NCERT Solution Class 7th Maths Chapter – 6 त्रिभुज और उसके गुण (The Triangle and Its Properties) Exercise – 6.4 in Hindi

NCERT Solution Class 7th Maths Chapter – 6 त्रिभुज और उसके गुण (The Triangle and Its Properties)

NCERT Solution Class 7th Maths Chapter – 6 त्रिभुज और उसके गुण (प्रश्नावली 6.4) in hindi जिसमें हम समरूप त्रिभुज क्या हैं कक्षा 10?, त्रिभुज क्या है इसके प्रकार बताइए तथा इसके अनुप्रयोग लिखिए?, त्रिभुज कैसे लगाएं?, त्रिभुज को कैसे समझें?, दो त्रिभुजों की सर्वांगसमता के लिए कौन सा नियम नहीं है?, कौन सा त्रिभुज नहीं बनाया जा सकता? आदि इसके बारे में हम विस्तार से पढ़ें।

NCERT Solution Class 7th Maths Chapter –  6 त्रिभुज और उसके गुण (The Triangle and Its Properties)

Chapter –  6

त्रिभुज और उसके गुण

प्रश्नावली – 6.4

प्रश्न 1. निम्न दी गई भुजाओं की मापों से क्या कोई त्रिभुज संभव है?

(i) 2 cm, 3 cm, 5 cm

 हल: स्पष्ट रूप से, हमारे पास:
(2 + 3) = 5
5 = 5
इस प्रकार, इनमें से किन्हीं दो संख्याओं का योग तीसरे से बड़ा नहीं है।
अतः एक त्रिभुज बनाना संभव नहीं है जिसकी भुजाएँ 2 सेमी, 3 सेमी और 5 सेमी हों।

(ii) 3 cm, 6 cm, 7 cm

 हल: स्पष्ट रूप से, हमारे पास है:
(3 + 6) = 9 > 7
(6 + 7) = 13 > 3
(7 + 3) = 10 > 6
इस प्रकार, इनमें से किन्हीं दो संख्याओं का योग तीसरी से अधिक है।
अतः एक त्रिभुज बनाना संभव है जिसकी भुजाएँ 3 सेमी, 6 सेमी और 7 सेमी हों।

(iii) 6 cm, 3 cm, 2 cm

हल: स्पष्ट रूप से, हमारे पास है:
(3 + 2) = 5 < 6
इस प्रकार, इनमें से किन्हीं दो संख्याओं का योग तीसरे से कम है।
इसलिए, एक त्रिभुज बनाना संभव नहीं है जिसकी भुजाएँ 6 सेमी, 3 सेमी और 2 सेमी हों।

प्रश्न 2. त्रिभुज PQR के अभ्यंतर में कोई बिंदु O लीजिए।
क्या या सही है की 

(i) OP + OQ > PQ ?
(ii) OQ + OR > QR ?
(iii) OR + OP > RP ?

हल: यदि हम त्रिभुज PQR के अभ्यंतर में कोई बिंदु O लेते हैं और OR, OP, OQ को मिलाते हैं।
फिर, हमें तीन त्रिभुज OPQ, OQR और ORP नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए हैं। 

हम जानते हैं कि
किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई का योग हमेशा तीसरी भुजा से बड़ा होता है।

(i) हाँ, ΔOPQ की भुजाएँ OP, OQ और PQ हैं।
तो, OP + OQ > PQ

(ii) हाँ, ΔOQR की भुजाएँ OR, OQ और QR हैं।
तो, OQ + OR > QR

(iii) हाँ, ORP की भुजाएँ OR, OP और PR हैं।
तो, OR + OP > RP

प्रश्न 3. त्रिभुज ABC की एक माध्यिका AM है। बताइए कि क्या 
AB + BC + CA > 2 AM ? (संकेत : ΔABM तथा AMC की भुजाओं पर विचार कीजिए।)

हल: हम जानते हैं कि,
किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई का योग हमेशा तीसरी भुजा से बड़ा होता है।
अब ABM पर विचार करें,

यहाँ, AB + BM > AM … [समीकरण i]
फिर, ACM पर विचार करें,
AC + CM > AM … [समीकरण ii]

समीकरण [i] और [ii] को जोड़ने पर हमें
AB + BM+ AC + CM > AM + AM
हमारे पास मौजूद आकृति से, BC = BM + CM
AB + BC + AC > 2 AM

इसलिए, दिया गया व्यंजक सत्य है।

प्रश्न 4. ABCD एक चतुर्भुज है। क्या AB + BC + CD + DA  > AC + BD है?

हल: हम जानते हैं कि,
किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई का योग हमेशा तीसरी भुजा से बड़ा होता है।
अब ABC पर विचार करें,

यहाँ, AB + BC > CA … [समीकरण i]
फिर, BCD यहाँ पर विचार करें,
BC + CD > DB … [समीकरण ii]

ΔCDA पर विचार करें,
CD + DA > AC … [समीकरण iii]
विचार करें DAB
यहाँ, DA + AB > DB … [समीकरण iv]

समीकरण [i], [ii], [iii] और [iv] को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है,
AB + BC + BC + CD + CD + DA + DA + AB > CA + DB + AC + DB
2AB + 2BC + 2CD + 2DA > 2CA + 2DB

2 को दोनों तरफ से निकाल लें,
2(AB + BC + CA + DA) > 2 (CA + DB)
AB + BC + CA + DA > CA + DB

अत: दिया गया व्यंजक सत्य है।

प्रश्न 5. ABCD एक चतुर्भुज है। क्या AB + BC + CD + DA < 2 (AC + BD)?

हल: मान लीजिए कि ABCD एक चतुर्भुज है और P वह बिंदु है जहाँ विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं। जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

हम जानते हैं कि
किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई का योग हमेशा तीसरी भुजा से बड़ा होता है।
अब ΔPAB पर विचार करें,

यहां, PA + PB > AB … [समीकरण i]
फिर, PBC पर विचार करें,
PB + PC > BC … [समीकरण ii]
PCD

यहां पर विचार करें, PC + PD > CD … [समीकरण iii]
विचार करें PDA
यहाँ, PD + PA > DA … [समीकरण iv]

समीकरण [i], [ii], [iii] और [iv] को जोड़ने पर हमें
PA + PB + PB + PC + PC + PD + PD + PA प्राप्त होता है। > AB + BC + CD + DA
2PA + 2PB + 2PC + 2PD > AB + BC + CD + DA
2PA + 2PC + 2PB + 2PD > AB + BC + CD + DA
2 (PA + PC) + 2 (PB + PD ) > AB + BC + CD + DA
आकृति से हमें प्राप्त होता है, AC = PA + PC और BD = PB + PD

तब,
2AC + 2BD > AB + BC + CD + DA
2 (AC + BD) > AB + BC + CD + DA

इसलिए, दिया गया व्यंजक सत्य है।

प्रश्न 6. एक त्रिभुज की दो भुजाओं की माप 12 cm तथा  15 cm है। इसकी तीसरी भुजा की माप किन दो मापों  के बीच होनी चाहिए?

हल: हम जानते हैं कि,
किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई का योग हमेशा तीसरी भुजा से बड़ा होता है।
प्रश्न से यह दिया गया है कि त्रिभुज की दो भुजाएँ 12 सेमी और 15 सेमी हैं।

तो, तीसरी भुजा की लंबाई अन्य दो भुजाओं के योग से कम होनी चाहिए,
12 + 15 = 27 सेमी।

फिर, यह दिया गया है कि तीसरी भुजा दो भुजाओं के बीच के अंतर से कम नहीं हो सकती है, 15 – 12 = 3 सेमी

इसलिए, तीसरी भुजा की लंबाई 3 सेमी और 27 सेमी के बीच आती है।