NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus Chapter – 6 त्रिभुज (Triangles) Exercise – 6.3 in Hindi

May 24, 2023

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus Chapter – 6 त्रिभुज (Triangles)

Textbook	NCERT
Class	10^th
Subject	(गणित) Mathematics
Chapter	6^th
Chapter Name	त्रिभुज (Triangles)
Mathematics	Class 10th गणित (New Syllabus)
Medium	Hindi
Source	Last Doubt

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus Chapter – 6 त्रिभुज (Triangles)

Chapter – 6

त्रिभुज

Exercise – 6.3

प्रश्न 1. बताइए कि आकृति 6.34 में दिए त्रिभुजों के युग्मों में से कौन – कौन से युग्म समरूप हैं| उस समरूपता कसौटी को लिखिए जिसका प्रयोग आपने उत्तर देनें में किया है तथा साथ ही समरूप त्रिभुजों को सांकेतिक रूप में व्यक्त कीजिए|

हल: (i) दिया है, ΔABC और ΔPQR में,
∠A = ∠P = 60°
∠B = ∠Q = 80°
∠C = ∠R = 40°
इसलिए AAA समरूपता मानदंड से,
ΔABC ~ ΔPQR

(ii) दिया है, ΔABC और ΔPQR में,
AB/QR = 2/4 = 1/2,
BC/RP = 2.5/5 = 1/2,
CA/PA = 3/6 = 1/2
इसलिए SSS समानता मानदंड से,
ABC ~ ΔQRP

(iii) दिया है, ΔLMP और ΔDEF में,
LM = 2.7, MP = 2, LP = 3, EF = 5, DE = 4, DF = 6
MP/DE = 2/4 = 1/2
PL/DF = 3/ 6 = 1/2
LM/EF = 2.7/5 = 27/50
यहां MP/DE = PL/DF ≠ LM/EF
इसलिए, ΔLMP और ΔDEF समान नहीं हैं।

(iv) ΔMNL और ΔQPR में, यह दिया गया है,
MN/QP = ML/QR = 1/2
∠M = ∠Q = 70°
इसलिए, SAS समानता मानदंड से,
ΔMNL ~ ΔQPR

(v) ΔABC और ΔDEF में, दिया गया है कि,
AB = 2.5, BC = 3, A = 80°, EF = 6, DF = 5, F = 80°
यहाँ AB/DF = 2.5/5 = 1/ 2
और, BC/EF = 3/6 = 1/2
∠B ≠ ∠F
इसलिए, ΔABC और ΔDEF समरूप नहीं हैं।

(vi) ΔDEF में, त्रिभुजों के कोणों के योग से,
∠D + ∠E + ∠F = 180°
70° + 80° + ∠F = 180°
∠F = 180° – 70° – 80°
∠F = 30°
इसी प्रकार, ΔPQR में,
∠P + ∠Q + ∠R = 180 (Δ के कोणों का योग)
∠P + 80° + 30° = 180°
∠P = 180° – 80 ° -30°
∠P = 70°
अब, दोनों त्रिभुजों, ΔDEF और ΔPQR की तुलना करने पर, हमें
∠D = ∠P = 70°
∠F = ∠Q = 80°
∠F = ∠R = 30°
प्राप्त होता है। AAA समानता मानदंड,
इसलिए, ΔDEF ~ ΔPQR

प्रश्न 2. आकृति 6.35 में, ΔODC ~ ΔOBA, ∠BOC = 125o और ∠CDO = 70o है| ∠DOC, ∠DCO और ∠OAB ज्ञात कीजिए|

हल: क्योंकि BD एक रेखा है और OC इसके ऊपर एक किरण है
चुकी, ∠DOC + ∠BOC = 180°
⇒ ∠DOC + 125° = 180°
⇒ ∠DOC = 180° – 125° = 55°

ΔCDO में,
∠CDO + ∠DOC + ∠DCO = 180°
70° + 55° + ∠DCO= 180°
∠DCO = 180° – 125° = 55°

दिया गया है कि ΔODC ~ ΔOBA
चुकी, ∠OBA = ∠ODC,
⇒ ∠OAB = ∠OCD
⇒ ∠OBA = 70° तथा ∠OAB = 55°
अतः ∠DOC = 55°, ∠DCO = 55° तथा ∠OAB = 55°

प्रश्न 3. समलंब A B C D, जिसमे AB || DC है, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं| दो त्रिभुजों की समरूपता कसौटी का प्रयोग करते हुए, दर्शाइए कि AO/OC = OB/OD है.

हल:
ΔDOC और ΔBOA में,
AB || CD, इस प्रकार एकांतर आंतरिक कोण बराबर होंगे,
∴ ∠CDO = ∠ABO
इसी प्रकार,
∠DCO = BAO
साथ ही, दो त्रिभुजों ∠DOC और ∠BOA के लिए,
∠DOC = ∠BOA
इसलिए, AAA समरूपता मानदंड से,
∠DOC ~ ∠BOA
इस प्रकार, संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
DO/BO = OC/OA
OA/OC = OB/OD
अत: सिद्ध हुआ।

4. आकृति 6 .36 में, QR/QS = QT/PR तथा ∠1=∠2 है दर्शाइए कि ΔPQS ~ ΔTQR है

हल: ΔPQR में,
∠1 = ∠2
⇒ PR = PQ (त्रिभुज में समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)
ΔPQS और ΔTQR में,
∠PQS = ∠TQR = ∠1 (समान कोण)
QR/QS = QT/PQ (चूंकि PR=PQ)
⇒ ΔPQS ~ ΔTQR (SAS कसौटी)

5. Δ PQR की भुजाओं PR और QR पर क्रमश: बिंदु S और T इस प्रकार स्थित हैं कि ∠P = ∠RTS है| दर्शाइए कि Δ RPQ ~ Δ RTS है|

हल: दिया गया है, PQR की भुजाओं PR और QR पर S और T बिंदु हैं और ∠P = ∠RTS
ΔRPQ और ΔRTS में,
∠RTS = ∠QPS (दिया गया है)
∠R = ∠R (उभय कोण)
ΔRPQ ~ ΔRTS (AA समरूपता मानदंड)

6. आकृति 6.37 में, यदि ΔABE ≅ ΔACD है, तो दर्शाइए कि ΔADE ~ ΔABC है|

हल: दिया गया है, ΔABE ≅ ΔACD।
AB = AC [CPCT द्वारा] ……………………(i)
और, AD = AE [CPCT द्वारा] ……………(ii)
ΔADE तथा ΔABC में,
AD/AB = AE/AC
तथा ∠BAC = ∠DAE [उभय कोण]
ADE ~ ABC [SAS समानता मानदंड]

7. आकृति 6.38 में, DABC के शीर्षलंब AD और CE परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं तो दर्शाइए कि :
(i) AEP ~ CDP
(ii) ΔABD ~ CBE
(iii) ΔAEP ~ ADB
(iv) ΔPDC ~ BEC

हल: दिया गया है, ABC के शीर्षलंब AD और CE एक दूसरे को बिंदु P पर काटते हैं।

(i) ΔAEP और ΔCDP में,
∠AEP = ∠CDP (प्रत्येक 90°)
∠APE = ∠CPD (ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण)
अत: AA से समानता मानदंड,
ΔAEP ~ ΔCDP

(ii) ΔABD और ΔCBE में,
∠ADB = ∠CEB (प्रत्येक 90°)
∠ABD = ∠CBE (उभय कोण)
इसलिए, AA समानता मानदंड से,
ΔABD ~ ΔCBE

(iii) ΔAEP और ΔADB में,
∠AEP = ∠ADB (प्रत्येक 90°)
∠PAE = ∠DAB (उभय कोण)
इसलिए, AA समानता मानदंड से,
ΔAEP ~ ΔADB

(iv) ΔPDC और ΔBEC में,
∠PDC = ∠BEC (प्रत्येक 90°)
∠PCD = ∠BCE (उभय कोण)
इसलिए, AA समानता मानदंड से,
ΔPDC ~ ΔBEC

8. समान्तर चतुर्भुज ABCD की बढाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिंदु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है| दर्शाइए कि Δ ABE ~ Δ CFB है|

हल: दिया गया है, E एक समांतर चतुर्भुज ABCD से बनी भुजा AD पर एक बिंदु है और BE, CD को F पर प्रतिच्छेद करता है। नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें,
ΔABE और ΔCFB में,
∠A = ∠C (एक समांतर चतुर्भुज के विपरीत कोण)
∠AEB = ∠CBF (AE || BC के रूप में वैकल्पिक आंतरिक कोण)
ΔABE ~ ΔCFB (AA समानता मानदंड)

9. आकृति 6.39 में, ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज है, जिसके कोण B और M समकोण हैं| सिद्ध कीजिए कि :
(i) ABC ~ AMP
(ii) CA/PA = BC/MP

हल: दिया गया है, ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज हैं, जिनका कोण क्रमशः B और M है।

(i) ΔABC और ΔAMP में,
∠CAB = ∠MAP (उभय कोण)
∠ABC = ∠AMP = 90° (प्रत्येक 90°)
ΔABC ~ ΔAMP (AA समरूपता मानदंड)

(ii) चूंकि, ΔABC ~ AMP (AA समरूपता मानदंड)
यदि दो त्रिभुज समरूप हों तो संगत भुजाएँ हमेशा समान होती हैं,
इसलिए, CA/PA = BC/MP

10. CD और GH क्रमश: ∠ ACB और ∠ EGF के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिंदु D और H क्रमश: Δ ABC और ΔFEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं | यदि ΔABC ~ ΔFEG है, तो दर्शाइए कि :
(i) CD/GH = AC/FG
(ii) ΔDCB ~ HGE
(iii) ΔDCA ~ HGF

हल: दिया गया है, CD और GH क्रमशः ACB और EGF के समद्विभाजक हैं जैसे कि D और H क्रमशः ABC और EFG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं।

(i) दी गई शर्त से,
ΔABC ~ ΔFEG
∠A = ∠F, ∠B = ∠E, और ∠ACB = ∠FGE
चूंकि, ∠ACB = ∠FGE
∴ ∠ACD = ∠FGH (कोण समद्विभाजक)

और, ∠DCB = ∠HGE (कोण समद्विभाजक)
ΔACD में और ΔFGH,
∠A = ∠F
∠ACD = ∠FGH
ΔACD ~ ΔFGH (AA समानता मानदंड)
CD/GH = AC/FG

(ii) ΔDCB और ΔHGE में,
∠DCB = ∠HGE (पहले ही सिद्ध हो चुका है)
∠B = ∠E (पहले ही सिद्ध हो चुका है)
ΔDCB ~ ΔHGE (AA समरूपता मानदंड)

(iii) ΔDCA और ΔHGF में,
∠ACD = ∠FGH (पहले ही सिद्ध हो चुका है)
∠A = ∠F (पहले से सिद्ध)
ΔDCA ~ ΔHGF (AA समरूपता मानदंड)

11. आकृति 6.40 में, AB = AC वाले, एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिन्दु है| यदि AD ⊥ BC और EF ⊥ AC है तो सिद्ध कीजिए कि ΔABD ~ ΔECF है|

हल: दिया गया है, ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
AB = AC
ABD = ECF
ΔABD और ΔECF में,
∠ADB = ∠EFC (प्रत्येक 90°)
∠BAD = ∠CEF (पहले ही सिद्ध हो
ΔABD ~ ΔECF (AA समरूपता मानदंड का प्रयोग करके)

12. एक त्रिभुज ABC कि भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमशः भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं (देखिए आकृति 6.41)| दर्शाइए कि ΔABC ~ ΔPQR है|

हल: दिया गया है,
ΔABC और ΔPQR, AB, BC और ABC की माध्यिका AD ΔPQR की भुजाओं PQ, QR और माध्यिका PM के समानुपाती है
अर्थात AB/PQ = BC/QR = AD/PM
हमें सिद्ध करना है: ΔABC ~ ΔPQR

जैसा कि हम यहां जानिए,
AB/PQ = BC/QR = AD/PM
ΔABC और ΔPQR में
AB/PQ = BC/QR ………………(i)
∠ABC = ∠PQR ……………………(ii)
∠समीकरण (i) और (ii) से,
ΔABC ~ ΔPQR [SAS समानता मानदंड]

13. एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि ∠ADC = ∠BAC है| दर्शाइए कि CA² = CB.CD है|

हल: दिया गया है, एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार है कि ∠ADC = ∠BAC है।
ΔADC और ΔBAC में,
∠ADC = ∠BAC (पहले से ही दिया गया है)
∠ACD = ∠BCA (उभय कोण)
ΔADC ~ ΔBAC (AA समरूपता मानदंड)
हम जानते हैं कि समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
∴ CA/CB = CD/CA
⇒ CA² = CB x CD
इसलिए सिद्ध किया।

14. एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और AC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM के क्रमशः समानुपाती हैं | दर्शाइए कि ΔABC ~ ΔPQR है |

हल: दिया है: दो त्रिभुज ΔABC और PQR जिनमें AD और PM माध्यिकाएँ इस प्रकार हैं कि;
AB/PQ = AC/PR = AD/PM
हमें सिद्ध करना है, ABC ~ PQR
आइए पहले रचना करते हैं: AD को E में बढ़ाइए ताकि AD = DE हो। CE को मिलाइए, इसी प्रकार PM को N से इस प्रकार बढ़ाइए कि PM = MN, RN को भी मिलाइए।

ΔABD और ΔCDE में, हमारे पास
AD = DE [निर्माण द्वारा।]
BD = DC [चूंकि, AP माध्यिका है]
और, ∠ADB = ∠CDE [ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण]
ABD CDE [सर्वांगसमता की SAS कसौटी]
AB = CE [CPCT द्वारा] ………………………….. (i)

इसके अलावा, ΔPQM और ΔMNR में,
PM = MN [निर्माण द्वारा।]
QM = MR [चूंकि, PM माध्यिका है]
और, ∠PMQ = ∠NMR [ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण]
PQM = ΔMNR [सर्वांगसमता का SAS मानदंड]
PQ = RN [CPCT] ……………………………… (ii)

अब, AB/PQ = AC/PR = AD/PM
समीकरण (i) और (ii) से,
CE/RN = AC/PR = AD/PM
⇒ CE/RN = AC/PR = 2AD/2PM
⇒ CE/RN = AC/PR = AE/PN [चूंकि 2AD = AE और 2PM = PN]
ΔACE ~ ΔPRN [SSS समानता मानदंड]

इसलिए, ∠2 = ∠4
इसी प्रकार, ∠1 = ∠3
∴ ∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠4
⇒ ∠A = ∠P …………………………(iii)
अब, ΔABC और ΔPQR में, हमारे पास
AB/PQ = AC/PR (पहले से दिया गया)
समीकरण (iii) से, ∠A = ∠P
∴ ΔABC ~ ΔPQR [SAS समानता मानदंड]

15. लंबाई 6 m वाले एक उध्वार्धर स्तम्भ की भूमि पर छाया की लंबाई 4 m है, जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लंबाई 28 m है| मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए|

हल: दिया गया है, ऊर्ध्वाधर खम्भे की लंबाई = 6m खम्भे
की छाया = 4 m
माना मीनार की ऊँचाई = h m मीनार
की छाया की लंबाई = 28 m
ΔABC और ΔDEF में,
∠C = ∠E (योग का कोणीय उन्नयन)
∠B = ∠F = 90°

ΔABC ~ ΔDEF (AA समरूपता मानदंड)
AB/DF = BC/EF (यदि दो त्रिभुज समरूप हैं तो संगत भुजाएँ हैं आनुपातिक)
6/H = 4/28
⇒ H = (6×28)/4
⇒ H = 6 × 7
⇒ H = 42 m
इसलिए, टावर की ऊंचाई 42 m है।

16. AD और PM त्रिभुजों ABC और PQR कि क्रमशः मध्यिकाएँ है जबकि ΔABC~ΔPQR है सिद्ध कीजिए कि AB/PQ=AD/PM है

हल: दिया गया है, ΔABC ~ ΔPQR
हम जानते हैं कि समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
AB/PQ = AC/PR = BC/QR…………………(i)
साथ ही, A = P, B = Q, C = R ………….…(ii)
चूँकि AD और PM माध्यिकाएँ हैं, वे अपनी विपरीत भुजाओं को विभाजित करेंगे।
BD = BC/2 और QM = QR/2 ………………(iii)
समीकरणों (i) और (iii) से,
AB/PQ = BD/QM ……… …………….(iv)
ΔABD और ΔPQM में,
समीकरण (ii) से, हमारे पास
∠B = ∠Q
समीकरण (iv) से, हमारे पास
AB/PQ = BD/QM
ΔABD ~ ΔPQM (SAS समानता) मानदंड)
AB/PQ = BD/QM = AD/PM

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