NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 14  प्रायिकता (Probability) Exercise 14.1 in Hindi

NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 14  प्रायिकता (Probability)

NCERT Solution Class 10th Maths New Syllabus Chapter – 14 प्रायिकता कैसे ज्ञात किया जाता है?, प्रायिकता क्या है?, मान लीजिए हम एक पासे को एक बार फेंकते हैं चार से बड़ी संख्या प्राप्त होने की प्रार्थना क्या है?, प्रायिकता के 4 प्रकार क्या हैं?, प्रायिकता के 4 प्रकार क्या हैं?, प्रायिकता की परिभाषा क्या है?, प्रायिकता के कुछ उदाहरण क्या हैं?, प्रायिकता से आप क्या समझते हैं?, प्रायिकता क्या है और इसका महत्व क्या है?, प्रायिकता का महत्व क्या है?, प्रायिकता का पिता कौन है?,प्रायिकता के प्रमुख घटक क्या है?, प्रायिकता की परिभाषा किसने प्रदान की?, प्रायिकता के तीन दृष्टिकोण क्या हैं?, प्रायिकता के सिद्धांत का आविष्कार किसने किया था?, कौन सी संख्या प्रायिकता है?,आदि के बारे में पढ़ेंगे।

NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 14  प्रायिकता (Probability)

Chapter – 14  

प्रायिकता

Exercise – 14.1

प्रश्न 1. निम्नलिखित कथनों को पूरा कीजिए :

(i) घटना E की प्रायिकता + घटना ‘ नहीं’ की प्रायिकता = _________ है।

(ii) उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती ___________ है। ऐसी घटना _____________ कहलाती है।

(iii) उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है। ____________ है। ऐसी घटना _____________ कहलाती है।

(iv) किसी प्रयोग की सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग ____________ है।

(v) किसी घटना की प्रायिकता _____________ से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा ________ से छोटी या उसके बराबर होती है।

हल : (i) 1
(ii) 0, असंभव घटना
(iii) 1, अवश्य या निश्चित घटना
(iv) 1
(v) 0, 1

प्रश्न 2. निम्नलिखित प्रयोगों में से किन-किन प्रयोगों के परिणाम समप्रायिक हैं? स्पष्ट कीजिए।

(i) एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है। कार चलना प्रारंभ हो जाती है या कार चलना प्रारंभ नहीं होती है।

(ii) एक खिलाड़ी बास्केटबॉल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करती है। वह बास्केट में बॉल डाल पाती है या नहीं डाल पाती है।

(iii) एक सत्य-असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है। उत्तर सही है या गलत होगा।

(iv) एक बच्चे का जन्म होता है। वह एक लड़का है या एक लड़की है।

हल:
(i) प्रयोग में, “एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है। कार चलती है अथवा नहीं चलती है”, हम इसे उचित नहीं मान सकते हैं कि प्रत्येक घटना के घटित होने की संभावना समान होगा। अतः इस प्रयोग के परिणाम समप्रायिक नहीं है।

(ii) प्रयोग में, “एक खिलाड़ी बास्केटबॉल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करता है। वह बास्केट में बॉल डाल पाती है या नहीं डाल पाती है”, हम इसे उचित नहीं मान सकते हैं कि प्रत्येक परिणाम घटित घटना के अनुरूप ही घटित होगा। अतः यह प्रयोग परिणाम समप्रायिक नहीं है।

(iii) प्रयोग में,“ एक सत्य-असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है। उत्तर सही है या गलत, ” हम पहले ही जानते हैं कि परिणाम दो में से एक आना है। या तो सही या गलत। हम तर्कपूर्ण ढंग से मान सकते हैं कि
प्रत्येक परिणाम, सही या गलत, अन्य की तरह घटना संभावित है।

अतः, परिणाम सही या गलत, समप्रायिक है।

(iv) प्रयोग में, “एक बच्चे का जन्म होता है। वह लड़का है या लड़की है। हम पहले ही जानते हैं कि परिणाम दो में से एक आना है या तो लड़का या लड़की। हम मान सकते हैं कि प्रत्येक परिणाम, लड़का या लड़की, अन्य की तरह घटना संभावित है। अतः परिणाम लड़का या लड़की, समप्रायिक है।

प्रश्न 3. फुटबॉल के खेल को प्रारंभ करते समय यह निर्णय लेने के लिए कि कौन-सी टीम पहले बॉल लेगी, इसके लिए सिक्का उछालना एक न्यायसंगत विधि क्यों माना जाता है?

हल:

फुटबॉल के खेल को प्रारंभ करते समय यह निर्णय लेने के लिए कि कौन-सी टीम पहले बॉल लेगी, इसके लिए सिक्का उछालना एक न्याय संगत विधि है, क्योंकि सिक्का दो में से केवल एक संभावित दशा में धरती पर गिरेगा। या तो चित या पट। यह तर्कपूर्ण ढंग माना जा सकता है

कि प्रत्येक परिणाम, चित या पट, अन्य की तरह घटना संभावित है, अर्थात्, परिणाम चित या पट समप्रायिक है। अतः सिक्के को उछालने का परिणाम पूर्णतः अकल्पनीय है।

प्रश्न 4. निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती ?

(A) 2/3

(B) – 1.5

(C) 5%

(D) 0.7

हल :

चूँकि E घटना की संभाविता संख्या P(E) है। इस तरह
0≤ P(E) ≤ 1
– 1.5 किसी घटना की संभाविता नहीं हो सकती
(B) सही उत्तर है।

प्रश्न 5. यदि P (E) = 0.05 है, तो ‘F नहीं’ की प्रायिकता क्या है?

हल :

‘चूँकि P(E) + P(नहीं – E) = 1
P (नहीं – E) = 1 – P(E)
= 1 – 0.05 = 0.95

प्रश्न 6. एक थैले में केवल नींबू की महक वाली मीठी गोलियाँ हैं। मालिनी बिना थैले में झाँके उसमें से एक गोली निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह निकाली गई गोली

(i) संतरे की महक वाली है?
(ii) नींबू की महक वाली है?

हल :

(i) जिस बैग में केवल नींबू की महक वाली गोलियाँ हैं, उसमें से संतरे की महक वाली गोली निकालने के प्रयोग से संबद्ध घटना पर विचार करें। चूँकि संतरे की महक वाली गोली कोई परिणाम नहीं देती, अतः यह एक असंभव घटना है और इसकी प्रायिकता 6 है।

(ii) जिस बैग में केवल नींबू की महक वाली गोलियाँ हैं, उसमें से नींबू की महक की एक गोली निकालने की घटना पर विचार करें। यह घटना एक निश्चित घटना है। अतः इसकी प्रायिकता 1 है।

प्रश्न 7. यह दिया हुआ है कि 3 विद्यार्थियों के एक समूह में से 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन न होने की प्रायिकता 0.992 है। इसकी क्या प्रायिकता है कि इन 2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन हो?

हल :

माना कि E एक ही दिन जन्मदिन की घटना है।

अर्थात्, P(E) = 0.992

लेकिन P(E) + P(E) = 1

⇒ P(E) = 1-P(E)

= 1-0.992 = 0.008

अतः, इन दो विद्यार्थियों का एक ही दिन जन्मदिन हो, इसकी
यिकता 0.008 है।

प्रश्न 8. एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद

(i) लाल हो?
(ii) लाल नहीं हो?

हल :

बैग में 3 + 5 = 8 गेंदें हैं। इन 8 गेंदों में से एक को 8 विधि था से निकाला जा सकता है।

.. प्रारंभिक घटनाओं की कुल संख्या = 8

(i) चूँकि थैले में 3 लाल गेंदें हैं। अतः एक लाल गेंद को तीन तरीकों से निकाला जा सकता है।

.. प्रारंभिक घटनाओं की अनुकूल संख्या = 3

अत:, P (लाल गेंद निकालना) =3/8

(ii) चूँकि थैले में 3 लाल गेंदों के साथ 5 काली गेंदें भी हैं, अतः एक काली (लाल नहीं) गेंद को 5 तरीकों से निकाला जा सकता है। प्रारंभिक घटनाओं की अनुकूल संख्या =5

अतः, P (लाल गेंद नहीं निकालना) =5/8

प्रश्न 9. एक डिब्बे में 5 लाल कंचे, 8 सफेद कंचे और 4 हरे कंचे हैं। इस डिब्बे में से एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाला गया कंचा

(i) लाल है ?

(ii) सफेद है ?

(iii) हरा नहीं है?

हल :

डिब्बे में कुल कंचे =5 (लाल) + 8 (सफेद) + 4 (हरे)
= 17

प्रारंभिक घटनाओं की कुल संख्या = 17

(i) डिब्बे में 5 लाल कंचे हैं।

.. प्रारंभिक घटनाओं की अनुकूल संख्या = 5

अत:, P (लाल कंचा निकालना)। =5/17

(ii) डिब्बे में 8 सफेद कंचे हैं।

. प्रारंभिक घटनाओं की अनुकूल संख्या =8

अतः, P (सफेद कंचा निकालना) =8/17

(iii) डिब्बे में 5 + 8 =13 कंचे हरे नहीं हैं।

. प्रारंभिक घटनाओं की अनुकूल संख्या =13

अतः, P (हरा कंचा नहीं निकालना) =13/17

प्रश्न 10. एक पिग्गी बैंक (piggy bank) में, 50 पैसे के सौ सिक्के हैं, 1 रु के पचास सिक्के हैं, 2रु के बीस सिक्के और 5 रु के दस सिक्के हैं। यदि पिग्गी बैंक को हिलाकर उल्टा करने पर कोई एक सिक्का गिरने के परिणाम समप्रायिक है, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गिरा हुआ सिक्का

(i) 50 पैसे का होगा ?

(ii) 5 रु का नहीं होगा?

हल :

पिग्गी बैंक में सिक्कों की कुल संख्या
=100+ 50+20+10=180

… प्रारंभिक घटनाओं की कुल संख्या = 180

(i) पिग्गी बैंक में 50 पैसे के सौ सिक्के हैं।

… प्रारंभिक घटनाओं की अनुकूल संख्या = 100

अत: P(50 पैसे का सिक्का होगा) =100/180=5/9

(ii) इसके 100 + 50 + 20, अर्थात् 170 सिक्के 5 रुपए के सिक्कों से अलग हैं।

… प्रारंभिक घटनाओं की अनुकूल संख्या
= 170

अतः, P(5 रु का सिक्का नहीं होगा) 170/180=17/18

प्रश्न 11. गोपी अपने जल-जीव कुंड (aquarium) के लिए एक दुकान से मछली खरीदती है। दुकानदार एक टंकी जिसमें 5 नर मछली और 8 मादा मछली हैं, में से एक मछली यादृच्छया उसे देने के लिए निकालती है (देखिए आकृति)। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाली गई मछली नर मछली है?

हल :टंकी में मछलियों की कुल संख्या =5+8=13प्रारंभिक घटनाओं की कुल संख्या = 13टंकी में 5 नर मछली हैं।प्रारंभिक घटनाओं की अनुकूल संख्या =5अतः, P(नर मछली निकालना) 5/13

प्रश्न 12. संयोग (chance) के एक खेल में, एक तीर को घुमाया जाता है, जो विश्राम में आने के बाद संख्याओं 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 और 8 में से किसी एक संख्या को इंगित करता है (देखिए आकृति)। यदि ये सभी परिणाम समप्रायिक हों तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह तीर इंगित

(i) 8 को करेगा?

(ii) एक विषम संख्या को करेगा?

(iii) 2 से बड़ी संख्या को करेगा?

(iv) 9 से छोटी संख्या को करेगा?

हल :

8 संख्याओं में से तीन 8 तरीकों से किसी भी संख्या को इंगित करेगा।
.. प्रारंभिक घटनाओं की कुल संख्या =8

(i) घूर्णन संयंत्र पर केवल एक ‘8’ है।
परिणामों की अनुकूल संख्या =1
अतः, P(8 की ओर तीर इंगित करेगा) =1/8

(ii) इसमें चार विषम संख्याएँ हैं (यथा 1, 3, 5 और 7)
परिणामों की अनुकूल संख्या = 4
अत:, P(तीर का विषम संख्या की ओर इंगित करेगा) = 4\8 = 1\2

(iii) इसमें 6 संख्याएँ 2 से अधिक हैं (यथा 3, 4, 5, 6, 7 और 8 )
= परिणामों की अनुकूल संख्या = 6
अत:, P(तीर 2 से बड़ी संख्या की ओर इंगित करेगा) 6\8 = 3\4

(iv) इसमें 8 संख्याएँ 9 से कम हैं (यथा. 1, 2, 3, .., 8) 8 4
= परिणामों की अनुकूल संख्या = 8
अतः, P(तीर 9 से छोटी संख्या की ओर इंगित करेगा) = 8\8 = 1

प्रश्न 13. एक पासे को एक बार फेंका जाता है। निम्नलिखित
को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए 
(i) एक अभाज्य संख्या
(ii) 2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या
(iii) एक विषम संख्या

हल : एक बार फेंके जाने पर हम उसकी छहों संख्याओं 1, 2, ..,
6; जो उसके छहों फलकों पर चिह्नित होती है, में से कोई एक संख्या प्राप्त
कर सकते हैं। अतः पासे को फेंकने के यादृच्छया प्रयोग से संबद्ध प्रारंभिक
घटनाओं की कुल संख्या 6 है।

(i) माना A घटना “एक अभाज्य संख्या प्राप्त करना” को दर्शाता है।
स्पष्ट है, घटना A घटित होती है यदि हम 2, 3, 5 में से किसी एक को
परिणाम के रूप में प्राप्त करते हैं।

अतः प्रारंभिक घटनाओं की अनुकूल संख्या = 3

अत:, P(A) = 3\6 =1\2

(ii) माना A घटना “2 और 6 के बीच की संख्या प्राप्त करना” को दर्शाता है। स्पष्ट है, घटना A तब घटित होगी जब हम 3, 4, 5 में से किसी एक को परिणाम के रूप में प्राप्त करेंगे।

.. आरंभिक घटनाओं की अनुकूल संख्या =3

अत:, P(A) = 3/6 = 1/2

(iii) माना A घटना “एक विषम संख्या प्राप्त करना” को दर्शाता है। स्पष्ट है, घटना A तब घटित होगी जब हम 1, 3, 5 में से किसी एक को परिणाम के रूप में प्राप्त करेंगे।

.. आरंभिक घटनाओं की अनुकूल संख्या = 3

अत:, P(A) = 3/6 = 1/2

प्रश्न 14. 52 पत्तों की अच्छी प्रकार से फेटी गई एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए :

(i) लाल रंग का बादशाह

(ii) एक फेस कार्ड अर्थात् तस्वीर वाला पत्ता

(iii) लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता

(iv) पान का गुलाम

(v) हुकुम का पत्ता

(vi) एक ईंट की बेगम

हल:

52 पत्तों में से, एक पत्ता 52 तरीकों से निकाला जा सकता है।

अतः, आरंभिक घटनाओं की कुल संख्या = 52

(i) गड्डी में लाल पत्तों के दो समूह हैं यथा ईंट और पान प्रत्येक समूह में एक बादशाह है।

.. आरंभिक घटनाओं की अनुकूल संख्या = 2 x 1 = 2

अतः, P(लाल रंग का बादशाह) = 2/52 =1/26

(ii) 52 पत्तों की गड्डी में बादशाह, बेगम और गुलाम को फेस कार्ड या तस्वीर वाला पत्ता कहते हैं। इस प्रकार, एक गड्डी में 12 फेस कार्ड होते हैं! अतः एक फेस कार्ड का चुनाव 12 तरीकों से किया जा सकता है।

.. आरंभिक घटनाओं की अनुकूल संख्या = 12

अत:, P (एक फेस कार्ड) =12/52=3/13

(iii) गड्डी में लाल पत्तों के दो समूह होते हैं, यथा ईंट और पान। प्रत्येक समूह में तीन फेस कार्ड होते हैं।

.. प्रारंभिक घटनाओं की अनुकूल संख्या = 2 x 3 = 6

अत:, P(एक लाल फेस कार्ड) =6/52=3/26

(iv) इसमें पान का गुलाम केवल एक होता

.. प्रारंभिक घटनाओं की अनुकूल संख्या = 1

अत:, P(पान का गुलाम) 1/52

(v) गड्डी में हुकुम के 13 कार्ड होते हैं।

. प्रारंभिक घटनाओं की अनुकूल संख्या = 13

अत:, P(एक हुकुम) =13/52=1/4

(vi) इसमें ईंट की केवल एक बेगम होती है। आरंभिक घटनाओं की अनुकूल संख्या =1

अतः , P(ईंट की बेगम) = 1/52

प्रश्न 15. ताश के पाँच पत्तों ईंट का दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह और इक्का, को पलट कर के अच्छी प्रकार फेटा जाता है। फिर इनमें से यादृच्छया एक पत्ता निकाला जाता है।

(i) इसकी क्या प्रायिकता है कि यह पत्ता एक बेगम है?

(ii) यदि बेगम निकल आती है, तो उसे अलग रख दिया जाता है और अन्य पत्ता निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा निकाला गया पत्ता (a) एक इक्का है? (b) एक बेगम है?

हल :

पाँच पत्तों ईंट का दहला, गुलाम, बेगम और बादशाह में से एक पत्ता 5 तरीकों से निकाला जाता है। अतः, प्रारंभिक घटनाओं की कुल संख्या =5

(i) इनमें बेगम केवल एक है।

प्रारंभिक घटनाओं की अनुकूल संख्या =1

अतः, P(बेगम) =1/4

(ii) बेगम के पत्ते को एक ओर रखने के बाद, हमारे पास 4 पत्ते बचते हैं। अतः, कुल प्रारंभिक घटनाओं की संख्या =4

(क) इनमें केवल एक इक्का है।

प्रारंभिक घटनाओं की अनुकूल संख्या =1

अतः, P(एक इक्का) =1/4

(ख) बेगम के रूप में कोई पत्ता नहीं है। प्रारंभिक घटनाओं की अनुकूल संख्या = 0

अतः, P(बेगम) =0/4=0

प्रश्न 16. किसी कारण 12 खराब पेन 132 अच्छे पेनों में मिल गए हैं। केवल देखकर यह नहीं बताया जा सकता है कि कोई पेन खराब है या अच्छा है। इस मिश्रण में से, एक पेन यादृच्छया निकाला जाता है। निकाले गए पेन की अच्छा होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल : 132 + 12 में से, अर्थात् 144 पेन में से, एक पेन का चयन 144 तरीकों से किया जा सकता है।

आरंभिक घटनाओं की कुल संख्या = 144
इनमें 132 अच्छे पेन हैं, अर्थात् अच्छे पेनों में से एक पेन का 132 तरह से निकाला जा सकता है।
आरंभिक घटनाओं की अनुकूल संख्या = 132
अत:, P(एक अच्छा पेन प्राप्त करना) : = 132/144 = 11/12

प्रश्न 17. (i) 20 बल्बों के एक समूह में 4 बल्ब खराब हैं। इस समूह में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब होगा?(ii) मान लीजिए (i) में निकाला गया बल्ब खराब नहीं है और न ही इसे दुबारा बल्बों के साथ मिलाया जाता है। अब शेष बल्बों में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है। कि यह बल्ब खराब नहीं होगा?

हल : (i) 20 बल्बों में से एक बल्ब 20 तरीकों से चुना जा सकता है।
.. आरंभिक घटनाओं की कुल संख्या = 20
इनमें 4 बल्ब खराब हैं जिनमें से एक बल्ब को 4 तरीकों से निकाला जा सकता है।
अत:, P (एक खराब बल्ब निकालना) = 4/20 = 1/5

(ii) 20 बल्बों में से एक अच्छा बल्ब निकाल लेने के बाद हमारे पास 4 खराब बल्ब सहित 19 बल्ब रह जाते हैं।
.. आरंभिक घटनाओं की कुल संख्या = 19
इनमें 19 – 4 = 15 अच्छे बल्व हैं जिनमें से एक बल्ब 15 तरीके से निकाला जा सकता है।
.. प्रारंभिक घटनाओं की अनुकूल संख्या 15
अतः, P(अच्छा बल्ब निकालना) = 15/19

प्रश्न 18. एक पेटी में 90 डिस्क (dises) हैं, जिन पर 1 से 90 तक संख्याएँ अंकित हैं। यदि इस पेटी में से एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी :

(i) दो अंकों की एक संख्या
(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या
(iii) 5 से विभाज्य एक संख्या ।

हल: पेटी में 1 से 90 तक की संख्याओं वाली 90 डिस्क हैं। जिनमें से एक डिस्क 90 तरीकों से निकाली जा सकती है।
.. आरंभिक घटनाओं की कुल संख्याएँ = 90

(i) पेटी में दो अंकों की संख्या वाली 909, अर्थात् 81 डिस्क हैं, जिनमें से एक डिस्क को 81 तरीकों से निकाला जा सकता है।
.. आरंभिक घटनाओं की अनुकूल संख्या = 81
अत:, P(दो अंकों वाली संख्या से युक्त डिस्क पाना) = 81/90 = 9/10

(ii) 1 से 90 की घटनाओं में से पूर्ण वर्ग हैं 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 अर्थात् क्रमश: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 और 9 के वर्ग।
अत, 9 डिस्क ऐसी हैं जिन पर पूर्ण वर्ग संख्याएँ अंकित हैं।
. आरंभिक घटनाओं की अनुकूल संख्याएँ = 9
अतः, P(पूर्ण वर्ग वाली संख्या से चिह्नित डिस्क पाना)
= 9/90 = 1/10

(iii) 1 से 90 में से वे संख्याएँ जो 5 से विभाजित हो जाती हैं, वे हैं

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85 और 90. ये संख्या में 18 हैं।अतएव, 18 डिस्क पर ऐसी संख्याएँ अंकित हैं जो 5 से विभाजित होती हैं।
1. आरंभिक घटनाओं की अनुकूल संख्या = 18
अतः, P(ऐसी डिस्क की प्राप्ति जिस पर अंकित संख्या 5 से विभाज्य है)
= 18/90 = 1/5

प्रश्न 19. एक बच्चे के पास ऐसा पासा है जिसके फलकों पर निम्नलिखित अक्षर अंकित हैं :
A, B, C, D, E, A
इस पासे को एक बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि

(i) A प्राप्त हो ?
(ii) D प्राप्त हो ?

हल: पासा एक बार फेंके जाने पर इसके फलकों पर अंकित A, B, C, D, E, A अक्षरों में से हमें कोई भी प्राप्त हो सकता है। अतः पासे को फेंकने के यादृच्छया प्रयोग से संबद्ध प्रारंभिक घटनाओं की कुल संख्या
6 है।(i) माना कि E “A अक्षर की प्राप्ति” की घटना को दर्शाता है। स्पष्ट है, घटना E दो फलकों पर घटित होती है।
… आरंभिक घटनाओं की अनुकूल संख्या = 2
.. P(E) = 2/6 = 1/3

(ii) माना E “D अक्षर की प्राप्ति” की घटना को दर्शाता है। स्पष्ट है, घटना E एक फलक पर घटित होती है।
.. प्रारंभिक घटना की अनुकूल संख्या = 1P(E) = 1/6

प्रश्न 20. मान लीजिए आप एक पासे को आकृति में दर्शाए आयताकार क्षेत्र में यादृच्छया रूप में गिराते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह पासा 1m व्यास वाले वृत्त के अंदर गिरेगा ?

हल : आकृति अर्थात् आयत का कुल क्षेत्रफल
= 3m x 2m = 6m²
वृत्त का क्षेत्रफल = πr² = π(1/2m) = π/4 m²
प्रायिकता ( पासे का वृत्त के अंदर गिरने की)
π/4/6 = π/24

प्रश्न 21. 144 बॉल पेनों के एक समूह में 20 बॉल पेन खराब हैं और शेष अच्छे हैं। आप वही पेन खरीदना चाहेंगे जो अच्छा हो, परंतु खराब पेन आप खरीदना नहीं चाहेंगे। दुकानदार इन पेनों में से, यादृच्छया एक पेन निकालकर आपको देता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि

(i) आप वह पेन खरीदेंगे?
(ii) आप वह पेन नहीं खरीदेंगे?

हल : एक समूह में 144 बॉल पेन हैं। इन 144 बॉल पेनों में से 20बॉल पेन खराब हैं।

(i) अच्छे बॉल पेनों की संख्या = 144-20 = 124
P(आप खरीदेंगे) = P(एक अच्छा पेन)
= 124/144 = 31/ 36

(ii) P(आप नहीं खरीदेंगे) = P(खराब पेन)
= 20/144 = 5/ 36

प्रश्न 22. उदाहरण 13 को देखिए। (i) निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए :

(ii) एक विद्यार्थी यह तर्क देता है कि ‘यहाँ कुल 11 परिणाम
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 और 12 हैं। अतः, प्रत्येक की प्रायिकता 1/11 है’। क्या आप इस तर्क से सहमत हैं? सकारण उत्तर दीजिए।

हल : दोनों पासों के फेंकने के यादृच्छया प्रयोग से संबद्ध प्रारंभिक घटनाएँ हैं

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

.. प्रारंभिक घटनाओं की कुल संख्या = 6 x 6 = 36

माना कि A घटना को योग के रूप में 3 प्राप्त होता है।

A घटना के लिए अनुकूल प्रारंभिक घटनाएँ हैं (1, 2) और (2, 1)

स्पष्ट है, प्रारंभिक घटनाओं की अनुकूल संख्या है = 2

अतः, वांछित प्रायिकता : = 2/36

माना कि A घटना को योग के रूप में 4 प्राप्त होता है।

A घटना के लिए अनुकूल प्रारंभिक घटनाएँ हैं (1, 3), (3, 1) और (2, 2)

स्पष्ट है, आरंभिक घटनाओं के लिए अनुकूल संख्या = 3

अतः, वांछित प्रायिकता = 3/36

माना कि A घटना को योग के रूप में 5 प्राप्त होता है।

A घटना के लिए अनुकूल प्रारंभिक घटनाएँ हैं (1, 4), (4, 1), (2, 3) और (3, 4)

स्पष्ट है, आरंभिक घटनाओं के लिए अनुकूल संख्या है = 4

अतः, वांछित प्रायिकता = 4/36

माना कि A घटना को योग के रूप में 6 प्राप्त होता है। A घटना के लिए अनुकूल प्रारंभिक घटनाएँ हैं (1,5), (5, 1), (2, 4), (4, 2) और (3, 3)

स्पष्ट है, आरंभिक घटनाओं के लिए अनुकूल संख्या = 5
अतः, वांछित प्रायिकता: = 5/36

माना कि A घटना को योग के रूप में 7 प्राप्त होता है।
A घटना के लिए अनुकूल प्रारंभिक घटनाएँ हैं (1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4,
7)

स्पष्ट है, आरंभिक घटनाओं के लिए अनुकूल संख्या = 6

अतः, वांछित प्रायिकता: = 6/36

माना कि A घटना को योग के रूप में 9 प्राप्त होता है।
A घटना के लिए अनुकूल प्रारंभिक घटनाएँ हैं (3, 6), (6, 3), (4, 5) और (5, 4)

स्पष्ट है, आरंभिक घटनाओं के लिए अनुकूल संख्या = 6

अतः, वांछित प्रायिकता = 4/36

माना कि A घटना को योग के रूप में 10 प्राप्त होता है।
A घटना के लिए अनुकूल प्रारंभिक घटनाएँ हैं (4, 6), (6, 4), (5, 5)

स्पष्ट है, आरंभिक घटनाओं के लिए अनुकूल संख्या = 3

अतः, वांछित प्रायिकता = 3/36

माना कि A घटना को योग के रूप में 11 प्राप्त होता है।

A घटना के लिए अनुकूल प्रारंभिक घटनाएँ हैं (5, 6), (6, 5)
स्पष्ट है, आरंभिक घटनाओं के लिए अनुकूल संख्या = 2

अतः, वांछित प्रायिकता = 2/36

इस प्रकार, पूरी तालिका निम्न प्रकार है।

(ii) यहाँ दिए गए तर्क से मैं सहमत नहीं हूँ। जैसा कि (i) में प्राप्त हुआ है, ये 11 परिणान समप्रायिक नहीं है।

प्रश्न 23. एक खेल में एक रुपए के सिक्के को तीन बार उछाला जाता है और प्रत्येक बार का परिणाम लिख लिया जाता है। तीनों परिणाम समान होने पर, अर्थात् तीन चित या तीन पट प्राप्त होने पर, हनीफ खेल में जीत जाएगा, अन्यथा वह हार जाएगा। हनीफ के खेल में हार जाने की प्रायिकता परिकलित कीजिए।

हल : उस प्रयोग के बारे में विचार कीजिए जिसमें सिक्के को तीन बार उछाला जाता है। प्रयोग से संबद्ध परिणामों को HHH HHT, HTH, THH, TTH, HTT, THT, TTT द्वारा दिया गया है।
प्रारंभिक घटनाओं की कुल संख्या = 8
हनीफ खेल हार जाएगा यदि वह HHT, HTH, THH, TTH, HTT या THT प्राप्त करेगा।
प्रारंभिक घटनाओं की अनुकूल संख्या = 6

अतः, वांछित प्रायिकता = 6/8 = 3/4

प्रश्न 24. एक पासे को दो बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि

(i) 5 किसी भी बार में नहीं आएगा?
(ii) 5 कम से कम एक बार आएगा?

हल : (i) निम्नलिखित घटनाओं पर विचार करें :
A = पहली बार फेंकने पर 5 आता है।
B = दूसरी बार फेंकने पर 5 आता है।

P(A) = 6/36 P(B) = 6/36

P(A) = 1- 6/36 = 30/36 = 5/6

और P(B) = 5/6
वांछित प्रायिकता = 5/6 x 5/6 = 25/36

(ii) माना कि प्रतिदर्श अंतराल किसी पासे को दो बार फेंकने के यादृच्छया प्रयोग से संबद्ध है। तब,
n(S) = 36
A∩B = पहला और दूसरा क्षेपण 5 दर्शाता है, अर्थात् प्रत्येक क्षेपण में 5 प्राप्त करता है।

हमारे पास है,

A = ((5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)
और, B = ((1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)|

P(A) = 6/36 P(B) 6/36 और P(A∩B) = 1/36

.. वांछित प्रायिकता
= दो क्षेपणों में से कम-से-कम एक प्रायिकता जो 5 दर्शाती है।
= P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= 6/36 + 6/36 – 1/36 = 11/36

प्रश्न 25. निम्नलिखित में से कौन से तर्क सत्य हैं और कौन से तर्क असत्य हैं? सकारण उत्तर दीजिए।

(i) यदि दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है, तो इसके तीन संभावित परिणाम – दो चित, दो पट या प्रत्येक एक बार हैं।अतः, इनमें से प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता है।

(ii) यदि एक पासे को फेंका जाता है, तो इसके दो संभावित परिणाम – एक विषम संख्या या एक सम संख्या है। अतः एक विषमसंख्या ज्ञात करने की प्रायिकता है। 1/2

हल : (i) असत्य। हम परिणामों को इस प्रकार से वर्गीकृत कर सकते हैं लेकिन तब वे ‘समप्रायिक’ नहीं होते हैं। इसका कारण यह है कि ‘प्रत्येक में से एक’ दो तरह से परिणाम दे सकता है पहले सिक्के से चित और दूसरे सिक्के से पट या पहले सिक्के से पट और दूसरे सिक्के से चित आ सकता है। इससे दो बार चितं (या दो बार पट) आ सकता है।

(ii) सत्य प्रश्न में विचारित दो परिणाम समप्रायिक हैं।

NCERT Solutions Class 10th Maths (2023-2024) All Chapter in Hindi Medium

• अध्याय – 1 वास्तविक संख्याएँ
• अध्याय – 2 बहुपद
• अध्याय – 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
• अध्याय – 4 द्विघात समीकरण
• अध्याय – 5 समांतर श्रेढ़ियाँ
• अध्याय – 6 त्रिभुज
• अध्याय – 7 निर्देशांक ज्यामिति
• अध्याय – 8 त्रिकोणमिति का परिचय
• अध्याय – 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
• अध्याय – 10 वृत्त
• अध्याय – 11 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
• अध्याय – 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
• अध्याय – 13 सांख्यिकी
• अध्याय – 14 प्रायिकता

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