NCERT Solutions Class 10th Math New Syllabus Chapter – 1 वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers)

NCERT Solutions Class 10th Math New Syllabus Chapter – 1 वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) Exercise – 1.1 in Hindi जिसमे हम वास्तविक संख्या कितनी होती है?, सबसे छोटी वास्तविक संख्या क्या है?, क्या 0 वास्तविक संख्या है?, क्या 8 एक वास्तविक संख्या है?, काल्पनिक संख्या और वास्तविक संख्या क्या है?, 3 किस प्रकार की संख्या है?, और Class 10th के Maths New Syllabus वास्तविक संख्याएँ विस्तार से हल करने वाले है।

NCERT Solutions Class 10th Math New Syllabus Chapter – 1 वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers)

Chapter – 1

वास्तविक संख्याएँ

प्रश्नावली – 1.1

1. निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए:

(1) 140
(ii) 156
(iii) 3825
(iv) 5005
(v) 7429

हल:
(i) 140 = 2 x 2 x 5 x 7 = 2² × 5 × 7
(ii) 156 = 2 × 2 × 3 × 13 = 2² × 3 × 13
(iii) 3825 = 3 × 3 × 5 × 5 × 17 = 3² × 5² × 17
(iv) 5005 = 5 × 7 × 11 × 13
(v) 7429 = 17 × 19 × 23

2. पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = HCF X LCM है।

(i) 26 और 91
(ii) 510 और 92
(iii) 336 और 54

हल:

(i) 26 और 91
2 × 13 = 26
7 × 13 = 91
HCF = 13
LCM = 2 × 7 × 13 = 182
इस प्रकार, दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM
दो संख्याओं का गुणनफल = 26 × 91 = 2366
HCF × LCM = 13 × 182 = 2366

(ii) 510 और 92
2 × 3 × 5 × 17 = 510
2 × 2 × 23 = 92
HCF = 2
LCM = 2 × 2 × 3 × 5 × 17 × 23 = 23460
इस प्रकार, दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM
दो संख्याओं का गुणनफल = 510 × 92 = 46920
HCF × LCM = 2 × 23460 = 46920

(iii) 336 और 52
2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7 = 2⁴ × 3 × 7 = 336
2 × 3 × 3 × 3 = 2 × 3³ = 54
HCF = 2 × 3 = 6
LCM = 2⁴ × 3³ × 7 = 3024
इस प्रकार, दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM
दो संख्याओं का गुणनफल = 336 × 54 = 18144
HCF × LCM = 6 × 3024 = 18144

3. अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए:

(i) 12, 15 और 21
(ii) 17, 23 और 29
(iii) 8, 9 और 25

हल:

(i) 12, 15 और 21
12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
15 = 3 × 5
21 = 3 × 7
HCF = 3
LCM = 2² × 3 × 5 × 7 = 420

(ii) 17, 23 और 29
17 = 1 × 17
23 = 1 × 23
29 = 1 × 29
HCF = 1
LCM = 17 × 23 × 29 = 11339

(iii) 8, 9 और 25
8 = 2 × 2 × 2 = 2³
9 = 3 x 3 = 3²
25 = 5 x 5 = 5²
HCF = 1
LCM = 2³ × 3² × 5²
= 8 × 9 × 25
= 1800

4. HCF (306,657) = 9 दिया है। LCM (306,657) ज्ञात कीजिए।

हल:
हम जानते हैं,

संख्याओं का गुणनफल = LCM × HCF
⇒ 306 × 657 = LCM × 9

⇒ 306 × 657/9 = LCM
⇒ 22338 = LCM

5. जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए, संख्या 6ⁿ अंक 0 पर समाप्त हो सकती है।

हल:
यदि कोई संख्या अंक 0 पर समाप्त हो सकती है, तो वह 10 से विभाजित होती है या दूसरे शब्दों यह संख्या 2 और 5 से विभाजित होगी। क्योंकि,
10 = 2 × 5

6ⁿ का अभाज्य गुणनखंडन = (2 x 3)ⁿ = 2ⁿ × 3ⁿ
6ⁿ के अभाज्य गुणनखंडन में 5 नहीं है।

इसलिए 6ⁿ, 5 से विभाजित नहीं होगा। अंकगणित की आधारभूत प्रमेय की अद्वितीयता हमें यह निश्चित कराती है कि 6ⁿ के गुणनखंड में 2 और 3 के अतिरिक्त और कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं है।

अतः, किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए, संख्या 6ⁿ अंक 0 पर समाप्त नहीं हो सकती है।

6. व्याख्या कीजिए कि 7 × 11 × 13 + 13 और 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 भाज्य संख्याएँ क्यों हैं।

हल: भाज्य संख्याओं के दो से अधिक भाजक होते हैं। दी गई संख्या,
= 7 × 11 × 13 + 13
= 13 × (7 × 11 + 1)
= 13 × (77 + 1)
= 13 × 78

इसलिए 7 × 11 × 13 + 13 एक भाज्य संख्या है।
दी गई संख्या,
= 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5
= 5 × (7 × 6 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1)
= 5 × (1008 + 1)
= 5 × 1009

इसलिए 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 एक भाज्य संख्या है।

7. किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं। मान लीजिए वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारंभ करके एक ही दिशा में चलते हैं। कितने समय बाद वे पुनः प्रारंभिक स्थान पर मिलेंगे?

हल: रवि को 12 मिनट लगते हैं जबकि सोनिया को 18 मिनट लगते हैं एक समय बाद दोनों अपने प्रारम्भ स्थान पर होंगे और वह समय

12 और 18 का LCM होगा।
18 = 2 × 3 × 3
12 = 2 × 2 x 3
12 और 18 का LCM = 2 × 2 × 3 × 3 = 36

इस प्रकार, रवि और सोनिया 36 मिनट बाद दोनों अपने प्रारम्भ स्थान पर होंगे।

• Examples
  
• प्रश्नावली – 1.2

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus (2023-2024) All Chapter in Hindi Medium

• अध्याय – 1 वास्तविक संख्याएँ
• अध्याय – 2 बहुपद
• अध्याय – 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
• अध्याय – 4 द्विघात समीकरण
• अध्याय – 5 समांतर श्रेढ़ियाँ
• अध्याय – 6 त्रिभुज
• अध्याय – 7 निर्देशांक ज्यामिति
• अध्याय – 8 त्रिकोणमिति का परिचय
• अध्याय – 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
• अध्याय – 10 वृत्त
• अध्याय – 11 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
• अध्याय – 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
• अध्याय – 13 सांख्यिकी
• अध्याय – 14 प्रायिकता

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