NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables) Examples in Hindi Medium

NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables) 

NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables) 

Chapter – 3

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म

Example

उदाहरण 1. ग्राफ द्वारा जाँच कीजिए कि समीकरण युग्म

और x + 3y = 6 ……….. (1)
2x – 3y = 12 ……….. (2)

हल – संगत है। यदि ऐसा है, तो उन्हें ग्राफ द्वारा हल कीजिए।

हल: आइए समीकरणों (1) और (2) के ग्राफ खींचें। इसके लिए, हम प्रत्येक समीकरण के दो हल ज्ञात करते हैं, जो सारणी 3.2 में दिए हैं

एक ग्राफ पेपर पर बिंदुओं (0, 2), B ( 6, 0), P(0, – 4) और Q ( 3, – 2 ) को आलेखित कीजिए, और बिंदुओं को मिलाकर रेखा AB और PQ आकृति 3.1 के अनुसार बनाइए।

हम देखते हैं कि रेखाओं AB और PQ में एक उभयनिष्ठ बिंदु B( 6, 0) है। इसलिए, रैखिक समीकरण युग्म का एक हल x = 6, y = 0 है, अर्थात् समीकरण युग्म संगत है।

उदहारण 2. ग्राफ द्वारा ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म का हल नहीं है, अद्वितीय हल है अथवा अपरिमित रूप से अनेक हल हैं

5x – 8y + 1 = 0  ………..   (1)
3x  24 \5 y+ 3\5 =0  ……….. (2)

हल – समीकरण (2) को 3\5 से गुणा करने पर, हम पाते हैं 

5x – 8y + 1 = 0

परंतु यह वही है जो समीकरण (1) है। अतः, समीकरणों (1) और (2) से निरूपित रेखाएँ संपाती हैं। इसलिए, समीकरणों (1) और (2) के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

ग्राफ पर कुछ बिंदु अंकित कीजिए और स्वयं जाँच कर लीजिए।

उदाहरण 3 : चंपा एक ‘सेल’ में कुछ पैंट और स्कर्ट खरीदने गई। जब उसकी सहेलियों ने पूछा कि प्रत्येक के कितने नग खरीदे, तो उसने उत्तर दिया, “स्कर्ट की संख्या खरीदी गई पैंटों की संख्या की दो गुनी से दो कम है। स्कर्ट की संख्या खरीदी गई पैंटों की संख्या की चार गुनी से भी चार कम है।” सहेलियों की यह जानने के लिए सहायता कीजिए कि चंपा ने कितनी पैंट और स्कर्ट खरीदीं।

हल – आइए हम पैंटों की संख्या को x तथा स्कर्ट की संख्या को y से निरूपित करें। तब, इनसे बनी समीकरण हैं

और y = 2x-2
y = 4x – 4

अब आइए समीकरणों (1) और (2) के दो हल ज्ञात करें। ये सारणी 3.3 में दिए हैं

बिंदुओं को आलेखित कीजिए और समीकरणों को निरूपित करने के लिए उनसे जाने वाली रेखाएँ खींचिए, जैसा आकृति 3.2 में दिखाया गया है। ये दोनों रेखाएँ बिंदु (1, 0) पर प्रतिच्छेद करती हैं। इसलिए x=1, y = 0 रैखिक समीकरण युग्म का अभीष्ट हल है, अर्थात् उसके द्वारा खरीदी गई पैंटों की संख्या 1 है और उसने कोई स्कर्ट नहीं खरीदी है।

जाँच – (1) और (2) में x = 1 और y = 0 रखने पर हम पाते हैं कि दोनों समीकरण संतुष्ट हो जाती हैं।

उदाहरण 4. प्रतिस्थापना विधि द्वारा निम्न रैखिक समीकरण युग्म को हल कीजिए 
7x – 15y = 2 ……….. (1)
x + 2y = 3 ……….. (2)

हल –

चरण 1: हम किसी एक समीकरण को लेते हैं और किसी एक चर को पदों में लिखते हैं। आइए समीकरण ( 2 )
x + 2y = 3,
x= 3 – 2y के रूप में लिखें।

चरण 2: x का यह मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित कीजिए। हम पाते हैं:

7(3-2y)-15y=2
अर्थात् 21-14y-15y=2
अर्थात् -29y= -19
y= 19\29

चरण 3: y का यह मान समीकरण ( 3 ) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:

x= 3-2 [19\29]= 49\29
x= 49\29 , y= 19\29

सत्यापन: x= 49 \29 और y= 19\29 को प्रतिस्थापित करने पर, आप जाँच कर सकते हैं कि दोनों समीकरण (1) और (2) संतुष्ट हो जाते हैं।

प्रतिस्थापन विधि को और अधिक स्पष्ट रूप से समझने के लिए, आइए इस पर चरणबद्ध रूप से विचार करें।

उदाहरण 5. निम्नलिखित प्रश्न को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए।
आफ़ताब अपनी पुत्री से कहता है, ‘सात वर्ष पूर्व मैं तुमसे सात गुनी आयु का था। अब से 3 वर्ष बाद मैं तुमसे केवल तीन गुनी आयु का रह जाऊँगा। ‘ (क्या यह मनोरंजक है ?) इस स्थिति को बीजगणितीय एवं ग्राफीय रूपों में व्यक्त कीजिए।

हल- माना आफ़ताब और उसकी पुत्री की आयु

(वर्षो में) क्रमश: s और t हैं। तब, उस
स्थिति को निरूपित करने के लिए, रैखिक समीकरण युग्म है:

s-7 =7 (t-7), अर्थात् s -7t + 42 =0 ………..(1)
तथा s+3= 3(t-3), अर्थात् s= 3t=6  ………..(2)

समीकरण (2) का प्रयोग करने पर, हम पाते हैं: S = 3t + 6
समीकरण (1) मेंs का मान रखने पर, हम पाते हैं:

(3t+6)-7t+42 = 0
अर्थात् 4t = 48, जिससे t = 12 प्राप्त होता है।

t के इस मान को समीकरण ( 2 ) में रखने पर हमें प्राप्त होता है:

s = 3 (12) + 6 = 42

अतः, आफ़ताब और उसकी पुत्री क्रमशः 42 वर्ष और 12 वर्ष के हैं।
इस उत्तर की पुष्टि के लिए, यह जाँच कर लीजिए कि यह दी हुई समस्या के प्रतिबंधों को संतुष्ट करता है या नहीं।

उदाहरण 6. एक दुकान में 2 पेंसिल और 3 रबड़ों का मूल्य ₹9 है और 4 पेंसिल और 6 रबड़ों का मूल्य ₹ 18 है। प्रत्येक पेंसिल और प्रत्येक रबड़ का मूल्य ज्ञात कीजिए ।

हल – रैखिक समीकरण युग्म जो बने थे वे हैं:
2x + 3y = 9 ……….. (1)

4x + 6y = 18……….. (2)

हम पहले समीकरण 2x + 3y = 9 से x का मान y के पदों में व्यक्त करते हैं और पाते हैं

X= 9-3y \2 ……….. (3)

4(9-3y)\2 + 6y= 18

अर्थात् 18 – 6y +6y =18

अर्थात् 18 = 18

यह कथन y के सभी मानों के लिए सत्य है । यद्यपि इससे y का कोई मान हल के रूप में नहीं प्राप्त होता है। इसलिए हम x का कोई निश्चित मान नहीं पाते हैं। यह स्थिति इसलिए पैदा हुई है कि दोनों दिए गए समीकरण एक ही हैं। अत: समीकरणों (1) और (2) के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं। हम एक पेंसिल तथा एक रबड़ का अद्वितीय मूल्य नहीं प्राप्त कर सकते हैं, क्योंकि दी हुई स्थिति में बहुत से सार्व (सर्वनिष्ठ) हल हैं।

उदाहरण 7. दो रेल पटरियाँ, समीकरणों x + 2y – 4 = 0 और 2x + 4y – 12 = 0 द्वारा
निरूपित की गई है। क्या रेल पटरियाँ एक दूसरे को काटेंगी ?

हल – इसमें बनाए गए रैखिक समीकरण थे

x + 2y – 4 = 0 ……….. (1)
2x + 4y – 12 = 0 ……….. (2)

समीकरण (1) से x को y के पदों में व्यक्त करके, हम पाते हैं
x = 4 – 2y
अब, x के इस मान को समीकरण ( 2 ) में प्रतिस्थापित करके हम पाते हैं

2 (4 – 2y) + 4y – 12 = 0
अर्थात् 8 – 12 = 0
अर्थात् – 4 = 0

जो कि एक असत्य कथन है।

अतः, दिए गए समीकरणों का कोई सार्व हल नहीं है । इसलिए, दोनों पटरियाँ एक दूसरे को नहीं काटेंगी।

उदाहरण 8. दो व्यक्तियों की आय का अनुपात 9:7 है और उनके खर्चों का अनुपात 4:3 है। यदि प्रत्येक व्यक्ति प्रति महीने में 2000 रु बचा लेता है, तो उनकी मासिक आय ज्ञात कीजिए।

हल – आइए दोनों व्यक्तियों की मासिक आय को क्रमशः 9x रु तथा 7x रु से निरूपित करें और उनके खर्चों को क्रमश: 4y रु और 3y रु से निरूपित करें। तब उस स्थिति में बने समीकरण हैं

9x – 4y = 2000 ……….. (1)

और 7x – 3y = 2000 ……….. (2)

चरण 1- y के गुणकों को समान करने के लिए समीकरण (1) को 3 से तथा समीकरण
(2) को 4 से गुणा कीजिए। तब हम निम्नलिखित समीकरण प्राप्त करते हैं

27x – 12y = 6000 ……….. (3)
28x – 12y = 8000 ……….. (4)

चरण 2- y को विलुप्त करने के लिए समीकरण ( 3 ) को समीकरण (4) में से घटाइए, क्योंकि y के गुणांक समान हैं, इसलिए हम पाते हैं

(28x – 27x) – ( 12y – 12y) = 8000 – 6000
अर्थात् x = 2000

चरण 3- x का मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं

9(2000)-4y 2000
अर्थात् y = 4000

अतः समीकरणों के युग्म का हल x = 2000, y = 4000 है। इसलिए, व्यक्तियों की मासिक आय क्रमशः ₹ 18000 तथा ₹ 14000 हैं।

सत्यापन – 18000 : 14000 = 9:7 है। साथ ही, उनके खर्चों का अनुपात
18000-2000: 14000-2000 = 16000:12000 = 4:3

उदाहरण 9. विलोपन विधि का प्रयोग करके, निम्न रैखिक समीकरण युग्म के सभी संभव हल ज्ञात कीजिए
2x + 3y = 8 ……….. (1)
4x + 6y = 7 ……….. (2)

हल –
चरण 1- समीकरण (1) को 2 से तथा समीकरण (2) को 1 से, x के गुणांकों को समान करने के लिए, गुणा करिए। तब हम निम्न समीकरण पाते हैं

4x + 6y = 16 ……….. (3)
4x + 6y = 7 ……….. (4)

चरण 2- समीकरण (4) को समीकरण (3) में से घटाने पर

(4x – 4x ) + (6) – 6y) = 16-7
अर्थात् 0 = 9, जो एक असत्य कथन है।

अतः, समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है।

उदाहरण 10. दो अंकों की एक संख्या एवं उसके अंकों को उलटने पर बनी संख्या का योग 66 है। यदि संख्या के अंकों का अंतर 2 हो, तो संख्या ज्ञात कीजिए। ऐसी संख्याएँ कितनी हैं?

हल – माना प्रथम संख्या की दहाई तथा इकाई के अंक क्रमश: x और y हैं। इसलिए, प्रथम संख्या को प्रसारित रूप में 10x + y लिख सकते हैं। उदाहरण के लिए, 56 = 10 (5) +6]1 जब अंक उलट जाते हैं, तो x इकाई का अंक बन जाता है तथा y दहाई का अंक । यह संख्या प्रसारित रूप में 10y + x है [उदाहरण के लिए, जब 56 को उलट दिया जाता है, तो हम पाते हैं : 65 = 10 (6) + 5]1

दिए हुए प्रतिबंधों के अनुसार,

(10x + y) + (10y + x) = 66
अर्थात् 11(x + y) = 66

अर्थात् x + y = 6 ……….. (1)

हमें यह भी दिया गया है कि अंकों का अंतर 2 है। इसलिए,
या तो x – y = 2 ……….. (2)
या – y – x = 2 ……….. (3)

यदि x – y = 2 है, तो (1) और (2) को विलोपन विधि से हल करने पर, x = 4 और y = 2 प्राप्त होता है। इस स्थिति में, हमें संख्या 42 प्राप्त होती है।

यदि y – x = 2 है, तो (1) और (3) को विलोपन विधि से हल करने पर, हमें x= 2 और y= 4 प्राप्त होता है। इस स्थिति में, हमें संख्या 24 प्राप्त होती है।

इस प्रकार ऐसी दो संख्याएँ 42 और 24 हैं।
सत्यापन – यहाँ 42 + 24 = 66 और 4- 2 = 2 है तथा 24 +4266 और 4-2 = 2 है।

• Exercises – 3.1
• Exercises – 3.2
• Exercises – 3.3

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus (2023-2024) All Chapter in Hindi Medium

• अध्याय – 1 वास्तविक संख्याएँ
• अध्याय – 2 बहुपद
• अध्याय – 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
• अध्याय – 4 द्विघात समीकरण
• अध्याय – 5 समांतर श्रेढ़ियाँ
• अध्याय – 6 त्रिभुज
• अध्याय – 7 निर्देशांक ज्यामिति
• अध्याय – 8 त्रिकोणमिति का परिचय
• अध्याय – 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
• अध्याय – 10 वृत्त
• अध्याय – 11 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
• अध्याय – 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
• अध्याय – 13 सांख्यिकी
• अध्याय – 14 प्रायिकता

You Can Join Our Social Account