NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 7 निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry) Exercises 7.1 in Hindi

NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 7 निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry)

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NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 7 निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry)

Chapter – 7

निर्देशांक ज्यामिति

Exercise 7.1

प्रश्न 1. बिंदुओं के निम्नलिखित युग्मों के बीच की दूरियाँ ज्ञात कीजिए:

(i) (2, 3), (4, 1)
(iii) (-5, 7), (- 1, 3)
(iii) (a, b), (-a, -b)

हल: (i) मान लीजिए P(2, 3) और Q(4, 1) दिए गए बिंदु हैं।
यहाँ, x₁ = 2, y₁ = 3 और x₂ = 4, y₂ = 1

∴ PQ = √ (x₂ – x₁)² + (Y₂ – Y₁)²
⇒ PQ = √ (4 – 2)² + (1 – 3)²
= √ (2)² + (-2)²
⇒ PQ = √4 + 4 = √8 = 2 √2

(ii) मान लीजिए P(- 5, 7) और Q (- 1, 3) दिए गए बिंदु हैं।
यहाँ, x₁ = – 5, y₁ = 7 और x₂ = -1, y₂ = 3

∴ PQ = √ (x₂ – x₁)² + (Y₂ – Y₁)²
⇒ PQ = √ (-1 + 5)² + (3 – 7)²
= √ (4)² + (-4)²
PQ = √16 + 16 = √32 = √16 x 2 = 4 √2

(iii) मान लीजिए P(a, b) और Q( – a, – b) दिए गए बिंदु हैं। यहाँ, x₁ = a, y₁ = b और x₂ = –a, y₂ = -b

∴ PQ = √ (x₂ – x₁)² + (x₂ – Y₁)²
⇒ PQ = √ (-a – a)² + (-b – b)²
= √ (-2a)² + (-26)²
⇒ PQ = √ 4a² + 4b² = 2 √a² + b²

प्रश्न 2. बिंदुओं (0, 0) और (36, 15) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। क्या अब आप अनुच्छेद 7.2 में दिए दोनों शहरों A और B के बीच की दूरी ज्ञात कर सकते हैं?

हल: मान लीजिए P(0, 0) और Q(36, 15) दिए गए बिंदु हैं।
यहाँ, x₁ = 0, y₁ = 0 और x₂ = 36, y₂ = 15

∴ PQ = √ (x₂ – x₁)² + (y₂ – Y₁)²
⇒ PQ = √ (36 – 0)² + (15 – 0)²
= √ 1296 + 225
= √ 1521 = 39

वस्तुतः, A और B शहरों की स्थिति क्रमश: (0, 0) और (36, 15) द्वारा दी गई है। अतः उनके बीच की दूरी 39 कि.मी. होगी, जैसा कि ऊपर गणना से स्पष्ट है।

प्रश्न 3. निर्धारित कीजिए कि क्या बिंदु (1, 5), (2, 3) और (-2, -11) सरेखी हैं।

हल: मान लीजिए A(1, 5), B(2, 3) और C(-2, -11) दिए गए बिंदु हैं। तब हमें दिया है:

AB = √ (2 – 1)² + (3 – 5)² = √12 + (-2)²
= √ 1 + 4 = √ 5
BC = √ (-2 – 2)² + (-11 – 3)²
= √ (-4)² + (-14)²
= √ 16 + 196 = √ 212
= √4 × 53 = 2 √53
तथा, AC = √ (2 – 1)² + (-11 – 5)²
= √ (-3)² + (-16)²
= √ 9+ 256 = √ 265

स्पष्ट है, BC ≠ AB + AC, AB ≠ BC + AC और AC ≠ BC
अत:, A, B और C सरेखी नहीं हैं।

प्रश्न 4. जाँच कीजिए कि क्या बिंदु (5, -2), (6, 4) और (7, – 2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

हल: मान लीजिए A(5, – 2), B(6, 4) और C(7, – 2) दिए गए हैं।
तब, AB = √(6 – 5)² + (4 + 2)²
= √ 1 + 36 √ 37
BC = √ (7 – 6)² + (-2 – 4)²
= √ 1+36 = √ 37

स्पष्ट है, AB = BC
∴ Δ ABC समद्विबाहु त्रिभुज है।

प्रश्न 5. किसी कक्षा में, चार मित्र बिंदुओं A, B, C और D पर बैठे हुए हैं, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। चंपा और चमेली कक्षा के अंदर आती हैं और कुछ मिनट तक देखने के बाद, चमेली से पूछती है, ‘क्या तुम नहीं सोचती हो कि ABCD एक वर्ग है?’ चमेली इससे सहमत नहीं है। दूरी सूत्र का प्रयोग करके बताइए कि इनमें कौन सही है?

हल: चित्र से स्पष्ट है कि बिंदु A, B, C और D के निर्देशांक (3, 4), (6, 7), (9, 4) और (6, 1) हैं।
दूरी सूत्र का प्रयोग करने पर:

AB = √ (6 – 3)² + (7 – 4)²
= √ 9 + 9 = √18 = 3 √2
BC = (9 – 6)² + ( 4 – 7)²
= √ 9+9 = √18 = 3√2
CD = √ (6 – 9)² + (1 – 4)²
= √ 9 + 9= √18 = 3 √2
और, DA = √ (3 – 6)² + (4 -1)²
⇒ AB = BC = CD = DA = 3 √2
तथा, AC = √ (9 – 3)² + (4 – 4)²
= √ 36 + 0 = √ 36 = 6
और, BD = √ (6 – 6)² + (1 – 7)²
= √ 0 + 36 = √ 36 = 6
⇒ AC = BD = 6

इस प्रकार, चारों भुजाएं बराबर हैं और विकर्ण भी बराबर हैं। इसलिए ABCD एक वर्ग है।
अतः, चम्पा सही है।

प्रश्न 6. निम्नलिखित बिंदुओं द्वारा बनने वाले चतुर्भुज का प्रकार (यदि कोई है तो) बताइए तथा अपने उत्तर के लिए कारण भी दीजिए:

(i) (-1, -2), (1, 0), (1, 2), (-3, 0)
(ii) (-3, 5), (3, 1), (0, 3), (-1, -4)
(iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)

हल: (i) मान लीजिए A( -1, –2), B(1, 0), C(- 1, 2) और D(-3, 0) दिए गए बिंदु हैं।
तब, AB = √ (1 + 1)² + (0 + 2)² = √4 + 4 = √8
BC = √ (-1 – 1)² + (2 – 0)² = √4 + 4 = √8
CD = √ (-3 + 1)² + (0 – 2)² = √4 + 4 = √8
DA = √ (-1 + 3)² + (-2 – 0)² = √4 + 4 = √8
तथा, AC = √ (−1 + 1)² + (2 + 2)² = √0 + 16 = 4
और, BD = √(-3 −1)² + (0 – 0)² = √16 + 0 = 4

स्पष्ट है, चारों भुजाएं AB, BC, CD और DA बराबर हैं। साथ ही विकर्ण AC और BD बराबर हैं।
∴ चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है।

(ii) मान लीजिए A(-3, 5), B(3, 1), C(0, 3) और D(- 1, – 4) दिए गए बिंदु हैं।

इन बिंदुओं को चित्रानुसार आलेखित करें।
स्पष्ट है, बिंदु A, C और B सरेखी हैं। अतः इन बिंदुओं से कोई चतुर्भुज नहीं बनेगा।

(iii) मान लीजिए A(4, 5), B(7, 6), C(4, 3) और D(1, 2) दिए गए बिंदु हैं।
तब, AB = √ (7 – 4)² + (6 – 5)² = √ 9+1 = √10
BC = √ (4 – 7)² + (3 – 6)² = √ 9 + 9 = √18
CD = √ (1 – 4)² + (2 – 3)² = √9 + 1 = √10
DA = √ (4 – 1)² + (5 – 2)² = √9 +9 = √18
तथा, AC = √ (4 – 4)² + (3 – 5)² = √0 + 4 = √4 =2
और, BD = √(1 − 7)² + (2 − 6)² = √36 + 16 = √52

स्पष्ट है, AB = CD, BC = DA और AC ≠ BD
∴ चतुर्भुज ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

प्रश्न 7. x-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो (2, – 5) और (- 2, 9) से समदूरस्थ है।

हल: चूँकि x-अक्ष पर स्थित प्रत्येक बिंदु की कोटि 0 है।
इसलिए P(x, 0), x-अक्ष पर कोई एक बिंदु है।
चूँकि P(x, 0) बिंदु, A (2, – 5) और B (– 2, 9) समदूरस्थ है।

∴ PA = PB ⇒ _PA2 = PB2
⇒ (x – 2)² + (0 + 5)² = (x + 2)² + (0 – 9)²
⇒ x² – 4x + 4 + 25 = x² + 4x + 4 + 81
⇒ -4x – 4x = 81-25
⇒ -8x = 56
⇒ x = 56/-8 = -7

∴ x-अक्ष पर दिए गए बिंदु से समदूरस्थ बिंदु (– 7, 0) है।

प्रश्न 8. y का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए बिंदु P(2, – 3) और Q(10, y) के बीच की दूरी 10 मात्रक है।

हल: P(2, – 3) और Q(10, y) दिए गए बिंदु हैं।
इस तरह, PQ = 10 मात्रक
लेकिन, PQ = (10 – 2)² + (y + 3)²
10 = 64 + y² + 6y + 9 [दोनों तरफ वर्ग करने पर]
⇒ 100 = 73 + y² + 6y
⇒ y² + 6y – 27 = 0 ⇒ (y + 9)(y – 3) = 0
⇒ y = -9 या 3

इसलिए, y का संभावित मान 3 या 9 होगा।

प्रश्न 9. यदि Q(0, 1), बिंदुओं P(5, – 3) और R(x, 6) से समदूरस्थ है, तो x का मान ज्ञात कीजिए। दूरियाँ QR और PR भी ज्ञात कीजिए।

हल: चूँकि बिंदु Q(0, 1) बिंदु, P(5, 3) और R(x, 6) से समदूरस्थ है
इसलिए, QP = QR ⇒ QP² = QR²
⇒ (5 – 0)² + (-3 – 1)² = (x – 0)² + (6 – 1)²
⇒ 25 + 16 = x² + 25
⇒ x2 = 16 ⇒ x = ± 4

इस प्रकार, R है: (4, 6) या (– 4, 6)
अब, QR = Q(0, 1) और R(4, 6) के बीच की दूरी
= √ (4 – 0)² + (6 – 1)² = √16 + 25 = √41

साथ ही, QR = Q(0, 1) और R(– 4, 6) के बीच की दूरी
= (-4 – 0)² + (6 – 1)²
= √16 + 25 = √41

और, PR = P(5, – 3) और R(4, 6) के बीच की दूरी
= √ (4 – 5)² + (6 + 3)²
= √82 + 81 = 9√2

साथ ही, PR = P(5, – 3) और R(– 4, 6) के बीच की दूरी
= √ (-4 – 5)² +(6 + 3)² = √81 + 81 = 9 √2

प्रश्न 10. x और y में एक ऐसा संबंध ज्ञात कीजिए कि बिंदु (.x, y), बिंदुओं (3, 6) और (- 3, 4) से समदूरस्थ हो।

हल: मान लीजिए बिंदु P(x, y), बिंदु A (3, 6) और B (- 3, 4) से समदूरस्थ है।
अर्थात्, PA = PB
⇒ PA² = PB²
⇒ (x – 3)² + (y – 6)² = (x + 3)² +(y – 4)²
⇒ x² – 6x + 9 + y² – 12y + 36 = x² + 6x + 9 + y² – 8y + 16
⇒ – 6x – 6x – 12y + 8y + 36 – 16 = 0
⇒ -12x – 4y + 20 = 0
अतः, 3x + y – 5 = 0, वांछित संबंध है।

• Examples
  
• Exercise 7.2

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus (2023-2024) All Chapter in Hindi Medium

• अध्याय – 1 वास्तविक संख्याएँ
• अध्याय – 2 बहुपद
• अध्याय – 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
• अध्याय – 4 द्विघात समीकरण
• अध्याय – 5 समांतर श्रेढ़ियाँ
• अध्याय – 6 त्रिभुज
• अध्याय – 7 निर्देशांक ज्यामिति
• अध्याय – 8 त्रिकोणमिति का परिचय
• अध्याय – 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
• अध्याय – 10 वृत्त
• अध्याय – 11 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
• अध्याय – 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
• अध्याय – 13 सांख्यिकी
• अध्याय – 14 प्रायिकता

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