NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग (Some Applications of Trigonometry) Exercises 9.1 in Hindi

NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग (Some Applications of Trigonometry)

NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग (Some Applications of Trigonometry) Example in hindi जिसमे हम त्रिकोणमिति का अध्ययन करने की आवश्यकता क्यों है?, त्रिकोणमिति में थीटा का क्या महत्व है?, यदि त्रिकोणमिति न होती तो क्या होता?, इंजीनियर त्रिकोणमिति का उपयोग कैसे करते हैं?, आप त्रिकोणमिति की तैयारी कैसे करते हैं?, थीटा का उद्देश्य क्या है?, त्रिकोणमिति तालिका का आविष्कार किसने किया था?, त्रिकोणमिति में थीटा का मान कितना होता है?, गणित के बिना दुनिया कैसी दिखेगी?, त्रिकोणमिति सीखने में कितना समय लगता है?, साइन 30 डिग्री का मान कितना होता है?, थीटा का मान कितना होता है?, थीटा कितने प्रकार के होते हैं?, थीटा पावर क्या है? आदि के बारे में पढ़ेंगे।

NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग (Some Applications of Trigonometry)

Chapter – 9

त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग

प्रश्नावली 9.1

1. सर्कस का एक कलाकार एक 20m लंबी डोर पर चढ़ रहा है। जो अच्छी तरह से तनी हुई है भूमि पर सीधे लगे खंभे के शिखर से बंधा हुआ है। यदि भूमि स्तर से साथ डोर द्वारा बनाया गया कोण 30∘का हो तो खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (देखिए आक्रति 9.11)

हल: समकोण Δ ABC में, AB/AC = sin 30⁰

AB/20 = 1/2 ⇒ AB = 1/2 X 20 = 10

खम्भे की ऊंचाई 10 m है

2. आँधी आने से एक पेड़ टूट जाता है। और टुटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है, कि पेड़ का शिखर जमीन को छूने लगता है। और इसके साथ 30∘ का कोण बनता है पेड़ के पाद – बिंदु की दुरी, जहाँ पेड़ का शिखर जमीन को छूता है। पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए

हल: समकोण Δ ABC में,

AB/BC = tan 30⁰

AB/8 = 1/√3

⇒ AB = 8/√3

पुन:,  AC/BC = sec 30⁰

AC/8 = 2/√3

⇒ AC = 2/√3 X 8 = 16/√3

पेड़ की ऊँचाई = AB + AC = 8/√3 + 16/√3 = 24/√3

= 24/√3 X √3/√3 = 8√3 m

इसीलिए पेड़ की ऊँचाई 8√3 m है l

3. एक ठेकेदार बच्चों को खेलने के लिए एक पार्क में दो फिसलनपट्टी लगाना चाहती है। 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए वह एक ऐसी फिसलनपट्टी लगाना चाहती है। जिसका शिखर 1.5 m की ऊँचाई पर हो और भूमि के साथ 30∘ के कोण पर झुका हुआ हो, जबकि इससे अधिक उम्र के बच्चों ले लिए वह 3 m की ऊँचाई पर एक अधिक ढाल की फिसलनपट्टी लगाना चाहती है, जो भूमि के साथ 60∘ का कोण बनाती हो। प्रत्येक स्थिति में फिसलनपट्टी की लंबाई क्या होनी चाहिए ?

हल: समकोण Δ BDE में,

DE/BD = cosec 30⁰

DE/1.5 = 2

DE = 2 X 1.5 = 30

और समकोण Δ ABC में,

AC/AB = cosec 60⁰

⇒ AC/3 = 2/√3

⇒ AC = 2/√3 X 3 = 2√3

फिसलनपट्टी की लंबाई 3 m और 2√3 m है l

4. भूमि के एक बिंदु से, जो मीनार के पाद – बिंदु से 30 m की दुरी पर है, मीनार के शिखर का उनंयन कोण 30∘ है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : मान AB मीनार है जिसकी ऊँचाई h मिटर है और 30 m की दूरी पार मीनार के पाद –  बिंदु पर B एक बिंदु है l C बिंदु से मीनार का उनंयन कोण 30∘ है l

Δ CAB में , हमारे पास है

AB/CA = tan 30⁰ ⇒ h /30 = 1/√3

h = 30/√3 = 10√3

अत: मिटर की ऊँचाई 10√3 m है l

5. भूमि से 60 m की ऊँचाई पर एक पतंग उड़ रही है। पतंग डोरी को अस्थायी रूप से भूमि के एक बिंदु से बांध दिया गया है। भूमि के साथ डोरी का झुकाव 60∘ है। यह मानकर कि डोरी में कोई ढील नहीं है, डोरी कि लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल : मान लीजिए k पतंग है और डोरी जमीन पर बिंदु p से बांध हैl

Δ KLP में,

KL/KP = sin 60⁰

60/kp = √3/2

kp = 120/√3 = 40√3m

इसलिए डोरी  की लबाई 40√3 m है l

6. 1.5m लंबा एक लड़का 30 m ऊँचे एक भवन से कुछ दुरी पर खड़ा है। जब वह ऊँचे भवन की और जाता है। तब उसकी आँख से भवन के शिखर का उनंयन कोण 30∘ से 60∘ हो जाता है बताइए कि वह भवन कि ओर कितनी दुरी तक चलकर गया है।

हल : मान कि OA भवन है और PL लड़का की आरंभिक स्थिति है, इस तरह ∠ APR = 30⁰ l माना कि P से X दूरी तक लड़के की स्थिति MQ है l इस तरह MQ = LM = X तथा, QR = PR – PQ = (PR – X) m यह

∠ AQR = 60⁰

अब Δ ARQ और ARP से हमारे पास है

QR/AR = cot 60⁰ 

⇒ QR = AR cot 60⁰

⇒ QR = AR X 1/3 —— समीकरण (1)

और, PR/AR = cot 30⁰

⇒ PR /AR = √3

⇒ PR = √3 AR —— समीकरण (2)

समीकरण (1) को (2) में से घटाने पर

PQ = PR – QR = √3 AR – AR/√3

(3 – 1) AR/√3 = 2√3/3 __AR

= 2√3/3 X 28.5 = 19√3

(: AR = 30 – 1.5 = 28.5 m )

√3 (30 – x ) = 30/√3 ⇒ √3 (30 – x ) = 19√3

अत: लड़का भवन की ओर  19√3 m तक चलकल गया l

7. भूमि के एक बिंदु से एक 20 m ऊँचे भवन के शिखर पर लगी एक संचार मीनार के तल और शिखर के उनंयन कोण क्रमश :45∘ और 60∘ है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : माना कि BC वह मीनार है l जिसकी ऊंचाई 20 m है और CD पानी की टंकी है जिसकी ऊंचाई x m  हैl

माना कि मीनार B से y m की दूरी पर A एक बिंदु है l

Δ ABC मे, हमारे पास है

BC/AB = tan 45⁰

⇒ 20/y __ 1

⇒ y = 20 अर्थात AB = 20 m

Δ ABC मे , हमारे पास है

BD/AB = ten 60⁰ ⇒ 20 + x /20 = √3

⇒ 20 + x = 20√3

⇒ x = 20 (√3 – 1) m

अत: पानी की टंकी की ऊंचाई  20 (√3 – 1) m है l

8. एक पैंडस्टल के शिखर पर एक 1.46 m ऊँची मूर्ति लगी है। भूमि के एक बिंदु से मूर्ति के शिखर का उन्नयन कोण 60∘ है और बिंदु से पेडस्टल के शिखर का उन्नयन कोण 45∘ है। पेडस्टल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : माना कि BC पैंडस्टल है जिसकी ऊंचाई h m है और CD मूर्ति है जिसकी ऊंचाई 1.6 है।

माना कि भूमि पर A एक बिंदु है इस तरह ∠ CAB = 45⁰ और ∠ DAB = 45⁰ 

Δ ABC और Δ ABD से हमारे पास है

AB/BC = cot 45⁰

⇒ AB /h ⇒ AB = h ——समीकरण (1)

और

BD/AB = tan 60⁰ ⇒ BC +CD /AB = √3

⇒ h + 1.6 / h = √3 ⇒ h + 1.6 = √3

⇒ h (√3 – 1) = 1.6

⇒ h = 1.6 /√3-1 = 1.6/√3-1 x √3+1 / √3+1

= 1.6 (√3+1)/3-1 = 1.6 (√3+1)/2

= 0.8 (√3 + 1)

अत: पैंडस्टल की ऊंचाई 0.8 (√3 + 1) m है|

9. एक मीनार के पाद – बिंदु से एक भवन के शिखर का उनंयन कोण 30^∘ है और भवन के पाद – बिंदु से मीनार के शिखर का उनंयन और बिंदु से कोण 60^∘ है l यदि मीनार 50 m ऊँची हो , तो भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिएl

हल : एक मीनार के पाद – – बिंदु से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है और भवन के पाद – बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। यदि मीनार 50 m ऊँची हो, तो भवन को ऊंचाई ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए AB भवन है और CD मीनार है।
Δ CDB मे,

CB/ BD = tan 60°
50/BD =√3
BD = 50/√3
Δ ABD मे,
AB/BD = tan 30°
AB = 50/√3 x 1/√3 = 50/3 = 16 2/3

भवन की ऊंचाई 16 2/3 m है

10. एक 80m चौड़ी सड़क के दोनों ओर आमने – सामने लंबाई वाले दो खंभे लगे हुए है l इन दोनों खंभो के बीच सड़क के एक बिंदु से खंभों के शिखर के उनंयन कोण क्रमश : 60∘ और 30∘ है l खंभों की ऊँचाई और खंभों से बिंदु की दुरी ज्ञात कीजिए l

हल : माना AD और BC समान ऊँचाई hm के दो खंभे हैं तथा AB = 80m चौड़ी एक सड़क है जिसके बीच बिंदु p है।
माना AP = x m
तो BP = (80 x) m
प्रश्नानुसार, ∠APD = 60° तथा
∠BPC = 30°

अब समकोण ΔAPD में,
tan 60° = AD/AP
⇒ √3 = h/x
⇒ x = h/√3 ———समीकरण (1)
इसी प्रकार, समकोण ΔBPC में,
tan 60° = BC/BP
⇒ 1/√3 = h /80- x
⇒ x = 80 – √3 h ———-समीकरण (2)
समीकरण (i) और (ii) की तुलना करने से,
h/√3 = 80 -√3 h
⇒ h = √3 (80-√3h)
⇒ h = 80√3 – 3h
⇒ 4h = 80√3
h = 20√3
h का मान समीकरण (i) में रखने पर,
X = h/√3 = 20√3 /√3 = 20m
अथवा, AP = x = 20m
BP = 80 – x = 80-20 = 60m
अत: खंभों की ऊँचाई = 20√3 m
खंभों से बिंदु की दूरी = 20m और 60m

11. एक नहर के एक तट पर एक टीवी टॉवर ऊर्ध्वाधरत : खड़ा है l टॉवर के शिखर का उनंयन कोण 60^∘ है इसी तट पर इस बिंदु से 20 m दूर और इस बिंदु को मीनार के पाद से मिलाने वाली रेखा पर स्थिति एक अन्य बिंदु से टॉवर के शिखर का उनंयन कोण 30^∘ है l ( देखिए आकृति 9.12 ) l टॉवर की ऊँचाई और नहर की चौड़ाई ज्ञात कीजिएl

माना टी. वी. टॉवर AB की ऊँचाई hm है जोकि नहर के एक तट पर खड़ा है। दूसरे तट पर बिंदु की टॉवर के पाद-बिंदु से दूरी BC = x m है।
प्रश्नानुसार, ∠ACB = 60°, ∠ADB = 30°, CD = 20m
BC = x m, BD = = (20 + x) m
अब समकोण ΔABC में,
tan 60° = AB/BC
⇒ √3 = h/x
⇒ x = h/ √3 ———-समीकरण (1)
इसी प्रकार, समकोण ΔABD में,
tan 30° = AB/BD
⇒ 1/√3 = h /X + 20
⇒ x + 20= √3 h
⇒ x √3 h
⇒ x = √3 h – 20 ———-समीकरण (2)
h का मान समीकरण (i) में रखने पर,
X = h/√3 = 10√3/√3 = 10 m
अत: टी. वी. की ऊँचाई = 10√3m तथा नहर की चौड़ाई = 10 m

12. 7m ऊँचे भवन के शिखर से एक केवल टॉवर के शिखर का उनंयन कोण 60^∘ है और इसके पाद का अवनमन कोण 45^∘ है l टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए l

माना AC = 7m ऊँचा एक भवन है तथा BE एक केबल टॉवर है।
प्रश्नानुसार, ∠DCE = 60°
और ∠BCD = ∠ABC = 45°
AC = BD = 7 m

माना DE = h m

अब समकोण Δ ABC में,
AC/AB = 1
या AB = 7
परन्तु AB = CD = 7 ———-समीकरण (1)

इस प्रकार, समकोण Δ DCE में,
DE/CD = tan 600
h/7 = √3
या h = 7√3 ———-समीकरण (2)

अत: केवल टॉवर की ऊँचाई (BE) = BD + DE
= (7 + 7√3)m
= 7(1 + √3)m

13. समुद्र – तल से 75 m ऊँची लाइट हाउस के शिखर से देखने पर समुद्र जहाजों के अवनमन कोण 30^∘ और 45^∘ है l यदि लाइट हाउस के एक ही ओर एक जहाज के ठीक पीछे हो तो दो जहाजों के बीच की दुरी ज्ञात कीजिए l

माना D एक लाइट हाउस जो समुद्र के तल C से 75 m ऊँचा है। समुद्र तल पर दो जहाज A और B के अवनमन कोण क्रमश: 30° और 45° हैं।

माना AB = x m तथा BC = y m

प्रश्नानुसार,
∠DAC = 30° और ∠DBC = 45°

अब समकोण Δ BCD में,
tan 45° = CD/BC
⇒ 1= 75/Y
⇒ Y = 75 m ———-समीकरण (1)

इसी प्रकार, समकोण Δ ACD में,
tan 30° = CD / AB + BC
⇒ 1/√3 = 75/X + Y
⇒ X + Y = 75√3
⇒ Y = (75 √3 – X)m ———-समीकरण (2)

समीकरण (i) और (ii) की तुलना करने से,

75 = 75√3 – x
⇒ x = 75√3 – 75
⇒ = 75 (√3 – 1 )m

अत: दोनों जहाजों के बीच की दूरी = 75 (√3 – 1 )m

14. 1.2 m लंबी एक लड़की भूमि से 88.2 m की ऊँचाई पर एक क्षैतिज रेखा में हवा में उड़ रहे गुब्बारे को देखती है l किसी भी क्षण लड़की की आँख से गुब्बारे का उनंयन कोण 60^∘ है l कुछ समय बाद उनंयन कोण घटकर 30^∘ हो जाता है ( देखिए आक्रति 9.13) l इस अंतराल के दौरान गुब्बारे द्वारा तय की गई दुरी ज्ञात कीजिए l

माना AB = 12 m लंबी एक लड़की है। E तथा F गुब्बारे की दो विभिन्न स्थितियाँ हैं जिनके लड़की की आँख से उन्नयन कोण क्रमश: 60° और 30° हैं।

अब समकोण Δ EAG में,

tan 60° = EG/AG
⇒ √3 = 87/AG
⇒ AG = 87/ √3 m
87 /√3 x √3/√3 = 87√3/3m
= 87 x 1.732/3 ___ m = 50.23 metres

इसी प्रकार, समकोण A FAC में,

tan 30° = FC/AC
1/√3 = 87/AC
AC = 87√3 m
=AC (87 x 1.732) metres
= 150.68 m

अत: गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी = EF =GC = AC – AG
=(150.68-50.23) m= 100.45 m

15. एक सीधा राजमार्ग एक मीनार के पाद तक जाता है l मीनार के शिखर पर खड़ा एक आदमी एक कार को 30^∘ के अवनमन कोण पर देखता है जो की ओर एक सामान चाल से जाता है छ : सेकंड बाद कार का अवनमन कोण 60^∘ हो गया l इस बिंदु से मीनार के पाद तक पहुंचने में कार द्वारा लिया गया समय ज्ञात कीजिए l

माना CD एक मीनार है जिसकी ऊँचाई h m है। इसके शिखर D से कार की स्थिति A और B के क्रमश: अवनमन कोण 30° और 60° है अर्थात् angle DAC 30 और DBC 60
माना कार की चाल = v m/s
तो 6 सेकेंड में कार द्वारा चली गई दूरी AB = 6v m
माना B से C तक पहुँचने में लिया गया समय = t सेकेंड
तो दूरी BC = vt m

अब समकोण ABCD में,

tan 60° = CD/BC
⇒ √3 = h/vt
⇒ h = √3 vt ———-समीकरण (1)

इसी प्रकार, ΔACD में,
tan 30° = CD /AC
⇒ 1/√3 = h /6V + vt
⇒ 6v + vt = √3 h
⇒ h = 6v+ vt/√3(2)

समीकरण (i) और (ii) की तुलना करने से, ———-समीकरण (2)
√3 vt = 6v+ vt/√3
⇒ √3 x√3vt = 6v + vt
⇒ 3vt = 6v + vt
⇒ 3vt – vt = 6v
⇒ vt (3 – 1) = 6v
⇒ t x 2 = 6
⇒ t = 3
अत: कार द्वारा B से C तक पहुँचने में लगा समय = 3 सेकेंड

• Examples

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus (2023-2024) All Chapter in Hindi Medium

• अध्याय – 1 वास्तविक संख्याएँ
• अध्याय – 2 बहुपद
• अध्याय – 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
• अध्याय – 4 द्विघात समीकरण
• अध्याय – 5 समांतर श्रेढ़ियाँ
• अध्याय – 6 त्रिभुज
• अध्याय – 7 निर्देशांक ज्यामिति
• अध्याय – 8 त्रिकोणमिति का परिचय
• अध्याय – 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
• अध्याय – 10 वृत्त
• अध्याय – 11 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
• अध्याय – 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
• अध्याय – 13 सांख्यिकी
• अध्याय – 14 प्रायिकता

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