NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables) Exercise 3.3 in Hindi Medium

NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables) 

NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables) Exercise 3.3 in Hindi Medium जिसमे हम रेखीय समीकरण क्या हैं?, रैखिक समीकरणों के उदाहरण क्या हैं?, परिवर्तनशील क्या है?, सरल समीकरण क्या है?, ढलान का पता कैसे लगाएं?, समीकरण किसे कहते हैं?, संतुलन विधि क्या है?, बीजगणितीय नियम क्या है?, बच्चों के लिए एक समीकरण क्या है?, क्या कोई समीकरण असत्य हो सकता है?, एक समीकरण क्या है? आदि के बारे में पढ़ेंगे।

NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables)

Chapter –3

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म

Exercise 3.3

प्रश्न 1. निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल कीजिए। कौन-सी विधि अधिक उपयुक्त है?
(i) x + y = 5 और 2x – 3y = 4
(ii) 3x + 4y = 10 और 2x – 2y = 2
(iii) 3x – 5y – 4 = 0 और 9x = 2y + 7
(iv) x \2 + 2y\3 = -1 और x – y\3 =3

हल : (i) विलोपन विधि द्वारा 
समीकरण युग्म x + y = 5 …(1)
और 2x – 3y = 4 …(2)

समीकरण (1) को 3 से गुणा करने पर
3x + 3y = 15 …(3)

(2) व (3) का योग करने पर
5x = 19
⇒x = 19 \ 5

X = 19\ 5 समीकरण (1) में रखने पर
19\ 5 + Y =5
⇒y = 5- 10 \5 = 25-19 \5 = 6/5

अतः x =19 \5 और
у = 6\5

प्रतिस्थापन विधि द्वारा
दिया गया समीकरण युग्म

x + y = 5 …(1)
और, 2x – 3y = 4 …(2)
समीकरण (1) से, y = 5 – x

अब y = 5 – x को समीकरण (2) में रखने पर
2x – 15 + 3x = 4
⇒ 5x = 4 + 15
⇒ 5x = 19
⇒ X= 19\5

X= 19\5 को समीकरण (1) में रखने पर
X = \5 19 + Y =5
⇒Y=5 -19\5 = 25-19\5 = 6\5

X= 19\ 5 समीकरण (1) में रखने पर
19\5 + Y=5
Y=5 – 19\5 =25 -19\5 = 6\5

अतः x = 19\5 ,Y= 6\5
इस प्रश्न में विलोपन विधि अधिक उपयुक्त है।

(ii) विलोपन विधि द्वारा 
प्रदत्त समीकरण युग्म
3x + 4y = 10 …(1)
और 2x – 2y = 2 …(2)

समीकरण (2) में 2 से गुणा करके समीकरण (1) में योग करने पर
7x = 14
⇒ x = 2
X = 2 समीकरण (1) में रखने पर
3(2)+ 4Y =10
⇒ 4Y =10- 6 = 4
⇒ Y = 1
अत: x = 2, y = 1 इसका हल है।

प्रतिस्थापन विधि द्वारा
प्रदत्त समीकरण युग्म
3X+ 4Y = 10 …(1)
और 2X- 2Y = 2 ⇒X -Y = 1 …(2)

समीकरण (2) से, y = x – 1
y = x – 1 समीकरण (1) में रखने पर

3x + 4(x – 1) = 10
⇒ 3x + 4x – 4 = 10
⇒7x = 14
⇒ x = 2
X = 2 को समीकरण (1) में रखने पर

3 (2) + 4y = 10
⇒ 4y = 10 – 6 = 4
⇒ y = 1
अत: x = 2 तथा y = 1 हल है।

इस प्रश्न का हल ज्ञात करने के लिए विलोपन विधि अधिक उपयुक्त है।

(iii) विलोपन विधि द्वारा 

समीकरण युग्म

3X- 5Y – 4 = 0
⇒ 3X- 5Y – 4 ……(1)
⇒ और 9X = 2Y +7
⇒ 9X = 2Y = 7 ……(2)

समीकरण (1) को 3 से गुणा करके पर

9X -15Y =12 ……(3)

समीकरण (2) को समीकरण (3) में से घटाने पर

– 13y = 5
⇒ y = – 5\13

समीकरण (1) में y = -5\ 13 रखने पर

3X-5 (-5 \13) = 4
⇒ 3X = 4 – 25 \13
⇒ 3X = 52 – 25 \ 13
⇒ 3X = 27\13
⇒ X = 27 \13 × 13
⇒ X = 9\ 13

अत: x = 9 \ 13, Y= – 5 \13

प्रतिस्थापन विधि द्वारा
समीकरण युग्म

3X – 5Y – 4 = 0
⇒ 3X – 5Y = 4 ……(1)
⇒ और 9X = 2Y + 7
⇒ 9X – 2Y = 7 ……(2)

समीकरण (2) से, 2Y = 9X – 7
Y= 9X -7 \ 2

समीकरण (1) में Y= 9X – 7 \2 रखने पर
3X – 5(9X – 7\ 2) =4
⇒ 6X – 45X +35 = 8
⇒ -39X = 8 – 35
⇒ -39X = -27
⇒ X = -27\-39 =9 \13

समीकरण (1) में X = 9 \13 रखने पर
3 × 9\13 -5Y = 4
⇒ 5Y= 27\13 – 4
⇒ 5Y= 27-52 \13 =-25\13
⇒ Y = – 5\13

अत: X=9\ 13, Y = -5 \13
इस प्रश्न का हल ज्ञात करने के लिए विलोपन विधि अधिक उपयुक्त है।

(iv) विलोपन विधि द्वारा
प्रदत्त समीकरण युग्म x\2 +2y\3 = -1

3x + 4y = – 6 ……(1)
तथा X – Y \3 = 3
3X – Y = 9 ……(2)

समीकरण (2) को 4 से गुणा कर समीकरण (1) में जोड़ने पर
15x = 30
⇒ x = 2

समीकरण (2) में x = 2 रखने पर
3(2) – y = 9
⇒ -y = 9 – 6 = 3
⇒ y = -3

अत: x = 2, y = 3 होगा।

प्रतिस्थापन विधि द्वारा :

प्रदत्त समीकरण युग्म X \2 + 2Y \ 3 = – 1
⇒ 3X + 4Y = – 6 ……(1)
⇒ तथा X – Y \3 = 3
⇒ 3X – Y = 9 ……(2)

समीकरण (2) से, Y= 3X – 9
समीकरण (2) में Y= 3X – 9 रखने पर
⇒ 3X + 4 (3X -9) = -6
⇒3X +12X -36 = -6
⇒ 15X+ 30
⇒ X= 2

समीकरण (1) में Y = 3X – 9 रखने पर

3 (2) -Y = 9
-Y = 9 – 6 = 3
Y= – 3
अत: x = 2 , y = – 3 हल है।

इस प्रश्न का हल ज्ञात करने के लिए विलोपन विधि अधिक उपयुक्त है।

प्रश्न 2. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए

(i) यदि हम अंश में 1 जोड़ दें तथा हर में से 1 घटा दें, तो 1 भिन्न 1 में बदल जाती है। यदि हर में 1 जोड़ दें, तो यह ½ हो जाती है। वह भिन्न ज्ञात क्या है?

(ii) पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुना थी। दस वर्ष पश्चात्, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी। नूरी और सोनू की आयु कितनी है?

(iii) दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या का नौ गुना, संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।

(iv) मीना 2000 रु निकालने के लिए एक बैंक गई। उसने खजाँची से 50 रु तथा 100 रु के नोट देने के लिये कहा। मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किए। ज्ञात कीजिए कि उसने 50 रु और 100 रु के कितने-कितने नोट प्राप्त किए।

(v) किराए पर पुस्तकें देने वाली किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है। सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए 27 रु अदा किए, जबकि सूसी ने एक पुस्तक पाँच दिनों तक रखने के लिए 21 रु अदा किए। नियत किराया तथा प्रत्येक अतिरिक्त
दिन का किराया ज्ञात कीजिए।

हल : (i) माना हर y तथा अंश x है, अतः भिन्न x \y
प्रश्नानुसार
⇒ x+1\ y-1 =1
⇒ x+1=y-1 ……(1)
⇒ x – y =-2
तथा, x \y +2 = 1\2
⇒ 2x =y + 1 ……(2)

समीकरण (2) को समीकरण (1) में से घटाने पर
(xy)-(2x-y) = -2-1
⇒ x-y-2x+y=-3
⇒ -x=-3
⇒ x=3

समीकरण (1) में x = 3 रखने पर
3-y-2y
⇒ y= 5
अतः भिन्न 3\5

(ii) माना नूरी की वर्तमान आयु = x वर्ष
और सोनू की वर्तमान आयु = y वर्ष
5 वर्ष पहले नूरी की आयु = (x – 5) वर्ष
5 वर्ष पहले सोनू कीआयु = (y – 5) वर्ष
प्रश्नानुसार,
x – 5= 3(y-5)
⇒ x – 5 = 3x -15
⇒ x -3y = – 15 +5
⇒ x – 3y = – 10 ……(2)
10 वर्ष बाद नूरी की आयु = (x + 10) वर्ष
10 वर्ष बाद सोनू की आयु = (y + 10) वर्ष
x + 10 = 2(y +10)
⇒ x +2(y + 10)
⇒ x + 10 = 2y + 20
⇒ x -2y = 20 -10
समीकरण (2) को समीकरण (1) में से घटाने पर
– y = -20
⇒ y= 20

समीकरण (2) में y = 20 रखने पर
x -2(20) = 10
⇒ x = 10+40 = 50
अतः नूरी की वर्तमान आयु = 50 वर्ष
और सोनू की वर्तमान आयु = 20 वर्ष

(iii) माना दो अंकों वाली संख्या का इकाई अंक x व दहाई y है।
तब संख्या = 10y + x
और अंक उलटने से प्राप्त संख्या = 10x + y
अब प्रश्नानुसार
x + y = 9 ……(1)
और 9 (10y + x) = 2 (10x + y)
⇒ 90y + 9x = 20x + 2y
⇒20x – 9x + 2y – 90y = 0
⇒ 11x – 88y = 0
x – 8y = 0 ……(2)

समीकरण (1) से,
y = 9 – x
y = 9 – x समीकरण (2) में रखने पर
⇒ x – 8 (9 – x) = 0
⇒ x- 72 + 88 = 0
⇒ 9x = 72
x = 72 \9 =8
समीकरण (1) में x = 8 रखने पर
8 + y = 9
⇒ y = 1
अतः संख्या 10y + x = 10 × 1 + 8 = 18

(iv) 50 रु के नोटों की संख्या x तथा 100 रु के नोटों की संख्या y है।
तब प्रश्नानुसार, x + y = 25 ……(1)

तथा, 50x + 100y = 2000
⇒ x + 2y = 40 ……(1)

समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर
y = 15
y = 15 का मान समीकरण (1) में रखने पर
x+ 15 = 25
⇒ x = 10

अतः 50 रु के नोटों की संख्या = 10
तथा, 100 रु. के नोटों की संख्या = 15

(v) माना स्थिर किराया प्रथम 3 दिन के लिये x रु और आगे के लिए प्रतिदिन रु है y
तब प्रश्नानुसार, x + 4y = 27 ……(1)
तथा, x + 2y = 21 ……(1)

समीकरण (1) में से समीकरण (2) घटाने पर
2y = 6
⇒ y = 3

y = 3 समीकरण (1) में रखने पर
x + 4 × 3 = 27
⇒ x = 27 – 12 = 15

अतः प्रतिदिन किराया = 15 रु
और, स्थिर किराया = 3रु

• Examples
• Exercises – 3.1
• Exercises – 3.2
  

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus (2023-2024) All Chapter in Hindi Medium

• अध्याय – 1 वास्तविक संख्याएँ
• अध्याय – 2 बहुपद
• अध्याय – 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
• अध्याय – 4 द्विघात समीकरण
• अध्याय – 5 समांतर श्रेढ़ियाँ
• अध्याय – 6 त्रिभुज
• अध्याय – 7 निर्देशांक ज्यामिति
• अध्याय – 8 त्रिकोणमिति का परिचय
• अध्याय – 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
• अध्याय – 10 वृत्त
• अध्याय – 11 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
• अध्याय – 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
• अध्याय – 13 सांख्यिकी
• अध्याय – 14 प्रायिकता

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