NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables) Exercises 3.2 in Hindi

NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables)

NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables) Exercise 3.2 in Hindi Medium जिसमे हम रेखीय समीकरण क्या हैं?, रैखिक समीकरणों के उदाहरण क्या हैं?, परिवर्तनशील क्या है?, सरल समीकरण क्या है?, ढलान का पता कैसे लगाएं?, समीकरण किसे कहते हैं?, संतुलन विधि क्या है?, बीजगणितीय नियम क्या है?, बच्चों के लिए एक समीकरण क्या है?, क्या कोई समीकरण असत्य हो सकता है?, एक समीकरण क्या है? आदि के बारे में पढ़ेंगे।

NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables)

Chapter –3

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म

Exercises 3.2

1. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए

(i) x + y = 14
x – y = 4

(ii) S – T = 3
(S / 3) + (T / 2) = 6

(iii) 3x – y = 3
9x – 3y = 9

(iv) 0.2x + 0.3y = 1.3
0.4x + 0.5y = 2.3

(v) 2 x+
√3 y = 0 √3 x-√8 y = 0

(vi) (3x/2) – (5y/3) = -2
(x/3) + (y/2) = (13/6)

हल: (i) दिया गया समीकरण युग्म है
x + y = 14 ……….. (1)
और x – y = 4 ……….. (1)

समीकरण (1) से, y= 14 -x

y = 14 – x को समीकरण (2) में रखने पर
x – (14 – x) = 4
⇒ x -14+x = 4
2x = 4 + 14
⇒ 2x = 18
x = 9

x= 9 को समीकरण (1) में रखने पर
9 + y = 14
⇒ y = 14 – 9
⇒ y=5

अतः दिये गये समीकरण निकाय का हल
x = 9, y = 5 है।

(ii) दिया गया समीकरण युग्म है
s – t = 3 ……….. (1)
s\3 + t \2 = 6 ……….. (2)

समीकरण (1) से, s = 3+t

S = 3 + t को समीकरण (2) में रखने पर
3 + t\ 3 + t\2 =6
⇒ 2(3+t)+ 3t = 36
⇒ 6+2t+ 3t= 36
⇒ 5t =30
t =6

अतः दिये गये समीकरण निकाय का हल
s = 9, t= 6 है

(iii) दिया गया समीकरण युग्म है।
3x-y=3…(1)
और 9x-3y=9 …(2)

समीकरण (1) से, y = 3x – 3
समीकरण (2) में y = 3x – 3 का मान रखने पर
9x-3(3x-3)=9
⇒ 9x-9x+9=9
⇒ 9 = 9

यह समीकरण निकाय x के सभी मानों के लिये सत्य है क्योंकि हम
अलग से x का मान प्राप्त नहीं कर सकते। अतः हमें y का कोई अलग से
मान नहीं प्राप्त हो सकेगा। यह स्थिति उस समय आती है जब दोनों
समीकरण समान हों।

समीकरण (1) व (2) के अनंत हल होंगे 

(iv) दिया गया समीकरण युग्म है
0.2x+0.3y= 1.3
⇒ 2x+3y= 13 …(1)
3 0.4x+0.5y = 2.3
⇒ 4x+5y = 23 … (2)

समीकरण (2) से, 5y = 23 – 4x
⇒ y= 23-4x \5

y = 23-4x \5 का मान समीकरण (1) में रखने पर
2x+3(23-4x\5) =13
⇒10x+69-12x=65
⇒-2x=-4
⇒ x=2

समीकरण (1) में x=2 रखने पर
2×2 +3y=13
⇒3y=13-4=9
⇒ y= 9\3=3

अतः दिये गये समीकरण निकाय का हलx=2, y=3 होंगे 

(v) दिया गया समीकरण युग्म है
√2x + √3y = 0 …(1)

3√3x-√8y = 0 …(2)

समीकरण (2) से,

√8y = √3x
⇒ y =√3x\√8

समीकरण (1) में y = √3x \ √8रखने पर
√2x + √3(√3x\ √8) = 0

⇒ √2x+ 3x\√8 =0

√16x+3x=0
⇒ 4x+3x=0
⇒7x=0
⇒ x=0
समीकरण (1) में s = 0 रखने पर

0+√3 = 0
⇒ y = 0

अतः  समीकरण (1) में s = 0,y=0

(vi) दिया गया समीकरण युग्म है
3x\ -5y\ 3 = -2
⇒9x+ 10y = -12 …(1)
X\3+Y\2= 13\6
⇒ 2X+3Y=13 …(2)

समीकरण (2) से,10y = 9x+12
y =9x+12\10
समीकरण (2) में y= 9x +12\10 रखने पर

2x +3(9x +12\10)=13
⇒ 20x+27x+36=130
⇒ 47x=130-36
⇒ 47x=94
⇒ x= 94\47=2

समीकरण (1) में x=2 रखने पर
9×2-10y=-12
⇒ 10y=-12-18
⇒-10y=-30
⇒ y= -30\-10 =3

अतः दिये गये समीकरण निकाय का हलx=2, व y=3 होंगे

प्रश्न 2. 2x + 3y = 11 और 2x – 4y = 24 को हल कीजिए और
इससे ‘m’ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए y = mx + 3 हो।

हल: दिये गये समीकरण हैं
2x+3y=11 …(1)
और 2x-4x= -24 …(2)

समीकरण (1) से, 3y = 11 – 2x ⇒ y = 11 – 2x\3

समीकरण (2) में y = 11 – 2x\3 रखने पर
2x – 4 (11-2x\3) = -24 ⇒ 6x – 44 + 8x = -72
⇒ 14x = -72 +44 14x = -28
⇒ x = -28/14 = -2

समीकरण (1) में x = -2 रखने पर
2(-2) + 3y = 11 ⇒ 3y = 11 + 4
⇒ 3y = 15
⇒ y = 15/3 = 5

समीकरण y = mx + 3 में x = -2, y = 5 रखने पर
5 = m(-2) + 3 ⇒ -2m = 5 – 3
-2m = 2 ⇒ m = -1

प्रश्न 3. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए:

(i) दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिए ।

(ii) दो संपूरक कोणों में से बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है। उन्हें ज्ञात कीजिए।

(iii) एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदें 3800 रु में खरीदीं। बाद में, उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें 1750 रु में खरीदी। प्रत्येक बल्ले और प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।

(iv) एक नगर में टैक्सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के अतिरिक्त चली गई दूरी पर भाड़ा सम्मिलित किया जाता है। 10 km दूरी के लिए भाड़ा 105 रु तथा 15 km के लिये भाड़ा 155 रु है। नियत भाड़ा तथा प्रति km भाड़ा क्या है? एक व्यक्ति को 25km यात्रा करने के लिए कितना भाड़ा देना होगा?

(v) यदि किसी भिन्न के अंश तथा हर में 2 जोड़ दिया जाए, तो वह 9/11 हो जाती है। यदि अंश व हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए तो वह 3/6 हो जाती है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।

(vi) पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी। पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की सात गुनी थी। उनकी वर्तमान आयु क्या हैं?

हल: (i) माना संख्यायें x तथा y (x > y) हैं।
तब x – y = 26 ……(1)
और x = 3y ……(2)

समीकरण (2) से, y = x/3 समीकरण (1) में रखने पर
x – x/3 = 26 ⇒ 3x – x = 78
⇒ 2x = 78 => x= = 39

समीकरण (2) में, x = 39 रखने पर
39 = 3y ⇒ y = 39/3 = 13

अतः संख्यायें 39 तथा 13 होंगी।

(ii) माना कोण x° व y° (x > y) हैं।
तब x + y = 180 ……(1)
और x = y + 18 ……(2)

x = y + 18 समीकरण (1) में रखने पर
y + 18+ y = 180 ⇒ 2y= 180 – 18
⇒ 2y = 162 ⇒ 162/2 = 81

समीकरण (2) में y = 81 रखने पर
x = 81+ 18 = 99

अतः कोण 99° तथा 81° हैं।

(iii) माना एक बैट का क्रय मूल्य x रु और एक गेंद का क्रय मूल्य
y रु है।,
तब, 7x + 6y = 3800 ……(1)
और 3x + 5y = 1750 ……(2)

समीकरण (2) से, 5y = 1750 – 3x ⇒ y = 1750 – 3x/5
समीकरण (1) में, y = 1750 – 3x/5 रखने पर
7x + 6 (1750 – 3x/5) = 3800

⇒ 35x+10500 18x= 19000
⇒ 17x = 19000 – 10500
⇒ 17x = 8500
⇒ x = 8500/17 = 500

x = 500 समीकरण (2) में रखने पर
3(500) + 5y = 1750
⇒ 5y = 1750-1500
⇒ 5y = 250 ⇒ y = 250/5 = 50

अतः 1 बैट का क्रय मूल्य 500 रु तथा 1 गेंद का क्रय मूल्य 50 रु होगा।

(iv) स्थिर किराया टैक्सी का माना x रु तथा प्रति किलो मी. किराया y रु है।

दी गई स्थितियों के अनुसार,
x + 10y = 105 ……(1)
और x + 15y = 155 ……(2)

समीकरण (1) से, x = 105 – 10y
समीकरण (2) में, x = 105 – 10y रखने पर
x + 10 × 10 = 105 ⇒ x = 105 – 100
⇒ x = 5

25 km यात्रा के लिए टैक्सी किराया
= x + 25y = (5 + 25 × 10) रु = 255 रु

स्थिर किराया 5 रु तथा किराया प्रति किलो मीटर 10 रु है और 25 km यात्रा के लिए यात्री को देना पड़ेगा 255 रु।

(v) माना भिन्न x/y है।
प्रश्नानुसार, x + 2/y + 2 = 9/11 और x + 3/y + 3 = 5/6
⇒ 11x + 22 = 9 y + 18 और 6x + 18 = 5y + 15
⇒ 11x – 9y = -4 ……(1)
और 6x – 5y = – 3 ……(2)

समीकरण (2) से, 5y = 6x + 3 ⇒ 6x + 3/5
समीकरण (1) में y = 6x + 3/5 का मान रखने पर
11 – 9(6x + 3/5) = -4 ⇒ 55x – 54x – 27 = -20
⇒ x = – 20+ 27 ⇒ x = 7

समीकरण (1) में x = 7 रखने पर
11(7) – 9y = – 4 ⇒ –9y = – 4 – 77
⇒ -9 = -81 ⇒ y = -81/-9 = 9

अतः भिन्न 7/9 है।

(vi) माना जैकब की वर्तमान आयु x वर्ष तथा उसके पुत्र की वर्तमान आयु 7 वर्ष है।
5 वर्ष बाद जैकब की आयु = (x + 5) वर्ष
उसके पुत्र की आयु = (y + 5) वर्ष
वर्ष पहले जैकब की आयु = (x – 5) वर्ष
उसके पुत्र की आयु = (y – 5) वर्ष

प्रश्नानुसार, (x + 5) = 3(y + 5)
⇒ x – 3y = 10 ……(1)
और (x – 5) = 7(y – 5)
x – 7y = – 30 ……(2)

समीकरण (1) से, x = 3y + 10
समीकरण (2) में x = 3y + 10 रखने पर
3y + 10 – 7y = – 30
⇒ -4y = -30 – 10
⇒ -4y = – 40
y = 10

y = 10 समीकरण (1) में रखने पर
x – 3 × 10 = 10
⇒ x = 10 + 30 = 40

जैकब की वर्तमान आयु 40 वर्ष तथा उसके पुत्र की वर्तमान आयु 10 वर्ष है।

• Examples
• प्रश्नवाली – 3.1
  
• प्रश्नवाली – 3.3

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus (2023-2024) All Chapter in Hindi Medium

• अध्याय – 1 वास्तविक संख्याएँ
• अध्याय – 2 बहुपद
• अध्याय – 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
• अध्याय – 4 द्विघात समीकरण
• अध्याय – 5 समांतर श्रेढ़ियाँ
• अध्याय – 6 त्रिभुज
• अध्याय – 7 निर्देशांक ज्यामिति
• अध्याय – 8 त्रिकोणमिति का परिचय
• अध्याय – 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
• अध्याय – 10 वृत्त
• अध्याय – 11 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
• अध्याय – 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
• अध्याय – 13 सांख्यिकी
• अध्याय – 14 प्रायिकता

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