NCERT Solution Class 9th Maths Chapter – 8 चतुर्भुज (Quadrilaterals) Examples in Hindi

NCERT Solution Class 9th Maths Chapter – 8 चतुर्भुज (Quadrilaterals)

NCERT Solution Class 9th Maths Chapter – 8 चतुर्भुज (Quadrilaterals) Examples in Hindi Class 9 Maths Chapter 8 Solutions PDF, Class 9th Maths Chapter 8, Examples 8.1 कक्षा 9, Examples 8.2 कक्षा 9, Exercise 8.1 Class 9 in Hindi, अध्याय 8 चतुर्भुज, चतुर्भुज कक्षा 9, Class 9 Maths Chapter 8 Hindi Medium आदि के बारे में पढ़ेंगे।

NCERT Solution Class 9th Maths Chapter – 8 चतुर्भुज (Quadrilaterals)

Chapter – 8

चतुर्भुज

Examples

उदाहरण 1 : दर्शाइए कि एक आयत का प्रत्येक कोण एक समकोण होता है।

हल : याद कीजिए कि एक आयत क्या होता है। एक आयत वह समांतर चतुर्भुज होता है जिसका एक कोण समकोण हो।
मान लीजिए ABCD एक आयत है, जिसमें ∠A = 90° है।
हमें दर्शाना है कि ∠B = ∠C = ∠D = 90° है।
AD || BC और AB एक तिर्यक रेखा है (देखिए आकृति 8.6)।
इसलिए, ∠A + ∠B = 180° ( तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोण)
परन्तु, ∠A =90° है।
इसलिए, ∠B = 180° – ∠A = 180° – 90° = 90°
अब ∠C = ∠A और ∠D = ∠B (समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण)
इसलिए, ∠C = 90° और ∠D = 90°
अतः, आयत का प्रत्येक कोण 90° है।

उदाहरण 2: दर्शाइए कि एक समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लम्ब होते हैं।

हल : समचतुर्भुज ABCD पर विचार कीजिए (देखिए आकृति 8.7)।
आप जानते हैं कि AB = BC = CD = DA (क्यों?)
अब, Δ AOD और Δ COD में,
OA = OC (समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं)
OD = OD (उभयनिष्ठ)
AD = CD (दिया है)
अत:, Δ AOD = Δ COD (SSS सर्वांगसमता नियम)
इसलिए, ∠AOD = ∠COD (CPCT)
परन्तु, ∠AOD + ∠COD = 180° (रैखिक युग्म)
इसलिए, 2∠AOD = 180°
या, ∠AOD = 90°
अत:, समचर्तुभुज के विकर्ण परस्पर लम्ब हैं।

उदाहरण 3 : ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है। AD बहिष्कोण PAC को
समद्विभाजित करता है और CD || BA है (देखिए आकृति 8.8)। दर्शाइए कि(i) ∠DAC = ∠BCA और (ii) ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

हल : (i) ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है। (दिया है)
इसलिए, ∠ABC = ∠ACB (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण)
साथ ही, ∠PAC = ∠ABC + ∠ACB
(त्रिभुज का बहिष्कोण)
या, ∠PAC = 2∠ACB ….(1)
अब, AD कोण PAC को समद्विभाजित करती है।
इसलिए, ∠PAC = 2∠DAC ….(2)
अतः,
2∠DAC = 2∠ACB [(1) और (2) से]
या, ∠DAC = ∠ACB

(ii) अब ये दोनों बराबर कोण वे एकांतर कोण हैं जो रेखाखंडों BC और AD को तिर्यक रेखा AC द्वारा प्रतिच्छेद करने से बनते हैं।
इसलिए, BC || AD
साथ ही, BA || CD है।
इस प्रकार, चतुर्भुज ABCD की सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म समांतर हैं।
अत:, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

उदाहरण 4 : दो समांतर रेखाओं ? और m को एक तिर्यक रेखा p प्रतिच्छेद करती है (देखिए आकृति 8.9)। दर्शाइए कि अंतः कोणों के समद्विभाजकों से बना चतुर्भुज एक आयत है।

हल : यह दिया है कि Z || m है और तिर्यक रेखा p इन्हें क्रमश: बिंदुओं A और C पर प्रतिच्छेद
करती है।
∠PAC और ∠ACQ के समद्विभाजक B पर प्रतिच्छेद करते हैं और ∠ACR और
∠SAC के समद्विभाजक D पर प्रतिच्छेद करते हैं।
हमें दर्शाना है कि चतुर्भुज ABCD एक आयत है।
अब, ∠PAC = ∠ACR
(l || m और तिर्यक रेखा p से बने एकांतर कोण)
इसलिए, ½ ∠PAC = ½ ∠ACR
अर्थात्,
∠BAC = ∠ACD
ये बराबर कोण रेखाओं AB और DC के तिर्यक रेखा AC द्वारा प्रतिच्छेदित करने से बनते हैं और ये एकांतर कोण हैं।
इसलिए, AB || DC
इसी प्रकार, BC || AD (∠ACB और ∠CAD लेने पर)
अत:, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है ।
साथ ही, ∠PAC + ∠CAS = 180° (रैखिक युग्म)
इसलिए,
½ ∠PAC + ½ ∠CAS = ½ x 180° = 90°
या, ∠BAC + ∠CAD = 90°
या, ∠BAD = 90°
इसलिए, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है जिसका एक कोण समकोण है।
अत: ABCD एक आयत है।

उदाहरण 5 : दर्शाइए कि एक समांतर चतुर्भुज के कोणों के समद्विभाजक एक आयत बनाते हैं।

हल : मान लीजिए P, Q, R और S क्रमशः समांतर चतुर्भुज ABCD के ∠A और ∠B, ∠B और ∠C, ∠C और ∠D तथा ∠D और ∠A के समद्विभाजकों के प्रतिच्छेद बिंदु हैं (देखिए आकृति 8.10)।

Δ ASD में आप क्या देख सकते हैं?

चूँकि DS कोण D को और AS कोण A को समद्विभाजित करते हैं, इसलिए

∠DAS + ∠ADS = ½ ∠A + ½ ∠D
= ½ (∠A + ∠D)
½ x 180°
(∠A और ∠D तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोण हैं)
= 90°
साथ ही, ∠DAS + ∠ADS + ∠DSA = 180° (त्रिभुज का कोण योग गुण)
या, 90° + ∠DSA = 180°
या, ∠DSA = 90°
अतः, ∠PSR = 90° (∠DSA का शीर्षाभिमुख कोण)
इसी प्रकार, यह दर्शाया जा सकता है कि ∠APB = 90° या ∠SPQ = 90° (जैसा कि ∠DSA के लिए किया था)। इसी प्रकार, ∠PQR = 90° और ∠SRQ = 90° है।
इसलिए, PQRS एक ऐसा चतुर्भुज है जिसके सभी कोण समकोण हैं।
क्या हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यह एक आयत है? आइए इसकी जाँच करें।
हम दर्शा चुके हैं कि ∠PSR = ∠PQR = 90° और ∠SPQ = ∠SRQ = 90° है, अर्थात् सम्मुख कोणों के दोनों युग्म बराबर हैं।
अत: PQRS एक समांतर चतुर्भुज है, जिसमें एक कोण (वास्तव में सभी कोण) समकोण हैं।
इसलिए, PQRS एक आयत है।

उदाहरण 6 : Δ ABC में, D, E और F क्रमश: भुजाओं AB, BC और CA के मध्य – बिंदु हैं (देखिए आकृति 8.18)। दर्शाइए कि बिन्दुओं D, E और F को मिलाने पर Δ ABC चार सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित हो जाता है।

हल : चूँकि D और E क्रमश: भुजाओं AB और BC के मध्य-बिंदु हैं, इसलिए इसी प्रकार,
8.9 द्वारा
DE || AC
इसी प्रकार, DF || BC और EF || AB है।
इसलिए, ADEF, BDFE और DFCE में से प्रत्येक एक समांतर चतुर्भुज है।
अब, DE समांतर चतुर्भुज BDFE का एक विकर्ण है।
इसलिए,
Δ BDE ≅ Δ FED
Δ DAF ≅ Δ FED
और Δ EFC ≅ Δ FED

उदाहरण 7 : l, m और तीन समांतर रेखाएँ हैं, जो तिर्यक रेखाओं p और 9 द्वारा इस प्रकार प्रतिच्छेदित हैं कि l, m और n रेखा p पर समान अंत: खंड AB और BC काटती हैं (देखिए आकृति 8.19)। दर्शाइए कि l, m और n रेखा q पर भी समान अंत: खंड DE और EF काटती हैं।

हल : हमें AB = BC दिया है और हमें DE = EF सिद्ध करना है।
आइए A को F से मिलाएँ और इससे AF रेखा m को G पर प्रतिच्छेद करती है।
समलंब ACFD दो त्रिभुजों ACF और AFD में विभाजित हो जाता है।
Δ ACF में यह दिया है कि B, भुजा AC का मध्य – बिंदु है। (AB = BC)
साथ ही, BG || CF (चूँकि m || n है)
अत:, G भुजा AF का मध्य-बिंदु है। (प्रमेय 8.9 द्वारा)
अब, Δ AFD में भी हम इसी तर्क का प्रयोग कर सकते हैं। क्योंकि G भुजा AF का मध्य-बिंदु है और GE || AD है, इसलिए प्रमेय 8.9 से E भुजा DF का मध्य-बिंदु है।
अर्थात् DE = EF है।
दूसरे शब्दों में, I, m और n तिर्यक रेखा q पर भी बराबर अंत: खंड काटती हैं।

• प्रश्नावली – 8.1
• प्रश्नावली – 8.2

NCERT Solutions Class 9th Maths All Chapter in Hindi

You Can Join Our Social Account