NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग (Some Applications of Trigonometry) Example in hindi

NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग (Some Applications of Trigonometry)

 NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग (Some Applications of Trigonometry) Example in hindi जिसमे हम त्रिकोणमिति का अध्ययन करने की आवश्यकता क्यों है?, त्रिकोणमिति में थीटा का क्या महत्व है?, यदि त्रिकोणमिति न होती तो क्या होता?, इंजीनियर त्रिकोणमिति का उपयोग कैसे करते हैं?, आप त्रिकोणमिति की तैयारी कैसे करते हैं?, थीटा का उद्देश्य क्या है?, त्रिकोणमिति तालिका का आविष्कार किसने किया था?, त्रिकोणमिति में थीटा का मान कितना होता है?, गणित के बिना दुनिया कैसी दिखेगी?, त्रिकोणमिति सीखने में कितना समय लगता है?, साइन 30 डिग्री का मान कितना होता है?, थीटा का मान कितना होता है?, थीटा कितने प्रकार के होते हैं?, थीटा पावर क्या है? आदि के बारे में पढ़ेंगे।

NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग (Some Applications of Trigonometry)

Chapter – 9

त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग

Example

उदाहरण 1: धरती पर एक मीनार ऊर्ध्वाधर खड़ी है। धरती के एक बिंदु से, जो मीनार के पाद- बिंदु से 15 m दूर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।

हल : आइए पहले हम प्रश्न को निरूपित करने के लिए एक सरल आरेख बनाएँ (देखिए आकृति 9.4 )। यहाँ AB मीनार को निरूपित करता है, CB मीनार से बिंदु की दूरी है और 2 ACB उन्नयन कोण है। हम मीनार की ऊँचाई अर्थात् AB ज्ञात करना चाहते हैं और, यहाँ ACB एक त्रिभुज है जो B पर समकोण है।

प्रश्न को हल करने के लिए हम त्रिकोणमितीय अनुपात tan 60° (या cot 60°) लेते हैं, क्योंकि इस अनुपात में AB और BC दोनों होते हैं
अब
tan 60° = AB/BC

अर्थात् √3 =AB/15

अर्थात् AB = 15√3
अतः मीनार की ऊँचाई 15√3m है।

उदाहरण 2: एक बिजली मिस्त्री को एक 5m ऊँचे खंभे पर आ गई खराबी की मरम्मत करनी है। मरम्मत का काम करने के लिए उसे खंभे के शिखर से 1.3m नीचे एक बिंदु तक वह पहुँचना चाहती है (देखिए आकृति 9.5) । यहाँ तक पहुँचने के लिए प्रयुक्त सीढ़ी की लंबाई कितनी होनी चाहिए जिससे कि क्षैतिज से 60° कोण से झुकाने पर वह अपेक्षित स्थिति तक पहुँच जाए? और यह भी बताइए कि खंभे का पाद- बिंदु कितनी दूरी पर सीढ़ी के पाद – बिंदु से होना चाहिए? (यहाँ आप √3 =1.73 ले सकते हैं।)

हल : आकृति 9.5 में, बिजली मिस्त्री को खंभे AD पर बिंदु B तक पहुँचना है।
अतः BD = AD – AB = (5 – 1.3 ) m = 3.7 m
यहाँ BC सीढ़ी को प्रकट करता है । हमें इसकी लंबाई अर्थात् समकोण त्रिभुज BDC का कर्ण ज्ञात करना है।
अब, क्या आप यह बता सकते हैं कि हमें किस त्रिकोणमिति अनुपात का प्रयोग करना चाहिए?
यह त्रिकोणमिति अनुपात sin 60° होना चाहिए।
अतः BD/BC = sin 60° या 3.7/BC = √3/2

इसलिए BC=3.7 × 2/√3 = 4.28 (लगभग)
अर्थात् सीढ़ी की लंबाई 4.28m होनी चाहिए।

अब DC/BD = cot 60° = 1/√3

अर्थात् DC=3.7/√3 = 2.14 m (लगभग)
अतः उसे सीढ़ी के पाद को खंभे से 2.14m की दूरी पर रखना चाहिए।

उदाहरण 3: 1.5m लंबा एक प्रेक्षक एक चिमनी से 28.5m की दूरी पर है। उसकी आँखों से चिमनी के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। चिमनी की ऊँचाई बताइए |

हल : यहाँ AB चिमनी है, CD प्रेक्षक है और ZADE उन्नयन कोण है (देखिए आकृति 9.6 ) । यहाँ ADE एक त्रिभुज है जिसमें कोणE समकोण है और हमें चिमनी की ऊँचाई ज्ञात करनी है।
यहाँ AB = AE + BE = (AE + 1.5) m

और DE = CB = 28.5 m

AE ज्ञात करने के लिए हमें एक ऐसा त्रिकोणमिति अनुपात लेना चाहिए जिसमें AE और DE दोनों हो। इसके लिए आइए हम उन्नयन कोण का tangent लें।

अब tan 45° = AE/DE

अर्थात् 1 = AE/ 28.5

इसलिए AE=28.5
अतः चिमनी की ऊँचाई (AB) = (28.5 + 1.5) m = 30m

उदाहरण 4: भूमि के एक बिंदु P से एक 10m ऊँचे भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। भवन के शिखर पर एक ध्वज को लहराया गया है और P से ध्वज के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। ध्वजदंड की लंबाई और बिंदु P से भवन की दूरी ज्ञात कीजिए। (यहाँ आप √3 = 1.732 ले सकते हैं ।)

हल: आकृति 9.7 में, AB भवन की ऊँचाई प्रकट करता है, BD ध्वजदंड प्रकट करता है और P दिया हुआ बिंदु प्रकट करता है। ध्यान दीजिए कि यहाँ दो समकोण त्रिभुज PAB और PAD हैं। हमें ध्वजदंड की लंबाई अर्थात् DB और बिंदु P से भवन की दूरी अर्थात् PAP ज्ञात करना है।

क्योंकि हमें भवन की ऊँचाई AB ज्ञात है इसलिए पहले हम समकोण ΔPAB लेंगे।

यहाँ tan 30° = AB/AP

अर्थात् 1/√3 = 10/AP

इसलिए AP = 10√3

अर्थात् P से भवन की दूरी 10√3_m = 17.32 m
आइए अब हम यह मान लें कि DB = x m है तब AD = (10 + x) m

अब समकोण ΔPAD में tan 45° = AD/AP = 10+x/10

इसलिए 1 = 10 + x/10√3

अर्थात् x = 10 (√3 – 1) = 7.32

अतः ध्वजदंड की लंबाई 7.32m है।

उदाहरण 5: एक समतल जमीन पर खड़ी मीनार की छाया उस स्थिति में 40m अधिक लंबी हो जाती है जबकि सूर्य का उन्नतांश (altitude) 60° से घटकर 30° हो जाता है अर्थात् छाया के एक सिरे से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और DB छाया की लंबाई है जबकि उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। 

हल: मान लीजिए कि AB की लंबाई 1 मीटर है और BC, x मीटर है। प्रश्न के अनुसार DB, BC से 40m अधिक लंबा है।

अतः DB = (40 + x) m

अब, यहाँ दो समकोण त्रिभुज ABC और ABD है।

ΔABC में tan 60° = AB/BC
या √3 = h/x ……(1)

ΔABD में tan 30° = AB/BD

अर्थात् 1/√3 = h/x+40 …….(2)
(1) से हमें यह प्राप्त होता है
h = x√3

इस मान को (2) में प्रतिस्थापित करने पर हमें यह प्राप्त होता है (x√3)(√3) = x + 40, अर्थात् 3x =x + 40

अर्थात् x = 20

इसलिए h = 20√3 ……[(1) से]

अतः मीनार की ऊँचाई 20√3m है।

उदाहरण 6 : एक बहुमंजिल भवन के शिखर से देखने पर एक 8m ऊँचे भवन के शिखर और तल के अवनमन-कोण क्रमश: 30° और 45° हैं। बहुमंजिल भवन की ऊँचाई और दो भवनों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए ।

हल : आकृति 9.9 में PC बहुमंजिल भवन को और AB, 8 m ऊँचे भवन को प्रकट करता है। हम बहुमंजिल भवन की ऊँचाई, अर्थात् PC और दो भवनों के बीच की दूरी अर्थात् AC ज्ञात करना चाहते हैं।

आकृति को अच्छी तरह देखिए। आप यहाँ देखेंगे कि PB समांतर रेखाओं PQ और BD की एक तिर्यक – छेदी रेखा है।
अतः ∠ QPB और ∠ PBD एकांतर कोण हैं और इसलिए बराबर हैं।

अत: ∠ PBD = 30°, इसी प्रकार, ∠PAC = 45°
समकोण Δ PBD में
PD/BD = tan 30° = 1/√3 या BD = PD√3

समकोण Δ PAC में हम पाते हैं।
PC/AC = tan 45° = 1
अर्थात् PC = AC

और PC = PD + DC

इसलिए PD + DC = AC

क्योंकि AC = BD और DC = AB = 8 m, इसलिए PD + 8 = BD = PD√3 (क्यों?)

इससे यह प्राप्त होता है : PD = 8/√3 – 1 = 8(√3+1)/ (√3 + 1) (√3 – 1) = 4(√3 + 1)m

अतः बहुमंजिल भवन की ऊँचाई (4 (√3 + 1) + 8 ) m = 4 (3 + √3)m है और दो भवनों के बीच दूरी भी 4(3 + √3)m है

उदाहरण 7 : एक नदी के पुल के एक बिंदु से नदी के सम्मुख किनारों के अवनमन कोण क्रमश: 30° और 45° हैं। यदि पुल किनारों से 3m की ऊँचाई पर हो तो नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए ।

हल : आकृति 9.10 में, A और B नदी के सम्मुख किनारों के बिंदुओं को प्रकट करते हैं, जिससे कि AB नदी की चौड़ाई है। 3m की ऊँचाई पर बने पुल पर एक बिंदु P है अर्थात् DP=3m है। हम नदी की चौड़ाई ज्ञात करना चाहते हैं जो कि ΔAPB की भुजा AB की लंबाई है।

अब AB = AD + DB

समकोण ΔAPD में ∠A = 30°
अतः tan 30° = PD/AD

अर्थात् 1/√3 = 3/AD या AD = 3√3m

अतःसमकोण PBD में, ZB = 45° है। इसलिए BD = PD = 3 m

अब AB = BD + AD = 3 + 3√3 = 3 (1 + √3 ) m

इसलिए नदी की चौड़ाई 3 (√3 + 1) m है।

• Exercise 9.1

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus (2023-2024) All Chapter in Hindi Medium

• अध्याय – 1 वास्तविक संख्याएँ
• अध्याय – 2 बहुपद
• अध्याय – 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
• अध्याय – 4 द्विघात समीकरण
• अध्याय – 5 समांतर श्रेढ़ियाँ
• अध्याय – 6 त्रिभुज
• अध्याय – 7 निर्देशांक ज्यामिति
• अध्याय – 8 त्रिकोणमिति का परिचय
• अध्याय – 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
• अध्याय – 10 वृत्त
• अध्याय – 11 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
• अध्याय – 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
• अध्याय – 13 सांख्यिकी
• अध्याय – 14 प्रायिकता

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