NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 13 सांख्यिकी (Statistics) Exercise 13.3 in hindi

May 27, 2023

NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 13 सांख्यिकी (Statistics)

Textbook	NCERT
Class	10^th
Subject	(गणित) Mathematics
Chapter	13^th
Chapter Name	त्रिकोणमिति का परिचय (Introduction to Trigonometry)
Category	Class 10th गणित
Medium	Hindi
Source	Last Doubt

NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 13 सांख्यिकी (Statistics) Exercise 13.1 in hindi जिसमें हम इस अध्याय के प्रमुख बिंदुओं को समझने वाले है। जैसे वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य, वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक और वर्गीकृत आँकड़ों का माध्यक को पढ़ने वाले है। और अन्य प्रश्न जो की प्रश्नावली 13.1 कक्षा 10, कक्षा 10 गणित अध्याय 13 के लिए, एनसीईआरटी समाधान, प्रश्नावली 13.3 कक्षा 10, 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन, पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन कक्षा 10 गणित आदि सभी।

NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 13 सांख्यिकी (Statistics)

Chapter – 13

सांख्यिकी

Exercise – 13.3

1. निम्नलिखित बारंबारता बंटन किसी मोहल्ले के 68 उपभोक्ताओं की बिजली की मासिक खपत दर्शाता है। इन आँकड़ों के माध्यक, माध्य और बहुलक ज्ञात कीजिए। इनकी तुलना कीजिए।

मासिक खपत (इकाइयों में)	उपभोक्ताओं की संख्या
65-85 85-105 105-125 125-145 145-165 165-185 185-205	4 5 13 20 14 8 4

हल: माध्यक का परिकलन

पहले माध्यक के परिकलन के लिए हम निम्न सरणी की रचना करते है।

मासिक खपत (इकाइयों में)	उपभोक्ताओं की संख्या	संचयी बारंबारता
65-85 85-105 105-125 125-145 145-165 165-185 185-205	4 5 13 20 14 8 4	4 9 22 42 56 64 68
	n = 68

n\2 = 68
68\2 = 34

संचयी बारंबारता 42, n\2 से बड़ी है और सगत वर्ग 125 – 145 है।
इस प्रकार, 125 – 145 माध्यक वर्ग है।

इस तरह n\2 = 34, l = 125, cf = 22, f = 20, h = 20

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर

माध्यक = l + (n\2- cf\f) × h, दिया है
= 125 + (34 – 22\ 20) × 20
= 125 + 12 = 137 इकाई

माध्य का परिकलन
माना कि कल्पित माध्य, A = 135, वर्ग अंतराल, h = 20
अतः u_i= x_i – A\h = x_i -135\20

वर्ग – अंतराल	मध्यमान (x_i)	बारंबारता (ƒ_i)	u_{i =}x_i -135\20	ƒ_iu_i
65 – 85 85 – 105 105 – 125 125 – 145 145 – 165 165 – 185 185 – 205	75 95 105 135 155 175 195	4 5 13 20 14 8 4	-3 -2 -1 0 1 2 3	– 12 – 10 – 13 0 14 16 12
योग		68		7

x = A + h× ∑ƒ_iu_i\∑ƒ_i =135 + 20 × 7\68

= 135 + 2.05 + 137.05

माध्य = 137.07 इकाई

बहुलक का परिकलन

वर्ग 125 – 145 की अधिकतम बारंबारता है, अतः, यह बहुलक वर्ग है।

यहाँ, ƒ = 125, h = 20, ƒ_i = 20, ƒ₀ = 13 और ƒ₂ = 14

अब, यह मान सूत्र में स्थानापन्न करने पर,

बहुलक = l + (ƒ_i – ƒ₀\2ƒ₁ – ƒ₀ – ƒ₂) × h

= 125 + 20 – 13\40 – 13 – 14 × 20
= 125 + 7\13 × 20
= 125 + 10.76
= 135.76

बहुलक = 135.76 इकाई स्पष्ट है, इस स्थिति में तीन माप लगभग समान हैं।

2. यदि नीचे दिए हुए बंटन का माध्यक 28.5 हो तो 1 x और y के मान ज्ञात कीजिए :

वर्ग अंतराल	बारंबारता
0 – 10 10 – 20 20 – 30 30 – 40 40 – 50 50 – 60	5 x 20 15 y 5
योग	60

हल: यहाँ यह दिया गया है कि माध्यिका = 28.5 है।

और, n = ∑f_i = 60

अब हम निम्नलिखित संचयी बारंबारता सारणी बनाएंगे :

वर्ग अंतराल	बारंबारता	संचयी बारंबारता
0 – 10 10 – 20 20 – 30 30 – 40 40 – 50 50 – 60	5 x 20 15 y 5	5 5 + x 25 + x 40 + x 40 + x + y 45 + x + y
योग	n = 60

यहाँ n = 60 ⇒ n/2 = 30
क्योंकि, माध्यिका 28.5 दिया गया है, अतः माध्यक वर्ग-अंतराल 20 − 30 है।

l = 20, h = 10, f = 20, cf = 5 + x

⇒ माध्यक = l + [(n/2 − cf)/f] × h

⇒ 28.5 = 20 + [(30 − (5 + x)/20] × 10
⇒ 28.5 = 20 + (25−x)/2
⇒ 28.5 – 20 = 25 − x/2
⇒ 8.5 × 2 = 25 − x
⇒ 17 = 25 − x
⇒ x = 25 − 17
⇒ x = 8

साथ ही, 45 + x + y = 60
⇒ y = 60 − 45 − 8
⇒ y = 60 − 53 = 7

इसलिए, x = 8 और y = 7

3. एक जीवन बीमा एजेंट 100 पॉलिसी धारकों की आयु के बंटन के निम्नलिखित आँकड़े ज्ञात करता है। माध्यक आयु परिकलित कीजिए, यदि पॉलिसी केवल उन्हीं व्यक्तियों को दी जाती है, जिनकी आयु 18 वर्ष या उससे अधिक हो, परंतु 60 वर्ष से कम हो।

आयु (वर्षों में)	पॉलिसी धारकों की संख्या
20 से कम 25 से कम 30 से कम 35 से कम 40 से कम 45 से कम 50 से कम 55 से कम 60 से कम	2 6 24 45 78 89 92 98 100

हल: संचयी बारंबारता बंटन दिया गया है। अतः, पहले दिए गए संचयी बारंबारता बंटन द्वारा हम एक बारंबारता सारणी बनाते है और फिर माध्यक का परिकलन करने के लिए हम आवश्यक गणनाएँ करते है:

वर्ग अंतराल	बारंबारता	संचयी बारंबारता
15 – 20 20 – 25 25 – 30 30 – 35 35 – 40 40 – 45 45 – 50 50 – 55 55 – 60	2 4 18 21 33 11 3 6 2	2 6 24 45 78 89 92 98 100 = n

यहाँ, n = ∑f_i = 100 = n/2 = 50

हम देखते है की संचयी बारंबारता 78, n/2 से बड़ी है और संगत वर्ग 35 – 40 है।
अतः 35 – 40 माध्यक वर्ग है।

n/2 = 50, l = 35, cf = 45, f = 33, h = 5

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,

माध्यक = l + [(n/2 − cf)/f] × h
= 35 + 50 – 45/33 × 5
= 35 + 5/33 × 5
= 35 + 0.76 = 35.76
अतः माध्यक आयु = 35.76 वर्ष

4. एक पौधे की 40 पत्तियों की लंबाइयाँ निकटतम मिलीमीटरों में मापी जाती है तथा प्राप्त आँकड़ों को निम्नलिखित सारणी के रूप में निरूपित किया जाता है :

लम्बाई (mm में)	पत्तियों की संख्या
118 – 126 127 – 135 136 – 144 145 – 153 154 – 162 163 – 171 172 – 180	3 5 9 12 5 4 2

पत्तियों की माध्यक लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल: यहाँ बारंबारता इन्क्लूसिव रूप में दी गई है। अतः सर्वप्रथम हम इनकी निम्न और ऊपरी सीमाओं में h/2 क्रमशः घटाकर और जोड़कर इसे एक्सकलूसिव रूप में लिखेंगे, जँहा h किसी वर्ग की निम्न सीमा के अंतर को और पूर्व वर्ग की ऊपरी सीमा को प्रकट करता है।

दी गई सारणी को एक्सक्लूसिव रूप में बदलने और संचयी बारंबारता सारणी तैयार करने पर, हम पाते है:

लम्बाई (mm में)	पत्तियों की संख्या (बारंबारता)	संचयी बारंबारता
117.5 – 126.5 126.5 – 135.5 135.5 – 144.5 144.5 – 153.5 153.5 – 162.5 162.5 – 171.5 171.5 – 180.5	3 5 9 12 5 4 2	3 8 17 29 34 38 40 = n

हमारे पास है, n = 40
= n/2 = 20

संचयी बारंबारता 29, n/2 से बड़ी है और सांगत वर्ग 144.5 – 153.5 है।

अतः 144.5 – 153.5 माध्यक वर्ग है।

यहाँ, n/2 = 20, l = 144.5, h = 9, f = 12, cf = 17

इन मानों को सूत्र में रखने पर,

माध्यक = l + [(n/2 − cf)/f] × h
= 144.5 + (20 – 17/12) × 9
= 144.5 + 3/12 × 9
= 144.5 + 2.25
= 146.75 mm

5. निम्नलिखित सारणी 400 नियॉन लैंपों के जीवन कालों (life time) को प्रदर्शित करती है।

जीवन काल (घंटो में)	लैंपों की संख्या
1500 – 2000 2000 – 2500 2500 – 3000 3000 – 3500 3500 – 4000 4000 – 4500 4500 – 5000	14 56 60 86 74 62 48

एक लैंप का माध्यक जीवन काल ज्ञात कीजिए।

हल: पहले, माध्यक की गणना के लिए हम निम्न सारणी तैयार करेंगे :

जीवन काल (घंटो में)	लैंपों की संख्या (बारंबारता)	संचयी बारंबारता
1500 – 2000 2000 – 2500 2500 – 3000 3000 – 3500 3500 – 4000 4000 – 4500 4500 – 5000	14 56 60 86 74 62 48	14 70 130 216 290 352 400 = n

हमारे पास है n = 400 = n/2 = 200
संचयी बारंबारता 216, n/2 से बड़ी है और संगत वर्ग 3000 – 3500 है।

इस प्रकार 3000 – 3500 माध्यक वर्ग है, इस प्रकार n/2 = 200,

l = 3000, cf = 130, f = 86 और h = 500

इन मानों को सूत्र में रखने पर,

माध्यक = l + [(n/2 − cf)/f] × h
= 3000 + (200 – 130/86) × 500
= 3000 + 70/86 × 500
= 3000 + 406.98 = 3406.98
अतः माध्यक जीवनकाल = 3406.98 घंटे

6. एक स्थानीय टेलीफ़ोन निर्देशिका से 100 कुलनाम (surnames ) लिए गए और उनमें प्रयुक्त अंग्रेज़ी वर्णमाला के अक्षरों की संख्या का निम्नलिखित बारंबारता बंटन प्राप्त हुआ :

अक्षरों की संख्या	1 – 4	4 – 7	7 – 10	10 – 13	13 – 16	16 – 29
कुलनामों की संख्या	6	30	40	16	4	4

कुलनामों में माध्यक अक्षरों की संख्या ज्ञात कीजिए । कुलनामों में माध्य अक्षरों की संख्या ज्ञात कीजिए। साथ ही कुलनामों का बहुलक ज्ञात कीजिए।

हल: माध्यक का परिकलन

पहले, माध्यक के परिकलन के लिए हम निम्न सारणी तैयार करेंगे :

अक्षरों की संख्या	कुलनामों की संख्या (बारंबारता)	संचयी बारंबारता
1 – 4 4 – 7 7 – 10 10 – 13 13 – 16 16 – 29	6 30 40 16 4 4	6 36 76 92 96 100 = n

हमारे पास है, n = 100 = n/2 = 50

संचयी बारंबारता 76, n/2 से बड़ी है और संगत वर्ग 7 – 10 है। इस प्रकार 7 – 10 माध्यक वर्ग है।

इस तरह n/2 = 50, l = 7, cf = 36, f = 40 और h = 3

इन मानों को सूत्र में रखने पर,

माध्यक = l + (n/2 – cf/f) × h
= 7 + (50 – 36/40) × 3
= 7 + 14/40 × 3
= 7 + 1.05 = 8.05

माध्यक का परिकलन

अक्षरों की संख्या	मध्यबिंदु (X_i)	बारंबारता (f_i)	(f_ix_i)
1 – 4 4 – 7 7 – 10 10 – 13 13 – 16 16 – 29	2.5 5.5 8.5 11.5 14.5 17.5	6 30 40 16= 832 4 4	15 165 340 184 58 70
योग		100	832

माध्य, x̄ = ∑f_ix_i/∑f_i

= 832/100 = 8.32

बहुलक का परिकलन

वर्ष 7 – 10 की अधिकता बारंबारता है, अतः यह बहुलक वर्ग है।

यहाँ, l = 7, h = 3, f₁ = 40, f₀ = 30 और f₂ = 16

अब इन मानों को सूत्र में रखने पर,

बहुलक = l + (f₁ – f₀/2f₁ – f₀ – f₂) × h
= 7 + 40 – 30/80 – 30 – 16 × 3
= 7 + 10/34 × 3
= 7 + 0.88 = 7.88

अतः माध्यक = 8.02, माध्य = 8.32 और बहुलक = 7.88

7. नीचे दिया हुआ बंटन एक कक्षा के 30 विद्यार्थियों के भार दर्शा रहा है। विद्यार्थियों का माध्यक भार ज्ञात कीजिए।

भार (किलोग्राम में)	विद्यार्थियों की संख्या
40 – 45 45 – 50 50 – 55 55 – 60 60 – 65 65 – 70 70 – 75	2 3 8 6 6 3 2

हल: आइए माध्यक के परिकलन हेतु निम्नलिखित सारणी तैयार करें :

भार (किलोग्राम में)	विद्यार्थियों की संख्या	संचयी बारंबारता
40 – 45 45 – 50 50 – 55 55 – 60 60 – 65 65 – 70 70 – 75	2 3 8 6 6 3 2	2 5 13 19 25 28 30 = n

हमारे पास है, n = 30 = n/2 = 15

संचयी बारंबारता n/2 से थोड़ी अधिक है 19 है और सदृश वर्ग 55 – 60 है

अतः 55 – 60 माध्यक वर्ग है इस तरह

n/2 = 15, l = 55, f = 6, cf = 13 और h = 5

ये मान सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,

माध्यक = l + (n/2 – cf/f) × h
= 55 + (15 – 13/6) × 5
= 55 + (15 – 13/6) × 5
= 55 + 2/6 × 5
= 55 + 1.67
= 56.67

अतः माध्यक भार = 56.67

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