NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 8 त्रिकोणमिति का परिचय (Introduction of Trigonometry) Exercise – 8.3 in hindi

NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 8 त्रिकोणमिति का परिचय (Introduction of Trigonometry)

NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 8 त्रिकोणमिति का परिचय (Introduction of Trigonometry) Exercise – 8.3 in hindi जिसमें हम त्रिकोणमिति के नियम क्या है?, त्रिकोणमिति में थीटा का मान कितना होता है?, थीटा कितने प्रकार के होते हैं?, थीटा का मतलब क्या होता है?, थीटा की खोज किसने की थी?, त्रिकोणमिति का उपयोग, त्रिकोणमिति का परिचय सूत्र, त्रिकोणमिति के सभी सूत्र, त्रिकोणमिति का इतिहास, त्रिकोणमिति की खोज किसने की थी, त्रिकोणमिति अनुपात एवं सर्वसमिकाएँ, त्रिकोणमिति का परिचय 8, त्रिकोणमिति अनुपात सूत्र, आदि इसके बारे में हम विस्तार से हल करेंगे।

NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 8 त्रिकोणमिति का परिचय (Introduction of Trigonometry)

Chapter – 8

त्रिकोणमिति का परिचय

Exercise – 8.3

प्रश्न 1. त्रिकोणमितीय अनुपातों sin A, sec A और tan A को cot A के पदों में व्यक्त कीजिए।

हल: Δ ABC लें, जिसमें ∠B = 90°
∠A के लिए,
आधार = AB, लंब = BC और कर्ण = AC
∴ cot A = आधार/लंब = AB/BC
⇒ AB/BC = cot A = cot A/1
माना AB = ℜ cot A और BC = ℜ

तब, AC = √AB² + BC² = √ℜ² cot² A + ℜ²
= ℜ √1+ cot² A
∴ sin A = लंब/कर्ण = BC/AC = ℜ/ℜ√1 + cot² A
= 1/√1 + cot² A
sec A = कर्ण/आधार = AC/AB = ℜ√1 + cot² A/ℜ cot A
= √1 + cot² A/cot A
और, tan A = लंब/आधार = BC/AB = ℜ/ℜ cot A = 1/cot A

प्रश्न 2. ∠A के अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को sec A के पदों में लिखिए।

हल: ∠A के लिए, हमारे पास है
आधार = AB, लंब = BC और कर्ण = AC
∴ sec A = कर्ण/आधार = AC/AB
⇒ AC/AB = sec A = sec A/1
⇒ AB/AC = 1/sec A= 1/sec A/1 (इसे ध्यान रखें)
माना AB = ℜ (1/sec A), AC = ℜ(1)

तब, BC = √AC² – AB² = √ℜ² – ℜ² (1/sec² A)
= ℜ √sec² A – 1/sec² A = ℜ√sec² A – 1/sec A
∴ sin A = BC/AC = ℜ√sec² A – 1/sec = A/ℜ
cos A = AB/AC = ℜ (1/sec A)ℜ = 1/sec A
tan A = BC/AB = ℜ√sec² A – 1/sec A/ℜ(1/sec A) = √sec² A -1
cot A = 1/tan A = 1/√sec² A – 1
cosec A = 1/sin A = sec A/√sec² A – 1

प्रश्न 3. सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प की पुष्टि कीजिए :

(i) 9 sec² A – 9 tan² A  बराबर है :
(A) 1 (B) 9 (C) 2 (D) 0

हल: (B), क्योंकि
9 sec² A – 9 tan² A = 9 (sec² A – tan² A)
= 9 X 1 = 9

(ii) (1 + tan θ + sec θ)(1 + cot θ – cosec θ) बराबर है :
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) – 1

हल: (C) क्योंकि
(1 + tan θ + sec θ) (1+ cot θ – cosec θ)
= (1 +/sin θ/cos θ + 1/cos θ) (1 + cos θ/sin θ – 1/sine θ )
= (cos θ + sin θ + 1/cos θ) (sin θ + cos θ – 1/sin θ)
= (cos θ +  sin θ)² – 1/sin θ cos θ
= (cos² θ + sin² θ) + 2 cos sin θ – 1/sin θ cos θ
= 1 + 2 cos θ sin θ – 1/sin θ cos θ = 2 cos θ sin θ/sin θ cos θ = 2

(iii) (sec A + tan A)(1 – sin A) बराबर है :
(A) sec A (B) sin A (C) cosec A (D) cos A

हल: (D) क्योंकि
(sec A + tan A) (1 – sin A)
= (1/cos A + sin A/ cos A) (1 – sin A)
= (1 + sin A/cos A) (1 – sin A)
= 1 – sin² A/cos A = cos² A/cos A = cos A

(iv) 1 + tan² A/1 +cot² A बराबर है :
(A) sec² A (B) – 1 (C) cost² A (D) tan² A

हल: (D) क्योंकि
1 + tan² A/1 + cot² A = 1 + tan² A/1 + 1/ tan² A = 1 +tan² A/tan² A + 1/tan² A
=(1 + tan² + A) × tan² A/1 + tan² A = tan² A

4. निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ सिद्ध कीजिए, जहाँ वे कोण, जिनके लिए व्यंजक परिभाषित है, न्यून कोण है:

(i) (cosec 0 – cot 0)² = 1 – cos 0/1 + cos 0

हल: हमारे पास है,
L.H.S. = (cosec 0 – cot 0)²
= (1/sin 0 – cos 0/sin 0)² = (1 – cos 0/sin 0)²
= (1-cos 0)²/sin² 0 = (1 – cos 0)² / 1- cos² 0
[∴ sin² 0 = 1 – cos² 0]
= (1 – cos 0)²/(1 – cos 0) (1 + cos 0) = 1 – cos 0/1 + cos  0
= R.H.S.

(ii) cos A/1 + sin A + 1 + sin A/cos A = 2 sec A

हल: हमारे पास है,
L.H.S = cos A/1 + sin A + 1 + sin A/cos A
= cos² A + (1 + sin A)² / cos A (1 + sin A)
= cos² A + 1 + 2 sin A + sin² A/cos A(1 + sin A)
= (cos² A + sin² A) + 1 + 2 sin A/cos A( + sin A)
= 1 + 1 + 2 sin A/cos A(1 + sin A) [∴ sin² A + cos² A = 1]
= 2 + 2 sin A/cos A(1 + sin A) = 2(1 + sin A)/cos A(1 + sin A)
= 2/cos A = 2 sec A = R.H.S.

(iii) tan 0/1 – cot 0 + cot/1 – tan 0 = 1 + sec 0 coses 0 
[संकेत: व्यंजक को sin 0 और cos 0 के पदों में लिखिए।

हल: हमारे पास है,
L.H.S. = tan 0/1 – cot 0 + cot 0/1 – tan 0
= tan 0/1 -1/tan 0 + 1/tan 0/1 – tan 0
= tan 0/tan 0 – 1/tan 0 + 1/tan 0 (1 – tan 0)
= tan²0/tan 0 – 1 + 1/tan 0 (1 – tan 0)
= tan²0/tan 0 – 1 – 1/tan 0 (tan 0 – 1)
= tan³0 – 1/tan 0 (tan 0 – 1)
= (tan 0 – 1) (tan²0 + tan 0 + 1/tan 0 – 1)
[∴ a³ -b³ = (a -b)(a² + ab + b²)]
= tan² 0 + tan 0m + 1/tan 0
= tan² 0/tan 0 + tan 0 tan 0 + 1/tan 0
= tan 0 + 1 + cot 0 = 1 + tan 0 + cot 0
= 1 + sin 0/cos 0 + cos 0/sin 0

(iv) 1 + sec A/sec A = sin² A/1 – cos A
[संकेत: वाम पक्ष और दाँया पक्ष को अलग-अलग सरल कीजिए।]

हल: हमारे पास है,
R.H.S. = sin² A/1 – cos A = 1 – cos² A/1 – cos A
[∴ sin² A = 1 – cos² A]
= (1 – cos A)(1 + cos A)/1 – cos A = 1 + cos A
= 1 + 1/sec = 1 + sec A/sec A = L.H.S.

(v) सर्वसमिका cosec² A = 1 + cot² A को लागू करके
cos A – sin A + 1/cos A + sin A – 1 = cosec A + cot A

हल: हमारे पास है,
L.H.S. = cos A – sin A + 1/cos A + sin A – 1
cos A – sin A + 1/sin A
= cos A + sin A – 1/sin A
=  cot A – 1 + coses A/cot A + 1 – cosec A
= cot A + cosec A – (cosec² A – cot² A)/cot A – cosec A + 1
[∴ cosec² A – cot² A = 1]
= cot A + cosec A – (cosec A + cot A)(cosec A – cot A)/cot A – cosec A + 1
= (cosec A + cot A)[1 – (cosec A + cot A)]/cot A – cosec A + 1
= (cosec A + cot A)(cot A – cosec A + 1)/cot A – cosec A + 1
= cosec A + cot A = R.H.S.

(vi) √ 1 + sin A/1 – sin A = sec A + tan A

हल: हमारे पास है,
L.H.S = √1 + sin A/1 – sin A = √1 + sin A/1 – sin A × 1 + sin A/1 + sin A
[√1 + sin A द्वारा गुणा करने व भाग देने पर]
= √(1 + sin A)²/ 1 – sin² A = √(1 + sin A)²/cos² A
= √(1 + sin A)²/cos² A = 1 + sin A/cos A
= 1/cos A + sin A/cos A = sec A + tan A
= R.H.S

(vii) sin θ – 2 sin³ θ/2 cos³ θ – cos θ

हल: हमारे पास है,
L.H.S = sin θ – 2 sin³ θ/2 cos³ θ – cos θ = sing θ (1 -2 sin² θ)/cos θ (2 cos² θ – 1)
= tan θ [1 – 2 sin² θ/2(1 – sin² θ) – 1]
= tan θ [1 – 2 sin² θ/2 – 2 sin² θ – 1]
= tan θ [1 – 2 sin² θ/1 -2 sin² θ – 1] = tan θ × 1
= tan θ = R.H.S.

(viii) (sin A + cosec A)² + (cos A+ sec A)² = 7 + tan² A + cot² A

हल: हमारे पास है,
L.H.S = (sin A + Cosec A)² + (cos A + sec A)²
= (sin² A + cosec² A + 2 sin A cosec A) + (cos² A + sec² A + 2 cos A sec A)
= (sin² A + cosec² A + 2 sin A 1/sin A) + (cos² A + sec² A + 2 cos A 1/cos A)
= (sin² A + cosec² A + 2) + (cos² A + sec² A + 2)
= sin² A + cos² A + cosec² A + sec² A + 4
= 1 + (1 + cot² θ) + (1 + tan² A) + 4
= 7 + tan² A + cot² A = R.H.S
[∴cosec² A = 1 + cot² A और sec² A = 1 + tan² A]

(ix) (cosec A – sin A) (sec A – cos A) = 1/tan A + cot A

हल: हमारे पास है,
L.H.S. = (cosec A – sin A) (sec A – cos A)
= (1/sin A – sin A) (1/cos A – cos A)
= (1 – sin² A/sin A) (1 – cos² A/cos A
= cos² A/sin A × sin² A/cos A = sin A cos A
= sin A cos A/sin² A + cos² A
[∴ sin² A + cos² A = 1]
= sin A cos A/sin A cos A / sin² A/sin A cos A + cos² A/sin A cos A = 1 / sin A/cos A + cos A/sin A
= 1/tan A + cot A = R.H.S.

(X) (1 + tan² A/1 + cot² A) = 1 – tan A/1 – cot A)² = tan² A

हल: हमारे पास है,
L.H.S. = (1 + tan² A/1 + cot² A) = sec² A/cosec² A
= 1/cos² A × sin² A/1 = tan² A
R.H.S. = (1 – tan A/1 – cot A)² = (1 – tan A / 1 – 1/tan A)²
= (1 – tan A / tan A – 1/tan A)² = (-tan A)² = tan² A
∴ L.H.S. = R.H.S.

• Examples
• Exercise – 8.1
• Exercise – 8.2

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus (2023-2024) All Chapter in Hindi Medium

• अध्याय – 1 वास्तविक संख्याएँ
• अध्याय – 2 बहुपद
• अध्याय – 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
• अध्याय – 4 द्विघात समीकरण
• अध्याय – 5 समांतर श्रेढ़ियाँ
• अध्याय – 6 त्रिभुज
• अध्याय – 7 निर्देशांक ज्यामिति
• अध्याय – 8 त्रिकोणमिति का परिचय
• अध्याय – 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
• अध्याय – 10 वृत्त
• अध्याय – 11 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
• अध्याय – 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
• अध्याय – 13 सांख्यिकी
• अध्याय – 14 प्रायिकता

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