NCERT Solution Class 7th Maths Chapter – 6 त्रिभुज और उसके गुण (The Triangle and Its Properties) Exercise – 6.5 in Hindi

NCERT Solution Class 7th Maths Chapter – 6 त्रिभुज और उसके गुण (The Triangle and Its Properties) 

NCERT Solution Class 7th Maths Chapter – 6 त्रिभुज और उसके गुण (The Triangle and Its Properties) प्रश्नावली – 6.5 in hindi जिसमें हम त्रिभुज क्या है और उसके गुण क्या है, त्रिभुज का गुण कैसे लिखें, त्रिभुज कितने प्रकार के होते हैं और उसकी परिभाषा, त्रिभुज कितने प्रकार के होते हैं, त्रिभुज का फार्मूला क्या है, आदि इसके बारे में हम विस्तार से पढ़ेंगे।

NCERT Solution Class 7th Maths Chapter – 6 त्रिभुज और उसके गुण (The Triangle and Its Properties)  

Chapter – 6

त्रिभुज और उसके गुण

प्रश्नावली – 6.5

प्रश्न 1. PQR एक त्रिभुज है जिसका P एक समकोण है। यदि PQ = 10 cm तथा PR = 24cm, तब QR ज्ञात कीजिए। 

हल: आइए एक समकोण त्रिभुज का एक मोटा रेखाचित्र बनाते हैं पाइथागोरस के प्रमेय के नियम के अनुसार, पाइथागोरस की प्रमेय में कहा गया है कि किसी भी समकोण त्रिभुज के लिए कर्ण पर वर्ग का क्षेत्रफल पैरों पर वर्ग के क्षेत्रफल  के योग के बराबर होता है। उपरोक्त आकृति में RQ कर्ण है,

(कर्ण)² = (आधार )² + (लंब)²

[पाइथागोरस प्रमेय द्वारा)

(QR)² = (PQ)² + (PR)²
QR = 10² + 24²
QR = 100 + 576
QR = 100 + 576
QR = 676
QR = √676
QR = 26 cm 

अतः, QR की लंबाई 26 cm है।

प्रश्न 2. ABC एक त्रिभुज है, जिसका C एक समकोण है। यदि AB = 25 cm तथा AC = 7 cm तब BC ज्ञात कीजिए।

हल: आइए एक समकोण त्रिभुज का एक मोटा रेखाचित्र बनाते हैं पाइथागोरस की प्रमेय के नियम के अनुसार, पाइथागोरस की प्रमेय में कहा गया है कि किसी भी समकोण त्रिभुज के लिए कर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल टाँगों पर बने वर्ग के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है। उपरोक्त आकृति में RQ कर्ण है,

(AC)² + (BC)² = (AB)²
(BC)² = (AB)² − (AC)²
(BC)² = (25)² − (7)²
(BC)² = 625 − 49 = 576

इसलिए, BC की लंबाई BC = 24 cm

प्रश्न 3. दीवार के सहारे उसके पैर कुछ दूरी पर टिका कर 15 m लम्बी एक सीढ़ी भूमि से 12 m ऊँचाई पर स्थित खिड़की तक पहुँच जाती है। दीवार से सीढ़ी के पैर की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल: पाइथागोरस प्रमेय के नियम के अनुसार,
पाइथागोरस प्रमेय कहता है कि किसी भी समकोण त्रिभुज के लिए कर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल टाँगों पर बने वर्ग के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है।

उपरोक्त आकृति में RQ कर्ण है,
15² = 12² + a²
225 = 14⁴ + a²

144 को RHS से LHS में स्थानांतरित करने पर यह बन जाता है – 144
a² = 225 – 144
a² = 81
a = 9 मीटर

इसलिए, लंबाई ए = 9 मीटर।

प्रश्न 4. निम्नलिखित में भुजाओं के कौन से समूह एक समकोण त्रिभुज बना सकते हैं?

(i) 2.5 cm, 6.5 cm, 6 cm

हल:  माना, AC = 6.5 cm, BC = 6 cm , AB = 6.5 cm
∆ ABC में ,
(कर्ण)² = (आधार)² + (लंब)²

[पाइथागोरस प्रमेय द्वारा)

(AC)² = (BC)² + (AB)²
L.H.S. = 6.5² = 42.25 cm
R.H.S. = 6² + 2.5²
= 36 + 6.25
= 42.25 cm
चूंकि, L.H.S. = R.H.S.

पाइथागोरस गुण संतुष्ट होता है।

(ii) 2 cm, 2 cm, 5 cm

हल: माना, AC = 5 cm, BC = 2 cm , AB = 2 cm
∆ ABC में ,
(कर्ण)² = (आधार)² + (लंब)²

[पाइथागोरस प्रमेय द्वारा)

(AC)² = (BC)² + (AB)²
L.H.S. = 5² = 25 cm
R.H.S. = 2² + 2²
= 4 + 4
= 8 cm
चूंकि, L.H.S. ≠ R.H.S.

पाइथागोरस गुण संतुष्ट नहीं होता है।

(iii) 1.5 cm, 2 cm, 2.5 cm समकोण त्रिभुज होने की स्थिति में उसके समकोण को भी पहचानिए।

हल: माना, PR = 2.5 cm, PQ = 2 cm , RQ = 1.5 cm
∆ PQR में ,
(कर्ण)² = (आधार)² + (लंब)²

[पाइथागोरस प्रमेय द्वारा)

(PR)² = (PQ)² + (RQ)²
L.H.S. = 2.5² = 6.25 cm
R.H.S. = 1.5² + 2²
= 2.25 + 4
= 6.25 cm
चूंकि, L.H.S. = R.H.S.

पाइथागोरस गुण संतुष्ट होता है।

प्रश्न 5. एक पेड़ भूमि से 5m की ऊँचाई पर टूट जाता है और उसका ऊपरी सिरा भूमि को उसके आधार से 12 m की दूरी पर छूता है। पेड़ की पूरी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल: माना ABC त्रिभुज है और B वह बिंदु है जहां पेड़ जमीन से 5 मीटर की ऊंचाई पर टूटा है। पेड़ के आधार से AC = 12 m की दूरी पर ट्रीटॉप जमीन को छूता है,

आकृति को देखने से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि A पर समकोण त्रिभुज बनता है।
पाइथागोरस प्रमेय के नियम से,

BC² = AB2 + AC2
BC² = 52 + 122
BC² = 25 + 144
BC² = 169
BC = √169
BC = 13 m

तब, पेड़ की मूल ऊँचाई = AB + BC
= 5 + 13
= 18 m

प्रश्न 6. त्रिभुज PQR में कोण Q = 25° तथा कोण R = 65° है। निम्नलिखित में कौन सा कथन सत्य है ?

(i) PQ² + QR² = RP²
(ii) PQ² + RP² = QR²
(iii) RP² + QR² = PQ²

हल: दिया है कि ∠Q = 25o, ∠R = 65o
तो, P =?

हम जानते हैं कि त्रिभुज के तीनों अंतः कोणों का योग 180° के बराबर होता है।
PQR + ∠QRP + RPQ = 180^o
25^o + 65^o + ∠RPQ = 180^o
90^o + RPQ = 180^o
RPQ = 180 – 90
∠RPQ = 90^o

इसके अलावा, हम जानते हैं कि समकोण के विपरीत पक्ष कर्ण है।
QR² = PQ² + PR²

इसलिए, (ii) सत्य है।

प्रश्न 7. एक आयत की लम्बाई 40 cm है तथा उसका एक विकर्ण 41 cm है। इसका परिमाप ज्ञात कीजिए।

हल: आयत की लंबाई (PR)= 40 cm तथा विकर्ण (PQ) = 41 cm
माना आयत की चौड़ाई (QR) = x cm
समकोण Δ PQR में, पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है:
(कर्ण)² = (आधार)² + (लंब)²

[पाइथागोरस प्रमेय द्वारा)

PR² = RQ² + PQ²
41² = 40² + x²
1681 = 1600 + x²
x² = 1681 – 1600
x² = 81
x = √81
x = 9 cm

आयत की चौड़ाई (QR) = 9 cm

आयत का परिमाप = 2(लंबाई + चौड़ाई)
= 2(40 + 9)
= 2 × 49
= 98 cm

अतः, आयत का परिमाप 98 cm है।

प्रश्न 8. एक समचतुर्भुज के विकर्ण 16 cm तथा 30 cm हैं। इसका परिमाप ज्ञात कीजिए।

हल: माना विकर्ण AC = 30 cm और DB = 16 cm
चूंकि समचतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
इसलिए, OD = DB / 2 = 16/2 = 8 cm और OC = AC / 2 = 30/22 = 15 cm

अब, समकोण ∆ DOC में,

DC² = OD² + OC² [पाइथागोरस प्रमेय द्वारा)
=> DC = 8² + 15²
=> DC = 64 + 225
=> DC = 289
=> DC = √289
=> DC = 17 cm

समचतुर्भुज मैं सभी भुजाओं की लंबाई समान होती है।
AB = BC = CD = AC = 17 cm

अब, समचतुर्भुज का परिमाप = 4 × भुजा
= 4 × 17 = 68 cm

अतः, समचतुर्भुज का परिमाप 68 cm है।

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