NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 11 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल (Areas Related to Circles) Exercise -11.1 in Hindi

May 31, 2023

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 11 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल (Areas Related to Circles)

Textbook	NCERT
Class	10^th
Subject	(गणित) Mathematics
Chapter	11^th
Chapter Name	वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल (Areas Related to Circles)
Mathematics	Class 10th गणित
Medium	Hindi
Source	Last Doubt

NCERT Solutions Class 10th Maths Chapter – 11 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल (Areas Related to Circles) Exercise – 11.1 in Hindi इस Chapter में हम वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र क्या होता है?, वृत्त से संबंधित क्षेत्रफल क्या है?, वृत्त का सूत्र क्या होता है?, वृत्त की जीवा का सूत्र क्या होता है?, वृत्त का परिमाप का फार्मूला क्या है?, वृत्त का क्षेत्रफल और परिमाप क्या है?, वृत्त का माप कितना होता है?, वृत्त की परिधि क्या होगी? इत्यादि के बारें में पढ़ेंगे।

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus Chapter – 11 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल (Areas Related to Circles)

Chapter – 11

वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल

Exercise – 11.1

1. 6 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका कोण 60° है।

हल: त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = πr²Q/360°

= π × 6 × 6 × 60°/ 360° = 6π

2. एक वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी परिधि 22 cm है।

हल:

Q = 360/4 = 90°
वृत्त की परिधि = 2πr
22 = 2 x 22/7 x r
r = 7/2 cm

चतुर्थांश का क्षेत्रफल = πr²Q/360°
= (22/7 x 7/2 x 7/2 x 90)/360
= 11 x 7/2 x 4
77/8 cm² = 96.25 cm²

3. एक घड़ी की मिनट की सुई 14 सेमी लम्बी है। दस मिनट में मिनट की सुई द्वारा बनाए गए त्रिज्यखण्ड (Sector) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (यहाँ = 3.14 लीजिए)

हल:

1 mint = 6°
10 mint – 60°
त्रिज्यखण्ड (Sector) का क्षेत्रफल = πr²Q/360° = (22/7 x 14 x 14 x 60)/360
क्षेत्रफल = 22 x A/3 = 308/3 = 102.66cm²

4. 10 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर एक समकोण अंतरित करती है निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(i) संगत लघु वृत्तखंड
(ii) संगत दीर्घ त्रिज्यखंड ( $π = 3.14$ का प्रयोग कीजिए)

हल: (i) संगत लघु वृत्तखंड

= OACB का क्षेत्रफल – Δ OAB का क्षेत्रफल
= Q/360 x πr² – 1/2 x आधार x उंचाई
= Q/360 x πr² – 1/2 x r x r
= Q/360 x πr² – 1/2 x 2
= 90/360 x 3.14 x 10 x 10 – 1/2 x 10 x 10
= 1/4 x 3.14 x 10 x 10 – 1 x 5 x 10
= 3.14 x 5 x 5 – 50
= 3.14 x 25 – 50
= (3.14 x 25 – 50) cm²
= 28.5 cm²

(ii) संगत दीर्घ त्रिज्यखंड ( $π = 3.14$ का प्रयोग कीजिए)

संगत दीर्घ त्रिज्यखंड = Q/360 x πr²
= 270/360 x π x 10 x 10
= 3 x π x 25
= 75 x 3.14
= 235.5 cm²

5. त्रिज्या 21 cm वाले वृत्त का एक चाप केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करता है। ज्ञात कीजिए :
(i) चाप की लंबाई
(ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
(iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखंड का क्षेत्रफलदिए हैं त्रिजये (r) = 21 cm
चाप द्वारा केंद्र पर कोण = 60

हल:

(i) चाप की लंबाई = Q/360 x 2πr
Q 60°, r =21 cm
चाप की लंबाई = 60/360 x 2 x 22/7 x 21
= 22 cm

(ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = Q/360 x πr²
= 60°/360 x 22/7 x 21 x 21
= 11 x 21
= 231 वर्ग cm

(iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखंड का क्षेत्रफल

चाप द्वारा बनाए वृत्तखंड का क्षेत्रफल
= त्रिज्यखंड OAB का क्षेत्रफल
Δ OAB का क्षेत्रफल
Δ OAB में
sin 30 x OA
= 1/2 x 21 = 21/2
AB = 2 x AC = 21 cm
COS 30° = OC/OA
OC = OA x COS30°
= 21 x √3/2 = OC = 21 √3/2

ΔOAB का क्षेत्रफल = 1/2 x AB x OC
1/2 x 21 x 21 √3/2 441 √3/4

जीवा द्वारा बनाए वृत्तखंड का क्षेत्रफल
= 231 – 441√3/4
= 231 x 4 – 441√3/4
= 924 – 441√3/4 वर्ग cm

6. 15 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करती है। संगत लघु और दीर्घ वृत्तखंडों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (= 3.14 और √3 = 1.73 का प्रयोग कीजिए।)

हल:

ar (AMBP) लघु वृत्तखंड = ar (OAPB) – ar (ΔAOB)
ar (OAPB) Q/360 x πr2 = 60°/360° x 3.14 x 15 x15
= 117.75

ΔAOM
= SIN 30° = AM/OA
1/2 = AM/15 ⇒ AM = 15/2
AB = 2AM = 15 cm
COS 30° = OM/OA
√3/2 = OM/15
⇒ OM = 15 x √3/2

ar(ΔAOB) = 1/2 x 15 x 15 x √3/2
= 1/2 x 15 x 15 x1.732/2
= 92.3125 cm²

लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = 117.75 – 97.3125
= 20.4375 cm²

दीर्घ वृत्तखंडों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। = πr2 – 20.4375
= 3.14 x 15 x 15 – 20.43
= 706.5 – 20.4375
= 686.0625 cm²

7. त्रिज्या 12 cm वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर 120° का कोण अंतरित करती है। संगत वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ( $π = 3.14$ और $\sqrt{3} = 1.73$ का प्रयोग कीजिए।)

हल:

संगत वृत्तखंड का क्षेत्रफल = R²/2 (πQ/180 – SING)
= (12)2 [3.14 x 120/180 – SIN 120°]
= 144/2 [3.14 x 2 – √3/2]
= 72 [3.14 x 4 – 3 √3/6]
= 72 [12.56 – 5.19/6]
= 72/6 [7.37]
= 12 x 7.37 = 88.44 cm²

8. 15m भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर लगे खूँटे से एक घोड़े को 5 m लंबी रस्सी से बाँध दिया गया है (देखिए आकृति 11.8)। ज्ञात कीजिए :

(i) मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोड़ा घास चर सकता है।

(ii) चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि, यदि घोड़े को 5m लंबी रस्सी के स्थान पर 10m लंबी रस्सी से बाँध दिया जाए। (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए।)

हल: (i) मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोड़ा घास चर सकता है।

त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल = πr²Q/360°
= 3.14 x 5 x 5 x 90°/360
= 3.14 x 25/4 = 19.64 cm²

πr²Q/360° = 3.14 x 10 x 10 x 90°/360
3.14 x 100/4 = 314/4
= 78.57 m²

9. एक वृत्ताकार ब्रूच (brooch) को चाँदी के तार से बनाया जाना है जिसका व्यास 35 mm है। तार को वृत के 5 व्यासों को बनाने में भी प्रयुक्त किया गया है जो उसे 10 बराबर त्रिज्यखंडों में विभाजित करता है जैसा कि आकृति 11.9 में दर्शाया गया है। तो ज्ञात कीजिए :

(i) कुल वांछित चाँदी के तार की लंबाई
(ii) ब्रूच के प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

हल: (i) कुल वांछित चाँदी के तार की लंबाई

वृत्त त्रिज्या = 35/2 mm
परिधी = 2πr
=2 x 22/7 x 35/2 = 110 mm

(ii) ब्रूच के प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
तार की लंबाई = 110M + 5 x 35
= 110MM + 175 mm
= 285 mm

प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = Q/360 x πr² ⇒ 36°/360 x πr²
= 360/360 x 22/7 x (35/2)2 mm²

1/10 x 22/7 x (35/2)2 mm
प्रत्येक त्रिज्य = 385/4 mm²

10. एक छतरी में आठ ताने हैं, जो बराबर दूरी पर लगे हुए हैं। (देखिए आकृति 11.10 )। छतरी को 45 cm त्रिज्या वाला एक सपाट वृत्त मानते हुए, इसकी दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल: क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
= πr²Q/360°
क्रमागत तानों के बीच कोण/कुल तानो की संख्या = 360°/8 = 90°/2 = 45°
A = 22/7 x 45 x 45 x 45/360°
A = 11/7 x (45)²/4 = 11/7 x 2025/4 = 11 x 2025/28
A = 22275/28 cm²

11. किसी कार के दो वाइपर (Wipers) हैं, परस्पर कभी आच्छादित नहीं होते हैं । प्रत्येक वाइपर की पत्ती की लंबाई 25 cm है और 115° के कोण तक घूम कर सफाई कर सकता है। पत्तियों की प्रत्येक बुहार के
साथ जितना क्षेत्रफल साफ हो जाता है, वह ज्ञात कीजिए।

हल: वाइपर ब्लेड की लंबाई = 25cm, q=115
एक पत्ती द्वारा साफ क्षेत्रफल= पत्ती द्वारा बनाए गए त्रिज्यखण्ड के
क्षेत्रफल के
= qπr²/360°
= 115° x 22/7 x 25²
= 158125/252 cm²
दो पतियों द्वारा कुल साफ क्षेत्रफल = 2 x 158125/252 cm²
= 158125/126 cm²

12. जहाजों को समुद्र में जलस्तर के नीचे स्थित चट्टानों की चेतावनी देने के लिए, एक लाइट हाउस (light house) 80° कोण वाले एक त्रिज्यखंड में 16.5km की दूरी तक लाल रंग का प्रकाश फैलाता है। समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसमें जहाजों को चेतावनी दी जा सके। (π= 3.14 का प्रयोग कीजिए।)

हल: त्रिज्या = 16.5km
q = 80°
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = πr²q/360°
= 3.14 x 16.5 x 80° /360°
= 3.14 x 16.5 x 2/9
= 2189.97 km

13. एक गोल मेज़पोश पर छ: समान डिज़ाइन बने हुए हैं जैसाकि आकृति 11.11 में दर्शाया गया है। यदि मेज़पोश की त्रिज्या 28 cm है, तो ₹ 0.35 प्रति वर्ग सेंटीमीटर की दर से इन डिज़ाइनों को बनाने की लागत ज्ञात कीजिए। (√3 = 1.7 का प्रयोग कीजिए)

हल: डिज़ाइन का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – समषष्ठभुज का क्षेत्रफल
वृत्त का क्षेत्रफल = π x r² = 22/7 x28 x 28 = 22 x 4 x 28
= 2462cm² समषष्ठभुज का क्षेत्रफल = 3√3/2 x 28 x 28
= 2036.89 cm²
डिज़ाइन का क्षेत्रफल = 2464 – 2036.89cm2u
= 427.1cm²
खर्च = 3.50 x 427.1
= 1494.85

14. निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए :
त्रिज्या R वाले वृत्त के उस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल जिसका कोण p° है, निम्नलिखित है:

(A) p/180 2πr
(B) p/180 x πr²
(C) p/720 x 2πr²
(D) p/360 x 2πr

हल:

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = πr²q/360°
πr²p/360 => 2πr²p/360 x 2
= 2πr²p/720

(D) p/360 x 2πr

Examples
Exercises – 11.1

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