NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus Chapter – 6 त्रिभुज (Triangles) Exercise – 6.2 in Hindi

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus Chapter – 6 त्रिभुज (Triangles)

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus Chapter – 6 त्रिभुज (Triangles) Exercise – 6.2 in Hindi

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus Chapter – 6 त्रिभुज (Triangles)

 Chapter – 6

त्रिभुज

Exercise – 6.2

प्रश्न 1. आकृति 6.17 (i) और (ii),में DE || BC (i) में EC और (ii) में AD ज्ञात कीजिए।

हल – (i) आकृति (i) में,
DE || BC,
तो AD/DB = AE/EC [आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय द्वारा]
⇒ 1.5/3 = 1/EC ⇒1.5 x EC = 3 x 1
⇒ EC = 3/1.5 = 3 x 10/15 = 2cm

(ii) आकृति (ii) में,
DE || BC
तो AD/DB = AE/EC [आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय द्वारा]
⇒ AD/7.2 = 1.8/5.4 ⇒ AD x 5.4 = 1.8 x 7.2
⇒ AD = 18 x 72/54
⇒ 2.4cm

प्रश्न 2. किसी त्रिभुज PQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिन्दु E और F स्थित हैं। निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिए, बताइए कि क्या EF||QR है।

(i) PE = 3.9 cm, EQ= 3cm, PF = 3.6 और FR= 2.4 cm
(ii) PE = 4 cm, QE = 4.5 cm, PF = 8 cm और RF = 9 cm
(iii) PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm, 0.18 cm और PF = 0.36 cm

हल – दिया गया है, PQR में,
E और F क्रमशः PQ और PR पर दो बिंदु हैं।
नीचे दिए गए चित्र को देखें;

(i) दिया है,
PE = 3.9 cm, EQ = 3 cm,
PF = 3.6 cm और FR = 2,4 cm
इसलिए, मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके,
हम प्राप्त करते हैं,
PE/EQ = 3.9/3 = 39/30 = 13 /10 = 1.3
और PF / FR = 3.6/2.4 = 36/24 = 3/2 = 1.5
तो, हम प्राप्त करते हैं,
PE/EQ ≠ PF/FR
इसलिए, EF||QR के समानांतर नहीं है।

(ii) दिया है,
PE = 4 cm, QE = 4.5 cm,
PF = 8cm और RF = 9cm
इसलिए, मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके,
हम प्राप्त करते हैं,
PE/QE = 4/4.5 = 40/45 = 8/9
और, PF/RF = 8/9
तो, हम यहां प्राप्त करते हैं,
PE/QE = PF/RF
इसलिए, EF||QR के समानांतर है।

(iii) दिया है,
PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm,
PE = 0.18 cm और PF = 0.36 cm
आकृति से,
EQ = PQ – PE = 1.28 – 0.18 = 1.10 cm
और, FR = PR – PF = 2.56 – 0.36 = 2.20 cm
तो, PE/EQ = 0.18/1.10 = 18/110 = 9/55…………. (1)
और , PE/FR = 0.36/2.20 = 36/220 = 9/55 ……………(2)
समीकरण (1) व (2) से,
PE/EQ = PF/FR
EF, ΔPQR की भुजाओं PQ और PR को समान अनुपात में विभाजित करती हैं।

प्रश्न 3. आकृति 6.18 में यदि LM||CB और LN||CD हो तो सिद्ध कीजिए कि AM/AB=AN/AD है

हल – दी गई आकृति में, हम देख सकते हैं, LM || CB,
मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके,-
हम प्राप्त करते हैं,
AM/AB = AL/AC ……………(i)
दिया गया, LN || CD और बुनियादी आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करते हुए,
AN/AD = AL/AC…………….(ii)
समीकरण (i) और (ii) से, हम प्राप्त करते हैं,
AM/AB = AN/AD
इसलिए, साबित हुआ।

प्रश्न 4. आकृति 6.19 में, DE||AC और DF||AE है। सिद्ध कीजिए कि BF/FE = BE/EC है।

हल – ΔABC में, DE||AC के रूप में दिया गया है,
इस प्रकार, मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके,
हम प्राप्त करते हैं,
BD/DA = BE/EC …………………………(i)
BAE में, DF||AE के रूप में दिया गया है। 
इस प्रकार, मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके,
हम प्राप्त करते हैं,
BD/DA = BF/FE …………………………(ii)
समीकरण (i) और (ii) से,
BE/EC = BF/FE
इसलिए, सिद्ध हुआ।

प्रश्न 5. आकृति 6 .20 में DE||OQ और DF||OR है दर्शाइए कि EF||QR है।

हल – दिया है,
ΔPQO में, DE || OQ
तो मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके,
PD/DO = PE/EQ………………(i)
ΔPOR में, DF || OR या,
तो मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके,
PD/DO = PF/FR …………………(ii)
समीकरण (i) और (ii) से,
PE/EQ = PF/FR
इसलिए, विलोम से मूल आनुपातिकता प्रमेय का,
EF || QR, ΔPQR में।

प्रश्न 6. आकृति 6 .21 में क्रमशः OP,OQ और OR पर स्थित बिंदु A,B और C इस प्रकार है कि AB||PQ और AC||PR है दर्शाइए कि BC||QR है।

हल – यहाँ दिया गया है,
ΔOPQ में, AB || PQ
मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके,
OA/AP = OB/BQ……………….(i)
भी दिया गया है,
AC || PR
मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके
OA/AP = OC/CR……………(ii)
समीकरण (i) और (ii) से,
OB/BQ = OC/CR
इसलिए, मूल आनुपातिकता प्रमेय के विलोम से,
ΔOQR में, BC || QR

प्रश्न 7.प्रमेय 6.1 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज कि एक भुजा के मध्य -बिंदु से होकर दूसरी भुजा के समान्तर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है (याद कीजिए कि आप इसे कक्षा IX में सिद्ध कर चुके है)

हल – दिया है : ΔABC में भुजा AB के मध्य-बिंदु D से होकर DE || BC खींची गई है जो भुजा AC को E पर मिलती है।
सिद्ध करना है : AE = EC
उपपत्ति : ΔABC में, DE || BC [दिया है]
अतः AD/DB = AE/EC ……..(1) [आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय द्वारा]
परन्तु D भुजा AB का मध्य-बिंदु है
AD=DB
AD/DB = 1  ……..(2)
अतः (1) व (2) से, AE/EC = 1
= AE = EC
अतः E, भुजा AC का मध्य-बिंदु होगा।

प्रश्न 8. प्रमेय 6.2 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज कि किन्ही दो भुजाओ के मध्य -बिन्दुओ को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समान्तर होती है (याद कीजिए कि आप कक्षा IX में ऐसा कर चुके है)

हल – दिया गया है, ABC में, D और E क्रमशः AB और AC के मध्य बिंदु हैं, जैसे कि
AD=BD और AE=EC
हमें यह साबित करना होगा: DE || BC
चूँकि, D, AB का मध्यबिंदु है
AD=DB
⇒ AD/BD = 1…………………(1)
यह भी दिया गया है, E, AC का मध्य-बिंदु है।
AE=EC
AE/EC = 1 ……………….(2)
समीकरण (i) और (ii) से,
AD/BD = AE/EC
मूल आनुपातिकता प्रमेय के विलोम से,
DE || ईसा पूर्व
इसलिए, साबित हुआ।

प्रश्न 9. ABCD एक समलंब है जिसमे AB||DC है तथा इसके विकर्ण परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते है, दर्शाइए कि AO/BO = CO/DO है।

हल – दिया गया है, ABCD एक समलम्ब है जहाँ AB || DC और विकर्ण AC और BD एक दूसरे को O पर काटते हैं।
हमें सिद्ध करना है, AO/BO = CO/DO
बिंदु 0 से, एक रेखा EO खींचिए जो AD को E पर स्पर्श करे, इस प्रकार कि
EO || DC || AB
ADC में, हमारे पास OE || DC है 
इसलिए, मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके
AE/ED = AO/CO ……………..(i)
अब, ΔABD में, OE || AB
इसलिए, मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके
DE/EA = DO/BO……………….(ii)
समीकरण (i) और (ii) से,
AO/CO = BO/DO
AO/BO = CO /DO
इसलिए, साबित हुआ।

प्रश्न 10.एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते है कि AO/BO = CO/DO है। दर्शाइए कि ABCD एक समलंब है।

हल – दिया है,
चतुर्भुज ABCD जहाँ AC और BD एक दूसरे को O पर इस प्रकार काटते हैं कि,
AO/BO = CO/DO
हमें यहाँ सिद्ध करना है, ABCD एक समलंब है,
बिंदु O से, EO को E पर स्पर्श करते हुए एक रेखा इस प्रकार खींचिए कि,
EO || DC || AB
DAB में, EO || AB
इसलिए, मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करके
DE/EA = DO/OB ………………(i)
इसके अलावा,
AO/BO = CO/DO
AO/CO = BO/DO
⇒ CO/AO = DO/BO 
DO/OB = CO/AO ………………….(ii)
समीकरण (i) और (ii) से,
DE/EA = CO/AO प्राप्त करते हैं
इसलिए, विलोम का उपयोग करके मूल आनुपातिकता प्रमेय का,
EO || DC भी EO || AB
AB || DC
अत: चतुर्भुज ABCD एक समलम्ब है जिसमें AB || CD

• Examples
• Exercises – 6.1
  
• Exercises – 6.3

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus All Chapter

• अध्याय – 1 वास्तविक संख्याएँ
• अध्याय – 2 बहुपद
• अध्याय – 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
• अध्याय – 4 द्विघात समीकरण
• अध्याय – 5 समांतर श्रेढ़ियाँ
• अध्याय – 6 त्रिभुज
• अध्याय – 7 निर्देशांक ज्यामिति
• अध्याय – 8 त्रिकोणमिति का परिचय
• अध्याय – 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
• अध्याय – 10 वृत्त
• अध्याय – 11 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
• अध्याय – 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
• अध्याय – 13 सांख्यिकी
• अध्याय – 14 प्रायिकता

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