NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 14 प्रायिकता (Probability) Examples in Hindi

NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 14 प्रायिकता (Probability)

NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 14 प्रायिकता कैसे ज्ञात किया जाता है?, प्रायिकता क्या है?, मान लीजिए हम एक पासे को एक बार फेंकते हैं चार से बड़ी संख्या प्राप्त होने की प्रार्थना क्या है?, प्रायिकता के 4 प्रकार क्या हैं?, प्रायिकता के 4 प्रकार क्या हैं?, प्रायिकता की परिभाषा क्या है?, प्रायिकता के कुछ उदाहरण क्या हैं?, प्रायिकता से आप क्या समझते हैं?, प्रायिकता क्या है और इसका महत्व क्या है?, प्रायिकता का महत्व क्या है?, प्रायिकता का पिता कौन है?,प्रायिकता के प्रमुख घटक क्या है?, प्रायिकता की परिभाषा किसने प्रदान की?, प्रायिकता के तीन दृष्टिकोण क्या हैं?, प्रायिकता के सिद्धांत का आविष्कार किसने किया था?, कौन सी संख्या प्रायिकता है?,आदि के बारे में पढ़ेंगे।

NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 14 प्रायिकता (Probability)

Chapter – 14

प्रायिकता

Examples

उदाहरण 1: एक चित प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए, जब एक सिक्के को एक बार उछाला जाता है। साथ ही, एक पट प्राप्त करने की भी प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल: एक सिक्के को एक बार उछालने के प्रयोग में संभव परिणामों की संख्या 2 है- चित (H) और पट (T) । मान लीजिए घटना E ‘चित प्राप्त करना’ है। तब E के अनुकूल (अर्थात् चित प्राप्त करने के अनुकूल ) परिणाम 1 है।

अतः, P(E) = P (चित) = E के अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी संभव परिणामों की संख्या = 1/2
इसी प्रकार, यदि घटना F पट प्राप्त करना है, तो
P(F) = P (पट) = 1/2 (क्यों?)

उदाहरण 2 : एक थैले में एक लाल गेंद, एक नीली गेंद और एक पीली गेंद है तथा सभी गेंदे एक ही साइज की हैं। कृतिका बिना थैले के अंदर झाँके, इसमें से एक गेंद निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गेंद
(i) पीली होगी ?
(ii) लाल होगी ?
(iii) नीली होगी ?

हल: कृतिका थैले में से, उसमें बिना झाँके, गेंद निकालती है। अतः उसके द्वारा कोई भी गेंद निकालना समप्रायिक है। माना ‘पीली गेंद निकालना’ घटना Y है, ‘लाल गेंद निकालना’ घटना R है तथा ‘नीली गेंद निकालना’ घटना B है।अब, सभी संभव परिणामों की संख्या = 3 है।(i) घटना Y के अनुकूल परिणामों की संख्या = 1अतः p(y) = 1/3इसी प्रकार, P(R) = 1/3 और P(B) = 1/3

उदाहरण 3 : मान लीजिए हम एक पासे को एक बार फेंकते हैं।

(i) 4 से बड़ी संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है ?
(ii) 4 से छोटी या उसके बराबर संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है?

हल : (i) यहाँ मान लीजिए कि ‘4 से बड़ी संख्या प्राप्त करना’ घटना E है। सभी संभव परिणाम छ: हैं, ये 1, 2, 3, 4, 5 और 6 हैं। स्पष्टतः घटना E के अनुकूल परिणाम 5 और 6 हैं। अतः E के अनुकूल परिणामों की संख्या 2 है। इसलिए

P(E) = P (4 से बड़ी संख्या) = 2/6 = 1/3

(ii) मान लीजिए ‘4 से छोटी या उसके बराबर संख्या प्राप्त करना’ घटना F है।
सभी संभव परिणाम = 6 हैं।
घटना F के अनुकूल परिणाम 1, 2, 3 और 4 हैं।
अतः F के अनुकूल परिणामों की संख्या 4 है।

इसलिए P(F) = 4/6 = 2/3

क्या उपरोक्त उदाहरण में दी हुई घटना E और F प्रारंभिक घटनाएँ हैं? नहीं, ये प्रारंभिक घटनाएँ नहीं हैं, क्योंकि घटना E के 2 परिणाम हैं तथा घटना F के 4 परिणाम हैं।

उदाहरण 4: अच्छी प्रकार से फेटी गई 52 पत्तों की एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। इसकी प्रायिकता परिकलित कीजिए कि यह पत्ता :

(i) एक इक्का होगा।
(ii) एक इक्का नहीं होगा।

हल: गड्डी को अच्छी प्रकार से फेटने से परिणामों का समप्रायिक होना सुनिश्चित हो जाता है।

(i) एक गड्डी में 4 इक्के होते हैं। मान लीजिए घटना E ‘एक इक्का होना’ है।
E के अनुकूल परिणामों की संख्या = 4
सभी संभव परिणामों की संख्या = 52 (क्यों?)
अतः P(F) = 48/52 = 12/13

(ii) मान लीजिए घटना F ‘एक इक्का नहीं’ है।
माना F के अनुकूल परिणामों की संख्या = 52 – 4 = 48 ( क्यों ? )
सभी संभव परिणामों की संख्या = 52
अतः P(E) = 4/52 = 12/3

उदाहरण 5: दो खिलाड़ी संगीता और रेशमा टेनिस का एक मैच खेलते हैं। यह ज्ञात है कि संगीता द्वारा मैच जीतने की प्रायिकता 0.62 है। रेशमा के जीतने की क्या प्रायिकता है?

हल : मान लीजिए S और R क्रमश: संगीता के जीतने और रेशमा के जीतने की घटनाएँ व्यक्त करते हैं।

संगीता के जीतने की प्रायिकता = P(S) = 0.62( दिया है)
रेशमा के जीतने की प्रायिकता = P(R) = 1 – P(S)
[चूँकि घटनाएँ R और S पूरक हैं]
= 1 – 0.62 = 0.38

उदाहरण 6 : सविता और हमीदा दो मित्र हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों

(i) के जन्म – दिन भिन्न-भिन्न हों?
(ii) का जन्मदिन एक ही हो? [लीप का वर्ष (Leap year ) को छोड़ते हुए ]

हल : दोनों मित्रों में से किसी एक लड़की, मान लीजिए, सविता का जन्मदिन वर्ष का कोई भी दिन हो सकता है। इसी प्रकार दूसरी लड़की हमीदा का जन्मदिन भी वर्ष के 365 दिनों में से कोई एक दिन हो सकता है।

(i) यदि हमीदा का जन्मदिन सविता के जन्मदिन से भिन्न है, तो उसके जन्मदिन के अनुकूल परिणामों की संख्या 365 – 1 = 364 होगी।
अत: P (हमीदा का जन्मदिन सविता के जन्मदिन से भिन्न है) = 364/365

(ii) P (सविता और हमीदा का जन्मदिन एक ही हो )
= 1 – P (दोनों का जन्मदिन भिन्न है)
= 1 – 364/365 [P(Ē) = 1 – P (E) के प्रयोग से ]
= 1/365

उदाहरण 7: किसी स्कूल की कक्षा X में 40 विद्यार्थी हैं जिनमें से 25 लड़कियाँ हैं और 15 लड़के हैं। कक्षा अध्यापिका को एक विद्यार्थी कक्षा – प्रतिनिधि के रूप में चुनना है। वह प्रत्येक विद्यार्थी का नाम एक अलग कार्ड पर लिखती है, जबकि कार्ड एक जैसे हैं। फिर वह इन कार्डों को एक थैले में डालकर अच्छी तरह से हिला देती है। इसके बाद वह थैले में से एक कार्ड निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि कार्ड पर लिखा हुआ नाम एक

(i) लड़की का है ?
(ii) लड़के का है?

हल : कुल 40 विद्यार्थी हैं और इनमें से केवल एक नाम का कार्ड चुनना है।
(i) सभी संभव परिणामों की संख्या = 40कार्ड पर लड़की का नाम होने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 25 (क्यों?)अब, P (कार्ड पर लड़की का नाम है ) = P (लड़की) = 25/40 = 5/8

(ii) कार्ड पर लड़के का नाम होने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 15 (क्यों?)अत:, P(कार्ड पर लड़के का नाम है ) = P (लड़का ) = 15/40 = 3/8

उदाहरण 8 : एक बक्से में 3 नीले, 2 सफेद और 4 लाल कंचे (marbles) हैं। यदि इस बक्से
में से एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह कंचा

(i) सफेद है?
(ii) नीला है ?
(iii) लाल है?

हल: यह कहना कि कंचा यादृच्छया रूप से निकाला गया है, संक्षिप्त में यह कहने के बराबर
है कि सभी परिणाम समप्रायिक हैं। अतः,सभी संभव परिणामों की संख्या = 3 + 2 + 4 = 9 (क्यों?)मान लीजिए घटना W ‘कंचा सफेद है’ को, घटना B ‘कंचा नीला है’ को तथा घटना R ‘कंचा लाल है’ को व्यक्त करता है।

(i) घटना W के अनुकूल परिणामों की संख्या = 2
अतः P(W) = 2/9

इसी प्रकार, (ii) P (B) = 3\ 9 = 1\2

और

(iii) P(R) = 4\9 ध्यान दीजिए कि P(W) + P(B) + P(R) = 1 है।

उदाहरण 9 : हरप्रीत दो भिन्न-भिन्न सिक्कों को एक साथ उछालती है ( मान लीजिए एक सिक्का ₹ 1 का है और दूसरा सिक्का ₹ 2 का है)। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह कम से कम एक चित प्राप्त करेगी?

हल: हम ‘चित’ के लिए H और ‘पट’ के लिए T लिखते हैं। जब दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है, तो संभावित परिणाम (H, H), (H, T), (T, H), (T, T) हैं तथा ये सभी समप्रायिक हैं। यहाँ (H, H) का अर्थ है कि पहले सिक्के ( मान लीजिए ₹1 के सिक्के) पर ‘चित’ आएगा और दूसरे सिक्के (₹ 2 के सिक्के) पर ‘चित’ आएगा। इसी प्रकार, (H, T) का अर्थ है कि पहले सिक्के पर ‘चित’ आएगा और दूसरे सिक्के पर ‘पट’ आएगा, इत्यादि ।

घटना E ‘कम से कम एक चित आना’ के अनुकूल परिणाम (T, H) हैं। (क्यों?)

अतः E के अनुकूल परिणामों की संख्या

इसलिए P(E) = 3/4

अर्थात् हरप्रीत द्वारा कम से कम एक चित प्राप्त करने की प्रायिकता 3/4 है।

उदाहरण 10 : एक म्यूज़िकल चेयर (musical chair) खेल में, जो महिला संगीत बजा रही थी उसे सलाह दी गई कि वह संगीत प्रारंभ करने के बाद 2 मिनट के अंदर कभी भी संगीत बंद कर दे। इसकी क्या प्रायिकता है कि संगीत प्रारंभ होने के पहले आधे मिनट के अंदर बंद हो जाएगा?

हल : यहाँ संभव परिणाम 0 और 2 के बीच की सभी संख्याएँ हैं। यह संख्या रेखा तक का भाग है (देखिए आकृति 14.1)।

आकृति 14.1

मान लीजिए घटना E ‘संगीत प्रारंभ होने के पहले आधे मिनट बंद हो जाता है’।
E के अनुकूल परिणाम संख्या रेखा पर 0 से 1/2 के बीच के सभी बिंदु हैं।

चूँकि सभी परिणाम समप्रायिक हैं, इसलिए हम यह तर्क दे सकते हैं कि कुल दूरी 2 में से दूरी 1/2 घटना E के अनुकूल है।

अतः P(E) = घटना E के अनुकूल दूरी / पूरी दूरी जिसमें परिणाम स्थित हो सकते हैं = 1/2/2 = 1/4

क्या हम उदाहरण 10 की अवधारणा को किसी घटना की प्रायिकता उसके अनुकूल क्षेत्रफल और संपूर्ण क्षेत्रफल के अनुपात के रूप में विस्तृत कर सकते हैं।

उदाहरण 11 : एक लापता हेलीकॉप्टर के बारे में सूचना मिलती है कि वह आकृति 14.2 में दर्शाए आयताकार क्षेत्र में कहीं गिर गया है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह आकृति में दर्शाई गई झील में गिरा है ?

आकृति 14.2

हल: हेलीकॉप्टर का आयताकार क्षेत्र में कहीं भी गिरना समप्रायिक है।
संपूर्ण क्षेत्र का क्षेत्रफल, जहाँ हेलीकॉप्टर गिर सकता है।
= (4.5 × 9 ) km2 = 40.5km 2
झील का वास्तविक क्षेत्रफल = (2.5 x 3 ) km2 = 7.5 km2
अत:, P (हेलीकॉप्टर झील में गिरा है) = 7.5/40.5 = 75/405 = 5/27 है।

उदहारण 12 : एक डिब्बे में 100 कमीजें हैं, जिसमें से 88 अच्छी हैं तथा 8 में थोड़ी सी खराबी है और 4 में अधिक खराबी है। एक व्यापारी जिम्मी वे ही कमीजें स्वीकार करता है जो अच्छी हैं, जबकि एक अन्य व्यापारी सुजाता उन्हीं कमीजों को अस्वीकार करती है जिनमें खराबी अधिक है। इस डिब्बे में से एक कमीज को यादृच्छया रूप से निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह कमीज

(i) जिम्मी को स्वीकार हो?
(ii) सुजाता को स्वीकार हो ?

हल: 100 कमीजों के डिब्बे में से एक कमीज यादृच्छया रूप से निकाली जाती है। अतः यहाँ
100 समप्रायिक परिणाम हैं।

(i) जिम्मी के अनुकूल (को स्वीकार) परिणामों की संख्या = 88 (क्यों ?)
अत:, P (कमीज जिम्मी को स्वीकार है) = 88/100 = 0.88

(ii) सुजाता के अनुकूल परिणामों की संख्या = 88 + 8 = 96 (क्यों?)
अत:, P (कमीज सुजाता को स्वीकार है) = 96/100 = 0.96

उदाहरण 13 : एक सलेटी पासे और एक नीले पासे को एक साथ फेंका जाता है। सभी संभावित परिणामों को लिखिए | इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों पासों की संख्याओं का योग

(i) 8 है।
(ii) 13 है।
(iii) 12 से छोटी या उसके बराबर है।

हल : जब नीला पासा ‘1′ दर्शाता है, तो सलेटी पासे पर संख्याओं 1, 2, 3, 4, 5, 6 में से कोई भी संख्या हो सकती है। यही तब भी होगा, जब नीले पासे पर ‘2’, ‘3’, ‘4’, ‘5’ या ‘6’ होगा। इस प्रयोग के संभावित परिणामों को नीचे सारणी में दिया गया है। प्रत्येक क्रमित युग्म की पहली संख्या नीले पासे पर आने वाली संख्या है तथा दूसरी संख्या सलेटी पासे पर आने वाली संख्या है।

आकृति 14.3

ध्यान दीजिए कि युग्म (1, 4) युग्म (4, 1) से भिन्न है ( क्यों ? )
अतः, संभावित परिणामों की संख्या = 6 x 6 = 36 है।
(i) E द्वारा व्यक्त घटना ‘संख्याओं का योग 8 है’ के अनुकूल परिणाम (2, 6), (3,5),
(4, 4), (5, 3) और (6, 2) हैं (देखिए आकृति 15.3)।
अर्थात् E के अनुकूल परिणाम = 5

इसलिए P(E) = 5/36

(ii) जैसा कि आप आकृति 15.3 से देख सकते हैं, घटना F, ‘संख्याओं का योग 13 है’ के
अनुकूल कोई भी परिणाम नहीं है।

अतः P(F) = 0/36 =0

(iii) जैसा कि आप आकृति 14.3 से देख सकते हैं, घटना G ‘संख्याओं का योग ≤12 से
छोटा या उसके बराबर है’ के अनुकूल सभी परिणाम हैं।

अतः P (G) = 36/36 = 1

NCERT Solutions Class 10th Maths (2023-2024) All Chapter in Hindi Medium

• अध्याय – 1 वास्तविक संख्याएँ
• अध्याय – 2 बहुपद
• अध्याय – 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
• अध्याय – 4 द्विघात समीकरण
• अध्याय – 5 समांतर श्रेढ़ियाँ
• अध्याय – 6 त्रिभुज
• अध्याय – 7 निर्देशांक ज्यामिति
• अध्याय – 8 त्रिकोणमिति का परिचय
• अध्याय – 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
• अध्याय – 10 वृत्त
• अध्याय – 11 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
• अध्याय – 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
• अध्याय – 13 सांख्यिकी
• अध्याय – 14 प्रायिकता

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