NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 8 त्रिकोणमिति का परिचय (Introduction of Trigonometry) Exercise 8.1 in hindi

NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 8 त्रिकोणमिति का परिचय (Introduction of Trigonometry)

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NCERT Solution Class 10th Maths Chapter – 8 त्रिकोणमिति का परिचय (Introduction of Trigonometry) 

Chapter – 8

त्रिकोणमिति का परिचय

Exercise – 8.1

1. ΔABC में, जिसका कोण B समकोण है, AB = 24 cm और BC = 7 cm है। निम्नलिखित का मान
ज्ञात कीजिए :
(i) sin A, cos A
(ii) sin C, cos C

हल : माना कि ABC एक समकोण त्रिभुज है।पाइथागोरस प्रमेय से,
AC² = AB²+ BC²
AC² = (24)² + (7)²
AC² = 576 + 49
AC² = 625
AC = √625
AC = 25 cm

(i) sin A = BC/AC = 7/25, cos A = AB/AC = 24/25

(ii) sin C = AB/AC = 24/25, cos C = BC/AC = 7/25

2. आकृति 8.13 में, tan P – cot R का मान ज्ञात कीजिए।

हल : पाइथागोरस प्रमेय से,
PR² = PQ² + QR² = 13² = 12² + QR²
⇒ QR² = 13² – 12² = 169 – 144 = 25
⇒ QR = √25 = 5
tan P = QR/PQ = 5/12 और cot R = QR/PQ = 5/12
इस प्रकार, tan P – cot R = 5/12 – 5/12 = 0

3. यदि sin A = 3/4, तो cos A और tan A का मान परिकलित कीजिए।

हल : माना कि ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें √B = 90° √A के लिए,
आधार – AB, लंब= BC और कर्ण AC
sin A = लंब/कर्ण = BC/AC = 3/4
माना BC = 3k और AC = 4k

तब, AB = √AC² – BC² = √(4k)² – (3k)²
= √16k² – 9k² = √7k² = √7k
cos A = आधार/कर्ण = AB/AC = √7k/4k = √7/4
tan A = लंब/आधार = BC/AB = 3k/√7k = 3/√7

4. यदि 15 cot A = 8 हो तो sin A और sec A का मान ज्ञात कीजिए।

हल : माना कि ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें √B = 90° √A के लिए,
आधार = AB, लंब = BC और कर्ण = AC
cot A = आधार/लंब = AB/BC = 8/15
15 cot A = 8 ⇒ cot A = 8/15
माना AB = 8k और BC = 15k
तब, AC = √AB² + BC² = √(8k)² + (15k)²

5. यदि sec 0 = 13/12, हो तो अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपात परिकलित कीजिए।

हल : माना कि ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠A = 0° और ∠B = 90°
तब, आधार = AB, लंब BC और कर्ण = AC
sec 0 = कर्ण/आधार = AC/AB = 13/12
माना AC = 13k और AB = 12k

तब, BC = √AC² – AB²
= √(13k)² – (12k)²
= √169k² – 144k² = √25k² = 5k
sin 0 = लंब/कर्ण = BC/AC = 5k/13k = 5/13
cos 0 = आधार/लंब = AB/AC = 12k/13k = 12/13
tan 0 = लंब/आधार = BC/AB = 5/12
cot 0 = 1/tan 0 = 12/5
cosec 0 = 1/sin 0 = 13/5

6. यदि ∠A और ∠B न्यून कोण हो, जहाँ cos A = cos B, तो दिखाइए कि ∠A = ∠B

हल : समकोण Δ ABC में, cos A = AC/AB
तथा, cos B = BC/AB
परंतु, cos A = cos B [ दिया है ]
⇒ AC/AB = BC/AB ⇒ AC = BC
क्योंकि Δ ABC में, AC = BC है
⇒ ∠A = ∠B [ समान भुजा के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]

7. यदि cot 0 = 7/8, तो

(i) (1 + sin 0) (1 − sin 0)/(1+ cos 0) (1- cos 0)

(ii) cot² 0 का मान निकालिए ?

हल : माना कि ΔABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠A = 0° और ∠B = 90° तब, आधार = AB, लंब = BC और कर्ण = AC
cot 0 = आधार/लंब = AB/BC = 7/8
माना AB = 7k और BC = 8k
तथा, AC = √BC² + AB² = √(8k)² + (7k)²
= √64k² + 49k² = √113k² = √113k
sin 0 = लंब/कर्ण = BC/AC = 8k/√113k = 8/ √113

और, cos 0 = आधार/कर्ण = AB/AC = 7k/√113k = 7/√113
(i) (1 + sin 0) (1-sin 0)/(1+ cos 0) (1-cos 0) = 1-sin² 0/1 – cos² 0
= 1 – 64/113/1 – 49/113
= 113 – 64/113 – 49 = 49/64
(ii) cot² 0 = (7/8)² = 49/64

8. यदि 3 cot A = 4, तो जाँच कीजिए कि 1 – tan² A/1 + tan² A = cos² A – sin² A है या नहीं।

हल : माना कि ΔABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠B = 90° ∠A के लिए,
आधार = AB, लंब = BC और कर्ण = AC
cot A = आधार/लंब = AB/BC = 4/3
माना AB = 4k और BC = 3k [3 cot A = 4 ⇒ cot A = 4/3]
तब, AC = √AB² + BC² = √(4k)² + (3k)²
= √16k² + 9k² = √25k² = 5k
sin A = लंब/कर्ण = BC/AC = 3k/5k = 3/5
cos A = आधार/कर्ण = AB/AC = 4k/5k = 4/5

और, tan A = 1/cot A = 3 /4
L.H.S.= 1- tan² A/1+ tan² A = 1 – 9/16/1 + 9/16 = 16 – 9/16 – 9 = 7/25
R.H.S. = cos² A – sin² A
= (4/5)² – (3/5)² = 16/25 – 9/25 = 7/25
→ L.H.S. = R.H.S.
1- tan² A/1+ tan² A = cos² A – sin² A

9. त्रिभुज ΔABC में, जिसका कोण B समकोण है, यदि tan A = 1/√3 तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:

(i) sin A cos C + cos Asin C
(ii) cos A cos C – sin Asin C

हल : ∠A के लिए,
आधार = AB, लंब = BC और कर्ण = AC
tan A = लंब/आधार = BC/AB = 1/√3
माना BC = k और AB = √3k

जब, AC = √AB² + BC²
= √3k² + k²
= √4k² = 2k
sin A = लंब/कर्ण = BC/AC = k/2k = 1/2
cos A = आधार/ कर्ण = AB/AC = √3k/2k = √3/2
∠C के लिए,
आधार = BC, लंब = AB और कर्ण = AC
sin C = लंब/कर्ण = AB/AC = √3k/2k = √3/2
और, cos C = आधार/ कर्ण = BC/AC = k/2k = 1/2

(i) sin A cos C+ cos A sin C = 1/2 x 1/2 + √3/2 x √3/2
= 1/4 + 3/4 = 4/4 = 1

(ii) cos A cos C – sin A sin C = √3/2 x 1/2 – 1/2 x √3/2 = 0

10. ΔPQR में, जिसका कोणQ समकोण है, PR + QR = 25 cm और PQ = 5 cm है। sin P, cos P और tan P के मान ज्ञात कीजिए ।

हल : ΔPQR में, समकोण Q पर है।
PR+ QR = 25 cm 3 PQ = 5 cm
माना, QR = x cm
PR (25-x) cm

पाइथागोरस प्रमेय के द्वारा,
RP² = RQ²+ QP²
⇒ (25-x)² = x² + 5²
⇒ 625 – 50x + x²= x² + 25
⇒ – 50x = -600 ⇒ x = – 600/- 50x = 12
RQ = 12 cm
RP = (25-12) cm = 13 cm

अब, sin P = RQ/RP = 12/13
cos P = PQ/RP = 5/13
और, tan P = RQ/PQ = 12/5

11. बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य । कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।

(i) tan A का मान सदैव 1 से कम होता है।
हल : असत्य है, क्योंकि किसी समकोण त्रिभुज में समकोण बनाने वाली भुजाओं की लंबाई कुछ भी हो सकती है, अत: tan A का मान भी कुछ भी हो सकता है।

(ii) कोण A के किसी मान के लिए sec A = 12/5
हल : सत्य है, क्योंकि sec A का मान सदैव 1 से अधिक होता है।

(iii) cos A, कोण A के cosecant के लिए प्रयुक्त एक संक्षिप्त रूप है।
हल : असत्य है, क्योंकि cos A, cosine A का संक्षिप्त रूप है।

(iv) cot A, cot और A का गुणनफल होता है।
हल : असत्य है, क्योंकि cot A, ‘cot’ और A का गुणनफल नहीं है। cot को A से पृथक् कर देने पर यह अर्थहीन हो जाता है।

(v) किसी भी कोण 0 के लिए sin 0 = 4/3
हल : असत्य है, क्योंकि sin 0 का मान 1 से अधिक नहीं हो सकता।

• Examples
• Exercise – 8.2
• Exercise – 8.3

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus (2023-2024) All Chapter in Hindi Medium

• अध्याय – 1 वास्तविक संख्याएँ
• अध्याय – 2 बहुपद
• अध्याय – 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
• अध्याय – 4 द्विघात समीकरण
• अध्याय – 5 समांतर श्रेढ़ियाँ
• अध्याय – 6 त्रिभुज
• अध्याय – 7 निर्देशांक ज्यामिति
• अध्याय – 8 त्रिकोणमिति का परिचय
• अध्याय – 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
• अध्याय – 10 वृत्त
• अध्याय – 11 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
• अध्याय – 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
• अध्याय – 13 सांख्यिकी
• अध्याय – 14 प्रायिकता

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