NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus Chapter – 5 समांतर श्रेढ़ियाँ (Arithmetic Progressions) Exercise – 5.3 in Hindi

May 26, 2023

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus Chapter – 5 समांतर श्रेढ़ियाँ (Arithmetic Progressions)

Textbook	NCERT
Class	10^th
Subject	(गणित) Mathematics
Chapter	5^th
Chapter Name	समांतर श्रेढ़ियाँ (Arithmetic Progressions)
Mathematics	Class 10th गणित (New Syllabus)
Medium	Hindi
Source	Last Doubt

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus Chapter – 5 समांतर श्रेढ़ियाँ (Arithmetic Progressions) Exercise – 5.3 in Hindi समांतर श्रेढ़ियाँ की परिभाषा क्या है? , समांतर श्रेढ़ियाँ का योग सूत्र क्या है? , समांतर श्रेढ़ियाँ कितने प्रकार के होते हैं? , श्रेढ़ियाँ और समांतर में क्या अंतर है? , गणित में कुल कितने सूत्र होते हैं? , समांतर श्रेढ़ियाँ का पहला पद क्या है? , समांतर श्रेढ़ियाँ का व्यापक रूप क्या है?, जीपी और एपी का सूत्र क्या है? , श्रेढ़ियाँ का उदाहरण क्या है? और अदि के बारे में विश्तर में पढ़ेंगे

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus Chapter – 5 समांतर श्रेढ़ियाँ (Arithmetic Progressions) Exercise – 5.3

Chapter – 5

समांतर श्रेढ़ियाँ

Exercise – 5.3

1. निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ियों का योग ज्ञात कीजिए :

(i) 2, 7, 12, …, 10 पदों तक

(ii) –37,−33, –29,…, 12 पदों तक

(ii) 0.6, 1.7, 2.8,…, 100 पदों तक

(iv) 1/15, 1/12, 1/10, … , 11पदों तक

हल : (i) माना दी गई A. P. का पहला पद a तथा सार्व अंतर d है तो
a = 2 और d = 7 – 2 = 5
हमें दी गई A.P. के 10 पदों का योग ज्ञात करना है।
∴ s_n = n/2 [ 2a + (n – 1)d], में a = 2, d = 5, n = 10 रखने पर
s₁₀ = 10/2 [ 2 x 2 + (10 – 1) 5]
= 5(4 + 9 x 5)
= 5(4 + 45) = 5 x 49 = 245

(ii) माना A.P. का पहला पद a तथा सार्व अंतर d है तो
a = – 37, d = – 33 – (37)
= -33 + 37 = 4
हमें A.P. के 12 पदों का योग ज्ञात करना है
∴ S_n = n/2 [2a + (n – 1) d] में, a = – 37, d = 4, n = 12 रखने पर
s₁₂ = 12/2 [2 x – 37 + (12 – 1)
= 6(-74+ 11 x 4)
= 6(-74 +44) = 6 x (-30) = – 180

(iii) माना A.P. का पहला पद a तथा सार्व अंतर d है तो
a = 0.6, d = 1.7 – 0.6 = 1.1
हमें A.P. के 100 पदों का योग ज्ञात करना है
∴ S_n = n/2 [2a + (n = 1)d], a = 0.6, d = 1.1, n = 100 रखने पर
s₁₀₀ = 100/2 [2 x 0.6+ (100-1)1.1]
= 50(1.299 x 1.1)
= 50(1.2+108.9) 50 x 110.1
= 5505

(iv) माना A. P. का पहला पद a और सार्व अंतर d है तो
a = 1/15 , d = 1/12 – 1/15 = 5 – 4/60 = 1/60
हमें A.P. के 11 पदों का योग ज्ञात करना है।
s_n = n/2 [ 2a + (n – 1)d] में, a = 1/15 , d = 1/60 , n = 11 रखने पर
s₁₁ = 11/2 [2 x 1/25 + (11 – 1) 1/60]
= 11/2 (2/15 + 10 x 1/60)
= 11/2 (2/15 + 1/60) = 11/2 x 4 + 5/30
= 11/2 x 9/30 = 33/20

प्रश्न 2. नीचे दिए हुए योगफलों को ज्ञात कीजिए

(i) 7+10 1/2+14 + … + 84

(ii) 34+32 +30 +…+ 10

(iii) -5+(-8)+(-11)+…+(-230)

हल : (i) यहाँ अंतिम पद दिया है। पहले हमें पदों की संख्या ज्ञात करनी होगी।
a = 7, d = 10 1/2 – 7 = 3 1/2 = 7/2 , l = an = 84
∴ 84 = a + (n – 1)d => 84 = 7 + (n – 1) 7/2
⇒ 7/2(n – 1) = 84 -7 => 7/2 (n – 1) = 77
⇒ n – 1 = 77 x 2/7 => n – 1 = 22
⇒ n = 23

(ii) यहाँ अंतिम पद दिया है। पहले हमें पदों की संख्या ज्ञात करनी होगी।
a = 34, d = 32 – 34 = -2, l = a, = 10
∴ 10 = a + (n-1)d
⇒10 = 34+ (n-1)(-2)
⇒ (-2)(n – 1) = 10-34
⇒ (-2)(n – 1) = – 24
⇒ n – 1 = 12⇒ n = 12+1=13
s_n = n/2 का प्रयोग करने पर
= 13 × 22 = 286

(iii) यहाँ अंतिम पद दिया है। पहले हमें पदों की संख्या ज्ञात करनी होगी।
a = -5,d = – 8 – (- 5) = – 8 + 5 = – 3, l = a_n = – 230
∴ – 230 = a + (n -1)d
⇒ – 230 = – 5 + (n – 1) (- 3)
⇒ (-3) (n-1) = – 230 + 5
⇒ (- 3)(n – 1) = -225
⇒ n – 1 = -225/-3 ⇒ n – 1 = 75
⇒ n = 75 + 1 = 76
s_n = n/2 (a + l), का प्रयोग करने पर
S₇₆= 76/2(- 5 – 230)
=38 x 235=-8930

प्रश्न 3. एक A. P. में,

(i) a = 5, d = 3 और a_n = 50 दिया है। n और S_n ज्ञात कीजिए।

(ii) a = 7 और a₁₃ = 35 दिया है। a और S₁₃ ज्ञात कीजिए।

(iii) a₁₂ = 37 और d = 3 दिया है। a और S₁₂ ज्ञात कीजिए।

(iv) a₃ = 15 और S₁₀ = 125 दिया है। d और a₁₀ ज्ञात कीजिए।

(v) d = 5 और S₉ = 75 दिया है। a और a₉ ज्ञात कीजिए

(vi) a = 2 और d = 8, S = 90 दिया है। n और a_n ज्ञात कीजिए।

(vii) a = 8 और a = 62, S_n = 210 दिया है। n और d ज्ञान कीजिए।

(viii) a_n = 4 और d = 2, S_n -14 दिया है। n और d ज्ञात कीजिए।

(ix) a = 3 और n = 8, S = 192 दिया है। d ज्ञात कीजिए ।

(x) 1 = 28 और S = 144 और कुल 9 पद हैं। a ज्ञात कीजिए।

हल : (i) a = 5, d = 3 और a_n = 50
⇒ a+ (n-1)d = 50 ⇒5+ (n-1)3 = 50
⇒ 3(n-1) = 50 – 5 ⇒ n – 1= 45/3 = 15
⇒ n = 15+1= 16
S_n = n/2 (a + 1), n = 16, a = 5 और l = a_n = 50 रखने पर
s₁₆ = 16/2(5 + 50) = 8 x 55 = 440
अतः, n = 16 और s₁₆ = 440

(ii) a = 7 और a₁₃ = 35
माना दी गई A. P. का सार्व अंतर d है तो
a₁₃ = 35 ⇒ a + 12d = 35
⇒ 7+ 12d 35 [:: a = 7]
⇒ 12d = 35 – 7 = 28 ⇒ d = 28/12 = 7/3
S_n = n/2(a + 1) में, n = 13, a = 7 और l = a₁₃ = 35 रखने पर
S₁₃ = 13/2(7+35) = 13/2 × 42
= 13 x 21 = 273
अत:, d = 7/3 और S₁₃ = 273

(iii) a₁₂ = 37, d = 3
माना कि A.P. का पहला पद a है तो
a₁₂ = 37 ⇒ a + 11d = 37
⇒ a + 11(3) = 37 [:d=3]
⇒ a = 37 – 33 = 4
s_n = n/2(a + l) में, n = 12, a = 4 और l = a₁₂ = 37 रखने पर
S₁₂ = 12/2(4+37) = 6 x 41 = 246
S₁₂ = 12/2(4+37) = 6 x 41 = 246
अत:, a = 4 और S₁₂ = 246

(iv) a₃ = 15, S₁₀ = 125
माना कि A.P. का पहला पद a तथा सार्व अंतर d है तो
a₃ = 15 और S₁₀ = 125
⇒ a + 2d = 15 …(1)
और, 10/2[2a + (10-1)d] = 125
⇒ 5(2a +9d) = 125
⇒ 2a 9d 25 …(2)
2 × (1) – (2) करने पर
2(a + 2d) – (2a + 9d) = 2 x 15 – 25
⇒ 4d – 9d – 30 – 25
⇒ – 5d = 5 ⇒ d = – 5/5 = -1
अब, a₁₀ = a + 9d = (a + 2d) + 7d
= 15+7(-1) [(1) द्वारा ]
= 15-7=8
अत:, d = – 1 और a₁₀ = 8

(v) दिया गया है कि, d = 5, S₉ = 75
क्योंकि, AP में n पदों का योग है,
S_n = n /2 [2a +( n -1) d ]

इसलिए, पहले नौ पदों का योग है;
S₉ = 9/2 [2a +(9-1)5]25 = 3(a+20)
25 = 3a+60
3a = 25−60
a = -35/3

जैसा कि हम जानते हैं, nवां पद लिखा जा सकता है जैसा;
a_n = a+(n−1)d
a₉ = a+(9−1)(5)
= -35/3+8(5)
= -35/3+40
= (35+120/3) = 85/ 3

(vi) दिया गया है कि, a = 2, d = 8, S_n = 90 जैसा कि एक AP में n पदों का योग है,
S_n = n /2 [2a +( n -1) d ]
90 = n/ 2 [2a +(n -1)d]
⇒ 180 = n(4+8n -8) = n(8n-4) = 8n² -4n
⇒ 8n² -4 n – 180 = 0
⇒ 2n² – n -45 = 0
2n² -10n+9n-45 = 0
2n(n -5)+9(n -5) = 0
⇒ (n-5) (2n+9) = 0
तो, n = 5 (क्योंकि n केवल एक धनात्मक पूर्णांक हो)
a₅ = 8+5×4 = 34

(vii) दिया गया है कि, a = 8, a_n = 62, S_n = 210 क्योंकि AP में n पदों का योग है,
S_n = n /2 ( a + a_n)
210 = n/2 (8 + 62)
35n = 210
⇒ n = 210/35 = 6
अब, 62 = 8+5d
⇒ 5d = 62-8 = 54
⇒ d = 54/5 = 10.8

(viii) दिया गया है कि, nवाँ पद, a = 4, सार्व अंतर, d = 2, n पदों का योग, S_n = -14 जैसा कि हम जानते हैं, AP में nवें पद के सूत्र से,
a_n = a +(n −1) d,

इसलिए, दिए गए मानों को रखने पर, हमें प्राप्त होता है,
4 = a+(n −1)2
4 = a+ 2n−2
a+2n = 6
a = 6 – 2n …………………………………। (i)

जैसा कि हम जानते हैं, n पदों का योग है;
S_n = n/2 ( a + a_n)
-14 = n/2 (a+4)
−28 = n (a+4)
−28 = n (6 −2n +4) {समीकरण (i) से}
−28 = n (− 2n +10)
−28 = − 2 n 2+10 n
2n² −10 n − 28 = 0
n² −5 n −14 = 0
n² −7n+2n −14 = 0
n(n−7)+2(n −7) = 0
(n − 7)(n +2) = 0
या तो n – 7 = 0 या n + 2 = 0
n = 7 या n = -2

हालाँकि, n न तो ऋणात्मक हो सकता है और न ही भिन्नात्मक। इसलिए, n = 7
समीकरण (i) से, हमें
a = 6−2n
a = 6−2(7)
= 6−14
−8 प्राप्त होता है।

(ix) दिया गया है कि, पहला पद, a = 3,
पदों की संख्या, n = 8
और n पदों का योग, S = 192
जैसा कि हम जानते हैं,
S n = n /2 [2 a +( n -1) d ]
192 = 8/2 [2×3+(8 -1)d]
192 = 4[6 +7d]
48 = 6+7d
42 = 7d
d = 6

(x) दिया गया है, l = 28, S = 144 और कुल 9 पद हैं। n पदों का योग सूत्र,
S_n = n/2 (a + l)
44 = 9/2(a+28)
(16)×(2) = a+28
32 = a+28
a = 4

4. 636 योग प्राप्त करने के लिए, A.P.: 9, 17, 25,…. के कितने पद लेने चाहिए ?

‍हल : माना AP के n पद हैं। 9, 17, 25 …
इस AP के लिए,
पहला पद, a = 9
सार्व अंतर, d = a₂−a₁ = 17−9 = 8

जैसा कि n पदों का योग है;
S_n = n / 2 [2 a+(n -1)d ]
636 = n / 2 [2×a+(8-1)×8]
636 = n / 2 [18+(n-1)×8]
636 = n [9 +4n −4]
636 = n (4n +5)
4n² +5n −636 = 0
4n² +53n −48n −636 = 0
n (4n + 53)−12 ( 4n + 53) = 0
(4n +53)(n -12) = 0
या तो 4n+53 = 0 या n−12 = 0
n = (-53/4) या n = 12
n ऋणात्मक या भिन्न नहीं हो सकता, इसलिए, केवल n = 12

5. किसी A.P. का प्रथम पद 5, अंतिम पद 45 और योग 400 है। पदों की संख्या और सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।

‍हल: दिया है कि,
पहला पद, a = 5
अंतिम पद, l = 45
AP का योग, S_n = 400

जैसा कि हम जानते हैं, AP सूत्र का योग है;
S_n = n/2 (a+l)
400 = n/2(5+45)
400 = n/2(50)
पदों की संख्या, n =16
जैसा कि हम जानते हैं, AP श्रृंखला का अंतिम पद इस प्रकार लिखा जा सकता है;
l = a+(n −1)d
45 = 5 +(16 −1)d
40 = 15d
सामान्य अंतर, d = 40/15 = 8/3

6. किसी A.P. के प्रथम और अंतिम पद क्रमश : 17 और 350 है। यदि सार्व अंतर 9 है, तो इसमें कितने पद हैं और इनका योग क्या हैं?

हल: दिया है कि,
पहला पद, a = 17
अंतिम पद, l = 350
सामान्य अंतर, d = 9

मान लीजिए कि AP में n पद हैं, इस प्रकार अंतिम पद का सूत्र इस प्रकार लिखा जा सकता है;
l = a+(n −1)d
350 = 17+(n −1)9
333 = (n−1)9
(n−1) = 37
n = 38
S_n = n/2 (a+l)
S₃₈ = 38/2 (17+350)
= 19×367
= 6973
इस प्रकार, इस AP में 38 पद हैं और इस AP के पदों का योग 6973 है।

7. उस A.P. के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमे d= 7 हैं और 22 वां पद 149 हैं ।

हल: दिया गया सार्व अंतर, d = 7
22 वाँ पद, a 22 = 149 प्रथम 22 पदों का
योग, S₂₂ = ?

nवें पद के सूत्र द्वारा,
a_n = a +( n −1) d
a₂₂ = a +(22−1) d
149 = a+21×7
149 = a+147
a = 2

n का प्रथम पद योग शब्द,
s n = n / 2( a + a n )
s 22 = 22/2 (2+149)
= 11×151
= 1661

8. उस A.P. के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमश : 14 और 18 हैं।

‍हल: दिया गया है, दूसरा पद, a₂ = 14
तीसरा पद, a₃ = 18
सामान्य अंतर, d = a₃–a₂ = 18−14 = 4
a₂ = a+d
14 = a+4
a = 10 =प्रथम पद योग;
S_n = n / 2 [2a + (n -1)d]
S₅₁ = 51/2 [2×10 (51-1) 4]
= 51/2 [20+(50)×4]
= 51 × 220/2
= 51 × 110
= 5610

9. यदि किसी A.P. के प्रथम 7 पदों का योग 49 हैं और प्रथम 17 पदों का योग 289 हैं, तो इसके प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिये।

‍हल: दिया गया है कि,
S7 = 49
S17 = 289

हम जानते हैं, n पदों का योग;
S_n = n / 2 [2a+ (n -1)d ] इसलिए,
S₇ = 2a + (n-1)d ]
S₇ = 7/2 [2a+ (7 -1) )d ]
49 = 7/2 [2a +6d]
7 = (a+3d)
a + 3d = 7 …………………………………। (i)
S₁₇ = 17/2 [2a+(17-1)d ]
289 = 17/2 (2a +16d)
17 = (a+8d)
a +8d = 17 ………………………। (ii)

समीकरण (i) को समीकरण (ii) से घटाना,
5d = 10
d = 2

समीकरण (i) से, हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं;
a+3(2) = 7
a+ 6 = 7
a = 1 इसलिए,
S_n = n /2[2 a +( n -1) d ]
= n/2[2(1)+(n-1)× 2]
= n/2(2+2n-2)
= n/2(2n)
= n₂

10.दर्शाइए की a₁, a₂ …, a_n , … से एक A.P. बनती हैं, यदि a_n नीचे दिए अनुसार परिभाषित हैं :

(i) a_n = 3+4 n

(ii) a_n = 9−5n

प्रत्येक स्थिति में प्रथम 15 पदों का योग भी ज्ञात कीजिए।

‍हल: (i)a n = 3+4n
a₁ = 3+4(1) = 7
a₂ = 3+4(2) = 3+8 = 11
a₃ = 3+4(3) = 3+ 12 = 15
a⁴ = 3+4(4) = 3+16 = 19

हम यहाँ देख सकते हैं, शर्तों के बीच सामान्य अंतर हैं;
a₂ – a₁ = 11−7 = 4
a₃ – a₂ = 15−11 = 4
a₄ – a₃ = 19−15 = 4

इसलिए, a k + 1 – a k हर बार एक ही मूल्य है। इसलिए, यह एक एपी है जिसमें सामान्य अंतर 4 है और पहला
पद 7 है।

अब, हम जानते हैं, nवें पद का योग है;
S_n = n /2 [2a +( n -1) d]
S₁₅ = 15/2 [2(7)+(15-1)×4]
= 15/2 [(14)+56]
= 15 /2 (70)
= 15×35
= 525

(ii) a_n = 9−5 n
a₁ = 9−5×1 = 9−5 = 4
a₂ = 9−5×2 = 9−10 = −1
a₃ = 9−5×3 = 9− 15 = −6
a₄ = 9−5×4 = 9−20 = -11

हम यहां देख सकते हैं, पदों के बीच सामान्य अंतर हैं;
a₂ − a₁ = −1−4 = −5
a₃ − a₂ = −6−(−1) = −5
a₄ − a₃ = −11−(−6) = −5

इसलिए, a k + 1 – एक केहर बार एक ही है। इसलिए, यह एक AP है जिसका सार्व अंतर -5 है और पहला पद 4 है। अब, हम जानते हैं, nवें पद का योग है;
S_n = n / 2 [2 a +( n -1)d]
S₁₅ = 15/2 [2(4) +(15 -1)(-5)]
= 15/2 [8 +14(-5)]
= 15/2 (8-70)
= 15/2 (-62)
= 15 (-31)
= -465

11. यदि किसी A.P. के प्रथम n पदों का योग 4n – n₂ हैं, तो इसका प्रथम पद (अर्थात S₁) क्या हैं? प्रथम दो पदों का योग क्या हैं? दूसरा पद क्या हैं? इसी प्रकार, तीसरे, 10 वें और n वें पद ज्ञात कीजिए ।

‍हल: दिया गया है कि,
S_n = 4n – n₂
प्रथम पद, a = S₁ = 4(1) – (1)2 = 4−1 = 3
प्रथम दो पदों का योग = S₂= 4(2)- (2)2 = 8−4 = 4
दूसरा पद,a2 = S2 – S1 = 4−3 = 1

सामान्य अंतर, d = a₂–a = 1−3 = -2
nवां पद, a_n = ए+(n −1) d
= 3+(n −1)(−2)
= 3−2n +2
= 5−2n

इसलिए, a₃ = 5−2(3) = 5-6 = −1
a₁₀ = 5− 2(10) = 5−20 = −15
इसलिए, पहले दो पदों का योग 4 है। दूसरा पद 1 है
तीसरा , 10 वां और n वां पद -1, -15 और 5 है। – 2n क्रमशः।

12. ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णाकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य हैं ।

‍हल: वे धनात्मक पूर्णांक जो 6 से विभाज्य हैं, 6, 12, 18, 24… हैं। हम यहाँ देख सकते हैं कि यह श्रृंखला एक AP
बनाती है जिसका पहला पद 6 है और सामान्य अंतर 6 है
। a = 6
d = 6
S₄₀ =?
n पदों के योग के सूत्र से, हम जानते हैं,
S_n = n/2 [2a +(n – 1)d]
इसलिए, n = 40 रखने पर, हम प्राप्त करते हैं,
S₄₀ = 40/2 [2(6)+ (40-1)6]
= 20 [12+(39)(6)]
= 20(12+234)
= 20×246
= 4920

13. 8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।

‍हल: 8 के गुणज 8, 16, 24, 32 हैं…
श्रृंखला AP के रूप में है, जिसका पहला पद 8 और सार्व अंतर 8 है। इसलिए,
a = 8
d = 8
S₁₅ = ?

nवें पद के योग के सूत्र से, हम जानते हैं,
Sn = n/2 [2a+(n-1)d]
S₁₅ = 15/2 [2(8) + (15-1)8]
= 15/2 [16 +(14)(8)]
= 15/2[16 +112]
= 15(128)/2
= 15 × 64
= 960

14. 0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

हल: 0 और 50 के बीच की विषम संख्याएँ 1, 3, 5, 7, 9 … 49
इसलिए, हम देख सकते हैं कि ये विषम संख्याएँ AP के रूप में हैं इसलिए,
पहला पद, a = 1
सामान्य अंतर, d = 2
अंतिम पद, l = 49

अंतिम पद के सूत्र से, हम जानते हैं,
l = a+(n−1) d
49 = 1+(n−1)2
48 = 2(n – 1)
n – 1 = 24
n = 25 = पदों की संख्या

nवें पद के योग के सूत्र से, हम जानते हैं,
S_n = n/2(a +l)
S₂₅ = 25/2 (1+49)
= 25(50)/2
= (25 )(25)
= 625

15. निर्माण कार्य से संबंधित किसी ठेके में, एक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलम्ब से पूरा करने के लिए, जुर्माना लगाने का प्रावधान इस प्रकार हैं : पहले दिन के लिए ₹ 200, दूसरे दिन के लिए ₹ 250, तीसरे दिन के लिए ₹ 300 इत्यादि, अर्थात प्रत्येक उत्तरोत्तर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से ₹50 अधिक हैं । एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी पड़ेगी, यदि वह इस कार्य में 30 दिन का विलम्ब कर देता हैं?

‍हल: हम देख सकते हैं कि दिए गए दंड एपी के रूप में हैं, जिसका पहला कार्यकाल 200 है और सामान्य अंतर 50 है।
इसलिए, A = 200 और D = 50
जुर्माना जो भुगतान किया जाना है यदि ठेकेदार ने 30 से काम में देरी की है दिन = S₃₀
nवें पद के योग के सूत्र से, हम जानते हैं,
S_n = n/2 [2a+(n -1)d]

इसलिए,
S₃₀= 30/2 [2(200)+(30 – 1)50]
= 15 [400+1450]
= 15 (18500)
= 27750
इसलिए, ठेकेदार को 27750 रुपये दंड के रूप में देने होंगे।

प्रश्न 16. किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद पुरस्कार देने के लिए रु 700 की राशि रखी गई है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से रु 20 कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।

हल : माना कि पुरस्कार क्रमवार a – 6d, a – 4d, a – 2d, a, a + 2d, a + 4d, a + 6d हैं।

∴ इनका योग = a – 6d + a – 4d + a – 2d + a + a + 2d + a + 4d + a + 6d = 700

⇒ 7a= 700 ⇒ a = 700/7 = 100

दिया है a – (a – 2d) = 20

⇒ 2d = 20 ⇒ d = 10

∴ सात पुरस्कार इस प्रकार हैं : 100 + 60, 100 + 40, 100 + 20, 100, 100 – 20, 100 – 40, 100 – 60
अर्थात् 160, 140, 120, 100, 80, 60, 40 (रुपयों में) हैं।

प्रश्न 17. एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदूषण कम करने के लिए स्कूल के अंदर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोचा। यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा। उदाहरणार्थ, कक्षा 1 का एक अनुभाग 1 पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, कक्षा III का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा इत्यादि और ऐसा कक्षा XII तक के लिए चलता रहेगा। प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं। इस स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या कितनी होगी?

हल : क्योंकि प्रत्येक कक्षा के 3 अनुभाग हैं। अत: कक्षा I, कक्षा II, कक्षा III ,…, कक्षा XII के छात्रों द्वारा लगाए

गए पेड़ों की संख्या क्रमशः 1 x 3, 2 x 3, 3 x 3,…,12 × 3 अर्थात् 3, 6, 9, …, 36

स्पष्ट है कि यह A. P. बनाता है। इन कक्षाओं द्वारा लगाए गए पौधों की संख्या

=12/2(3 + 36) = 6 × 39 = 234

प्रश्न 18. केंद्र A से प्रारंभ करते हुए, बारी-बारी से केंद्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5 cm, 1.0em, 1.5 cm, वाले उतरोत्तर 2.0 cm, …अर्धवृत्तों को खींचकर एक सर्पिल (spiral) बनाया गया है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। तेरह क्रमागत अर्धवृत्तों से बने इस सर्पिल की कुल लंबाई क्या है?(π=22/7 लीजिए।)

हल : हमें s₁₃ = l₁ + l₂ + l₃ + l₄ + … + l₁₃ ज्ञात करना है।

परन्तु l = π(0.5 ), l₂ = π(1.0), l₃ = π(1.5), l₄ = π(2.0) हैं |

s₁₃ = π(0.5) + π(1.0) + π(1.5), l₄ = π(2.0) + …

=π(0.5 + 1.0 + 1.5 + 2.0 + …)

=π[13/2(2 x 0.5 + (13 – 1) x 0.5)]

प्रश्न 19. 200 लट्ठों (logs) को ढेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है : सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लठ्ठे, उससे अगली पंक्ति में 19 लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में 18 लठ्ठे इत्यादि (देखिए आकृति)। ये 200 लट्ठे कितनी पंक्तियों में रखे गए हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लट्ठे हैं?

हल : स्पष्ट है पंक्तियों में रखे गए लट्ठे श्रेढ़ी 20 + 19 + 18 + 17+ …. बनाते हैं। जिसमें a = 20, d = 19 – 20 = -1
माना S_n = 200 तो
n/2[2 x 20 + (n – 1)(- 1)] = 200

⇒ n(40n+1)= 400
⇒ n₂ – 41n+ 400 0
⇒ (n 16) (n25) = 0
n = 16 अथवा n = 25
यहाँ, सार्व अंतर ऋणात्मक है।

पद घटते क्रम में है और 21वाँ पद शून्य होगा। 21वें पद के बाद के सभी पद ऋणात्मक होंगे। जब उन ऋणात्मक पदों को धनात्मक पदों में जोड़ेंगे तो 17वें पद से 20वें पद के सभी पद कट जायेंगे और योग एक
समान रहेगा।

अत:, n = 25 इस समस्या के लिए उपयुक्त नहीं है। अतः हम
n = 16 लेंगे।
अत: 200 लट्ठों को 16 पंक्तियों में रखेंगे।
16वीं पंक्ति में रखे 200 लट्ठों की संख्या = a₁₆

= a + 15d
= 20 + 15 (-1)
= 20 – 15 = 5

प्रश्न 20. एक आलू दौड़ (potato race) में, प्रारंभिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई है, जो पहले आलू से 5m की दूरी पर है, तथा अन्य आलुओं को एक सीधी रेखा में परस्पर 3m की दूरियों पर रखा गया है। इस रेखा पर 10 आलू रखे गए हैं (देखिए आकृति) ।

हल: पहला आलू उठाकर वापस बाल्टी में डालने तक तय की गई
दूरी = 2 × 5 m
दूसरा आलू उठाकर वापस बाल्टी में डालने तक तय की गई दूरी
= 2x (5+3) m
तीसरा आलू उठाकर वापस बाल्टी में डालने तक तय की गई दूरी
= 2x (5+3+3) m
इस प्रकार प्राप्त दूरियों की सूची 2 x 5; 2 × (5 + 3), 2 × (5 + 3 + 3) …

एक A. P. है जिसका पहला पद, a = 10 तथा सार्व अन्तर,
d = 2 × (5 + 3) – 2 × 5 = 6 है।
∴ AP के 10 पदों का योग

S₁₀ = 10/2 [2 x 10+ (10 – 1) x 6]
= 5 x 74 = 370

∴ सभी 10 आलू को उठाकर बाल्टी में डालने पर दौड़ी गई दूरी
370m है।

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus (2023-2024) All Chapter in Hindi Medium

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